Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề thi thử ĐGTD ĐHBK HN năm 2025 - Mã đề 07 — Tư duy Toán học môn Toán học (Đánh giá Tư duy (TSA))

Câu 1

Người ta trồng 144 cây trong một khu vườn hình tam giác theo quy luật như sau: Hàng thứ nhất có 1 cây, hàng thứ hai có 3 cây, hàng thứ ba có 5 cây, … Số hàng cây trong khu vườn là [1].

Đáp án đúng: 12

Lời giải

Bước 1: Lập công thức tổng

Gọi số hàng là $n$ ; số cây mỗi hàng tạo thành dãy số lẻ.

S_{n} = 1 + 3 + 5 + \dots + (2 n - 1) = n^{2}

Bước 2: Tìm số hàng

Tổng số cây là $144$ , nên $n^{2} = 144$ .

Vì $n > 0$ , chọn nghiệm dương.

n = 144 = 12

Đáp án: Điền

12

— vì tổng

n

số lẻ đầu tiên bằng

n^{2}

và

n^{2} = 144

.

Câu 2

Theo thống kê tại một nhà máy Z, nếu áp dụng tuần làm việc 40 giờ thì mỗi tuần có 100 công nhân đi làm và mỗi công nhân làm được 120 sản phẩm trong một giờ.Nếu giảm thời gian làm việc 2 giờ/tuần thì có thêm 1 công nhân và năng suất tăng 5 sản phẩm/công nhân/giờ. Nếu tăng thời gian làm việc thêm 2 giờ mỗi tuần thì sẽ có 1 công nhân nghỉ việc và năng suất lao động giảm 5 sản phẩm/1 công nhân/1 giờ. Ngoài ra, số sản phẩm lỗi mỗi tuần ước tính là $P (x) = \frac{95 x ^{2} + 120 x}{4}$ , với x là thời gian làm việc trong một tuần. Nhà máy cần áp dụng thời gian làm việc mỗi tuần [1] giờ để số lượng sản phẩm thu được mỗi tuần là lớn nhất.

Đáp án đúng: 36

Lời giải

Bước 1: Lập các hám số theo thời gian làm việc

Số công nhân đi làm mỗi tuần W(x) và năng suất lao động R(x) (sản phẩm/1 công nhân/1 giờ):

W (x) = 100 - 1 \cdot (\frac{x - 40}{2}) = 120 - 0.5 x R (x) = 120 - 5 \cdot (\frac{x - 40}{2}) = 220 - 2.5 x

Bước 2: Tìm hàm sản phẩm thu được

Tổng số sản phẩm mỗi tuần T(x) = (số giờ) . (số công nhân) . (năng suất)

Số sản phẩm thu được là F(x) = T(x) - P(x)

T (x) = x (120 - 0.5 x) (220 - 2.5 x) = 1.25 x^{3} - 410 x^{2} + 26400 x P (x) = \frac{95 x ^{2} + 120 x}{4} = 23.75 x^{2} + 30 x F (x) = (1.25 x^{3} - 410 x^{2} + 26400 x) - (23.75 x^{2} + 30 x) = 1.25 x^{3} - 433.75 x^{2} + 26370 x

Bước 3: Tìm cực trị của hàm F(x) và kết luận

Giải F'(x) = 0 để tìm các điểm cực trị và kiểm tra điều kiện W(x) > 0

F^{'} (x) = 3.75 x^{2} - 867.5 x + 26370 = 0 x_{1} = 36; x_{2} = \frac{586}{3} \approx 195.3

Ta chọn $x_{1}$ vì thỏa mãn số công nhân dương

Đáp án:

36

giờ

Câu 3

Cho hàm số $y = cos x + sin x$ .

Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

A

Hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì $T = \frac{π}{2}$

B

Hàm số đã cho là hàm số chẵn

C

Số điểm biểu diễn của phương trình $y = \frac{2}{2}$ trên đường tròn lượng giác là 1

Câu này chưa có lời giải.

