Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề thi thử ĐGNL ĐHQG HN năm 2025 — Toán học môn Toán học (Đánh giá Năng lực (HSA))

Câu 1

Bố bạn Lan gửi 50 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất $x %$ /năm.

Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập với vốn ban đầu để tính lãi cho năm tiếp theo.

Nếu lãi suất gửi là $6%$ /năm thì sau 2 năm với số tiền vốn và lãi bố Lan nhận được là bao nhiêu triệu đồng (nhập đáp án vào ô trống)?

Đáp án đúng: 56.18

Lời giải

Bước 1: Đổi lãi suất

Lãi suất dạng thập phân là $r = \frac{6}{100} = 0, 06$ .

r = \frac{6}{100} = 0, 06

Bước 2: Tính tổng tiền

Áp dụng công thức lãi kép với $S_{0} = 50$ và $n = 2$ .

S = 50 (1 + 0.06)^{2} = 56.18

Đáp án:

56.18

triệu đồng — do áp dụng lãi kép sau

2

năm.

Câu 2

Tìm $m$ để đồ thị hàm số $(C)$ của hàm số: $y = \frac{- x ^{3}}{m} + 3 m x^{2} - 2$ có điểm uốn nằm trên đường parabol $(P) : y = 2 x^{2} - 2$ ?

A

$m = 0$

B

$m = 2$

C

$m = 1$

D

$m = - 2$

Lời giải

Bước 1: Tìm hoành độ điểm uốn

Vì $m \neq = 0$ , tính $y^{''}$ rồi giải $y^{''} = 0$ .

y^{'} = - \frac{3 x ^{2}}{m} + 6 m x, y^{''} = - \frac{6 x}{m} + 6 m, y^{''} = 0 \Rightarrow x_{0} = m^{2}

Bước 2: Tính tung độ liên quan

Tính tung độ của điểm uốn trên $(C)$ và tung độ của $(P)$ tại $x_{0}$ .

y_{C} = - \frac{( m ^{2} ) ^{3}}{m} + 3 m (m^{2})^{2} - 2 = 2 m^{5} - 2, y_{P} = 2 (m^{2})^{2} - 2 = 2 m^{4} - 2

Bước 3: Lập phương trình tham số

Điểm uốn thuộc $(P)$ nên hai tung độ bằng nhau.

2 m^{5} - 2 = 2 m^{4} - 2 \Rightarrow m^{5} = m^{4} \Rightarrow m^{4} (m - 1) = 0 \Rightarrow m = 0 hoặc m = 1

Bước 4: Đối chiếu phương án

Loại $m = 0$ vì hàm số không xác định. Chọn phương án C: $m = 1$ ; A sai do $m = 0$ , B và D không thỏa phương trình.

Đáp án: C —

m = 1

là giá trị duy nhất thỏa điều kiện và xác định hàm số.

Câu 3

Tính đến đầu năm 2011, dân số toàn tỉnh Bình Phước đạt gần $905300$ người, mức tăng dân số là $1, 37%$ mỗi năm. Tính thực hiện tốt chủ trương $100%$ trẻ em đúng độ tuổi đều vào lớp 1. Đến năm học 2024 – 2025 ngành giáo dục của tỉnh cần chuẩn bị bao nhiêu phòng học cho học sinh lớp 1, mỗi phòng dành cho 35 học sinh? (Giả sử trong năm sinh của lứa học sinh vào lớp 1 đó toàn tỉnh có $2400$ người chết, số trẻ vào lớp 1 tròn 6 tuổi không đang kể).

A

$458$

B

$222$

C

$459$

D

$221$

Lời giải

Bước 1: Tính dân số năm sinh

Học sinh vào lớp $1$ năm học $2024$ – $2025$ sinh năm $2018$ , cách đầu năm $2011$ là $7$ năm.

N = 905300 (1 + 0.0137)^{7} \approx 995769

Bước 2: Tính số trẻ sinh

Số dân tăng thêm bằng số trẻ sinh trừ số người chết, nên số trẻ sinh bằng số dân tăng thêm cộng số người chết.

S = 0.0137 N + 2400 \approx 0.0137 \cdot 995769 + 2400 \approx 16041

Bước 3: Đối chiếu phương án

Số phòng cần chuẩn bị là $459$ phòng.

Chọn phương án C; A sai vì làm tròn xuống, B và D sai vì tính thiếu quy mô lứa trẻ.

R = ⌈ \frac{16041}{35} ⌉ = ⌈ 458.31 \dots ⌉ = 459

Đáp án: C — Cần chuẩn bị

459

phòng học.

