Đáp án & lời giải chi tiết: Đề thi tự luyện - Đề số 15 - Tư duy Toán học

Bước $1$: Chọn thừa số cần đếm

Mỗi chữ số $0$ tạo bởi một cặp $2\cdot 5$.

Trong $2024!$, thừa số $5$ khan hiếm hơn nên đếm $v_5(2024!)$.

Bước $2$: Áp dụng công thức Legendre

Cộng số bội của $5$, $25$, $125$, $625$ trong các thừa số của $2024!$.

Bước 1: Kiểm tra dạng giới hạn

Tại $x=2019$, tử và mẫu đều bằng $0$, nên có dạng $\frac{0}{0}$.

Bước 2: Nhân liên hợp và rút gọn

Dùng liên hợp cho cả tử và mẫu, sau đó triệt tiêu $x-2019$.

Bước 3: Tính biểu thức

Suy ra $a=1$, $b=96$ và tính giá trị yêu cầu.

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $B$. Các phương án $A$, $C$, $D$ sai vì không cho kết quả $1-96^3=-884735$.

Bước $1$: Phân tích $31!$

$31!$ có đúng $11$ số nguyên tố khác nhau.

Bước $2$: Quy về phân hoạch

Mỗi khối lũy thừa nguyên tố phải nằm trọn trong một thừa số để các thừa số đôi một nguyên tố cùng nhau.

Do không xét thứ tự, cần phân hoạch $11$ khối thành nhiều nhất $4$ nhóm.

Bước $3$: Tính số cách

Dùng các giá trị số Stirling loại hai tương ứng.

Bước $1$: Xác định công thức

Với $n=17$ và $k=4$, số cách chọn cây không kề nhau là công thức chọn $k$ vị trí trên vòng tròn.

Bước $2$: Thay số và tính

Thay $n=17$, $k=4$ vào công thức.

Bước 1: Biến đổi đạo hàm

Vì $f(x)\ne 0$, xét đạo hàm của $\frac{1}{f(x)}$.

Bước 2: Tìm hàm số

Tích phân và dùng $f(2)=\frac{1}{4}$ để xác định hằng số $C$.

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $B$; các phương án $A$, $C$, $D$ sai vì lần lượt khác dấu, sai dấu và sai giá trị.

Bước 1: Biểu diễn điểm $M$

Vì $M\in \Delta$, đặt $M(2;-t;1+t)$.

Bước 2: Tối thiểu hóa tổng khoảng cách

Cả hai căn thức đều nhỏ nhất khi $t^2=0$, nên $t=0$.

Bước 3: Tính tích $abc$

Với $t=0$, suy ra $M(2;0;1)$, nên $a=2$, $b=0$, $c=1$.

Bước 1: Xác định $n$

Rút gọn điều kiện bằng cách triệt tiêu các thừa số giai thừa liên tiếp, thu được $n=2019$.

Bước 2: Dùng nhị thức Newton

Trong khai triển tương ứng, số hạng chứa $x^{2018}$ có hệ số nhị thức với chỉ số chọn là $2$.

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $D$: $a_{2018}={\mathrm{C}}_{2019}^2$. Các phương án $A$, $B$, $C$ sai vì lần lượt cho giá trị $2017$, thêm dấu âm, hoặc dùng sai hệ số nhị thức.

Bước 1: Tìm điểm tiếp xúc

Điểm tiếp xúc có tung độ $1$, nên giải $f(x)=1$.

Bước 2: Lập phương trình tiếp tuyến

Tính hệ số góc tại $A$, rồi áp dụng công thức tiếp tuyến.

Bước 3: Tính diện tích

Tiếp tuyến cắt $Ox$ tại $(3;0)$ và $Oy$ tại $(0;3)$.

Bước 1: Tách phần lẻ

Viết mỗi số nguyên dương dưới dạng $n=2^{k}m$, trong đó $m$ là số lẻ.

Bước 2: Quy về số lẻ

Dùng lặp lại quy tắc $c(4n)=c(n)$, đồng thời quy tắc tiến màu, màu của $n$ được quy về màu của phần lẻ $m$.

Vì $m$ lẻ nên $m$ có màu xanh; do đó mọi số nguyên dương đều có màu xanh.

Bước 3: Đếm số màu xanh

Có tất cả $2025$ số nguyên dương đầu tiên, và tất cả đều màu xanh.