Câu 4

Một khối gỗ hình trụ có đường kính $1 m$ và cao $2 m$ . Người ta đã cắt bằng một mặt phẳng bỏ đi một phần khối gỗ, phần còn lại như hình vẽ bên dưới có thể tích là $V = \frac{p}{q} π (m^{3})$ (với $\frac{p}{q}$ là phân số tối giản, $q > 0$ ). Tích $pq$ bằng [1]

Hình minh họa

Đáp án đúng: pq = 24

Lời giải

Bước 1: Tính bán kính và chiều cao

Bán kính đáy là $r = \frac{1}{2} m$ ; chiều cao phần còn lại theo hình là $h = 2 - 0, 5 = 1, 5 m$ .

r = \frac{1}{2}, h = \frac{3}{2}

Bước 2: Tính thể tích và suy ra $pq$

Áp dụng công thức thể tích khối trụ, ta đưa về phân số tối giản rồi nhân tử với mẫu.

V = π (\frac{1}{2})^{2} \frac{3}{2} = \frac{3}{8} π \Rightarrow p = 3, q = 8 \Rightarrow pq = 24

Đáp án:

24

— vì

V = \frac{3}{8} π

nên

p = 3

,

q = 8

.

Câu 5

Xếp 6 người A, B, C, D, E, F vào ghế dài có 6 chỗ.

Kéo các ô sau thả vào vị trí thích hợp để được khẳng định đúng:

Có [1] cách xếp sao cho A và F ngồi ở hai đầu ghế.
Có [2] cách xếp sao cho A và F ngồi cạnh nhau.
Có [3] cách xếp sao cho A và F không ngồi cạnh nhau.

A

48

B

240

C

720

D

480

E

60

Đáp án đúng: 48 — 480 — 240

Lời giải

Bước $1$ : Xếp ở hai đầu

A và F chiếm hai đầu: có $2!$ cách đổi vị trí.

Bốn người còn lại xếp vào giữa.

2! \cdot 4! = 48

Bước $2$ : Tính hai trường hợp còn lại

Tổng số cách xếp là $6!$ . Hai người cạnh nhau được gộp thành một khối.

Số cách cạnh nhau là $2! \cdot 5!$ , còn không cạnh nhau là hiệu với tổng số cách.

6! = 720; 2! \cdot 5! = 240; 6! - 2! \cdot 5! = 480

Bước $3$ : Ghép đáp án

Theo thứ tự đáp án đã cho, các kết quả cần điền là $48$ , $480$ , $240$ .

Do đó ghép lần lượt với $A$ , $D$ , $B$ .

Đáp án:

48

;

480

;

240

— lần lượt ghép với

A

,

D

,

B

theo đáp án đã cho.

Câu 6

Cho hàm đa thức bậc ba $y = f (x)$ có đồ thị như hình vẽ sau: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?

Hình minh họa

A

Với $x_{1}, x_{2} \in (a; b)$ thỏa mãn $x_{1} < x_{2} < 0$ thì $f (x_{1}) < f (x_{2})$

B

Với $x_{0} \in (a; 0)$ thì $f^{'} (x_{0}) < 0$

C

Với $x_{0} \in (0; b)$ thì $f (x_{0}) < f (a)$

Câu này chưa có lời giải.

Câu 7

Trong không gian $O x y z$ , cho ba điểm $A (1; 0; 0), B (3; 1; 2), C (- 1; 2; 1)$ và đường thẳng $Δ : \frac{x - 2}{- 1} = \frac{y}{3} = \frac{z + 1}{1}$ . Mặt cầu $(S)$ có tâm thuộc đường thẳng $Δ$ , đi qua $A$ và cắt mặt phẳng $(A B C)$ theo một đường tròn có bán kính nhỏ nhất bằng [1].

Đáp án đúng: $\frac{\sqrt{10}}{10}$

Lời giải

Nội dung bổ sung

Mặt phẳng (ABC): x+2y-2z-1=0. Gọi tâm I=(2-t;3t;t-1) thuộc Delta. Khi đó R^2=IA^2=11t^2-4t+2 và d(I,(ABC))^2=(t+1)^2. Do đó bán kính giao tuyến thỏa rho^2=10t^2-6t+1, nhỏ nhất bằng 1/10 tại t=3/10. Vì đề hỏi bán kính, rho_min=sqrt(1/10)=sqrt(10)/10

Câu 8

Một cấp số cộng có 12 số hạng. Biết rằng tổng của 12 số hạng đó bằng 144 và số hạng thứ mười hai bằng 23. Khi đó:
Số hạng đầu tiên của cấp số cộng là: [1].
Công sai của cấp số cộng là: [2].

Đáp án đúng: 1; 2

Lời giải

Bước 1: Tìm số hạng đầu

Áp dụng công thức tổng cấp số cộng.

S_{12} = \frac{12 ( a _{1} + a _{12} )}{2} = 144 \Rightarrow 6 (a_{1} + 23) = 144 \Rightarrow a_{1} = 1

Bước 2: Tìm công sai

Dùng công thức số hạng cuối.

d = \frac{a _{12} - a _{1}}{12 - 1} = \frac{23 - 1}{11} = 2

Bước 3: Kết luận

Hai giá trị cần điền là kết quả vừa tìm được.

a_{1} = 1, d = 2

Đáp án: Điền

1; 2

— vì

a_{1} = 1

và

d = 2

.

Câu 9

Có [1] tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{x ^{3}}{x - 2} - 27$ song song với trục hoành.

Đáp án đúng: 2

Lời giải

Bước 1: Tính đạo hàm

Áp dụng quy tắc thương cho hàm số đã cho.

y^{'} = \frac{3 x ^{2} ( x - 2 ) - x ^{3}}{( x - 2 ) ^{2}} = \frac{2 x ^{2} ( x - 3 )}{( x - 2 ) ^{2}}

Bước 2: Tìm tiếp điểm

Tiếp tuyến song song trục hoành khi $y^{'} = 0$ .

\frac{2 x ^{2} ( x - 3 )}{( x - 2 ) ^{2}} = 0 ⟺ x = 0 hoặc x = 3

Bước 3: Kết luận

Cả $x = 0$ và $x = 3$ đều hợp lệ vì khác $2$ , nên tồn tại $2$ tiếp tuyến.

Đáp án: 2 — vì

y^{'} = 0

tại

x = 0

và

x = 3

, nên có

2

tiếp tuyến song song với trục hoành.

Câu 10

Một món quà lưu niệm có dạng hình cầu bán kính bằng 3 được đặt vừa khít vào hộp đựng quà (mặt cầu tiếp xúc với các mặt của hộp quà). Biết phần nắp chỉ chiếm 20% diện tích mặt hộp. Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

Hình minh họa

A

Thể tích món quà bằng $36 π$ .

B

Diện tích toàn phần của hộp đựng quà bằng $216$ .

C

Món quà chiếm 83,3% không gian của hộp đựng.

Câu này chưa có lời giải.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề thi thử ĐGTD ĐHBK HN năm 2025 - Mã đề 07 — Tư duy Toán học

Tư duy Toán học

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Lập công thức tổng

Bước 2: Tìm số hàng

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Lập các hám số theo thời gian làm việc

Bước 2: Tìm hàm sản phẩm thu được

Bước 3: Tìm cực trị của hàm F(x) và kết luận

Câu 3

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Tính bán kính và chiều cao

Bước 2: Tính thể tích và suy ra pq

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Xếp ở hai đầu

Bước 2: Tính hai trường hợp còn lại

Bước 3: Ghép đáp án

Câu 6

Câu 7

Lời giải

Nội dung bổ sung

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Tìm số hạng đầu

Bước 2: Tìm công sai

Bước 3: Kết luận

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Tính đạo hàm

Bước 2: Tìm tiếp điểm

Bước 3: Kết luận

Câu 10

Bước 2: Tính thể tích và suy ra $pq$

Bước $1$ : Xếp ở hai đầu

Bước $2$ : Tính hai trường hợp còn lại

Bước $3$ : Ghép đáp án