Câu 4

Có bao nhiêu cặp số cộng có các số hạng là số tự nhiên, số hạng đầu là số chẵn, tổng các số hạng có giá trị lẻ là bằng $33$ và tổng các số hạng có giá trị chẵn bằng $44$ (nhập đáp án vào ô trống)?

Đáp án đúng: 5

Lời giải

Bước 1: Xét tính chẵn lẻ

Nếu $d$ chẵn, mọi số hạng đều chẵn, trái với tổng số hạng lẻ bằng $33$ . Do đó $d$ lẻ và các số hạng chẵn, lẻ xen kẽ.

a_{1} \equiv 0 (mod 2), 33 \neq = 0 \Rightarrow d \equiv 1 (mod 2)

Bước 2: Trường hợp số số hạng chẵn

Đặt $n = 2 k$ . Lấy hiệu hai tổng, rồi xét các giá trị $k$ khả dĩ.

44 - 33 k = 1 k = 11 = - k d \Rightarrow k d = - 11 \Rightarrow k \in {1, 11} . : (a_{1}, a_{2}) = (44, 33) hợp lệ . : 77 = 11 (2 a_{1} - 21) \Rightarrow a_{1} = 14, a_{22} = - 7 loại .

Bước 3: Trường hợp số số hạng lẻ

Đặt $n = 2 k + 1$ . Các tổng chẵn và lẻ cho $k = 3$ , nên $n = 7$ ; điều kiện số hạng tự nhiên giới hạn $d$ .

44 \frac{44}{33} ∣ d ∣ Tổng s \overset{ˊ}{\overset{o}{ˆ}} d \overset{a}{˜} y = (k + 1) (a_{1} + k d), 33 = k (a_{1} + k d) = \frac{k + 1}{k} \Rightarrow k = 3, a_{1} + 3 d = 11 \leq 3, d \in {- 3, - 1, 1, 3} \Rightarrow 4 d \overset{a}{˜} y . = 1 + 4 = 5.

Đáp án:

5

— có

1

dãy khi

n

chẵn và

4

dãy khi

n

lẻ.

Câu 5

Cho hai vector $a$ và $b$ khác vector $0$ không thỏa mãn $∣ a ∣ = 2$ , $∣ b ∣ = 3$ và $a$ tạo với $b$ một góc bằng $4 5^{\circ}$ . Khi đó $a \cdot b$ bằng bao nhiêu?

A

$a \cdot b = 52$

B

$a \cdot b = 32$

C

$a \cdot b = 25$

D

$a \cdot b = 23$

Lời giải

Bước $1$ : Lập công thức

Với $θ$ là góc giữa hai vectơ, dùng công thức tích vô hướng.

a \cdot b = ∣ a ∣ ∣ b ∣ cos θ

Bước $2$ : Thay số và tính

Thay $∣ a ∣ = 2$ , $∣ b ∣ = 3$ , $θ = 4 5^{\circ}$ vào công thức.

a \cdot b = 2 \cdot 3 \cdot cos 4 5^{\circ} = 6 \cdot \frac{2}{2} = 32

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Chọn B: $a \cdot b = 32$ ; A, C, D sai vì lần lượt nhân sai hệ số, ghép sai căn và tính sai tích.

Đáp án: B — Vì

a \cdot b = ∣ a ∣ ∣ b ∣ cos 4 5^{\circ} = 32

.

Câu 6

Trong không gian $O x y z$ , cho hai điểm $A (- 2; 3; 4), B (8; - 5; 6)$ .

Hình chiếu vuông góc trung điểm $I$ của đoạn $A B$ trên mặt phẳng $(O y z)$ là điểm nào dưới đây?

A

$N (3; - 1; 5)$

B

$M (0; - 1; 5)$

C

$Q (0; 0; 5)$

D

$P (3; 0; 5)$

Lời giải

Bước 1: Tìm trung điểm

Dùng công thức trung điểm cho từng tọa độ.

I (\frac{- 2 + 8}{2}; \frac{3 + ( - 5 )}{2}; \frac{4 + 6}{2}) = I (3; - 1; 5)

Bước 2: Chiếu lên mặt phẳng

Vì $(O y z)$ có $x = 0$ , hình chiếu giữ nguyên $y, z$ của $I$ .

M (0; - 1; 5)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn B: $M (0; - 1; 5)$ ; A, C, D sai vì lần lượt có hoành độ $3$ , tung độ $0$ , hoặc hoành độ $3$ .

Đáp án: B.

M (0; - 1; 5)

— vì hình chiếu lên

(O y z)

có

x = 0

và giữ nguyên

y, z

.

Câu 7

$lo g_{3} (3^{x + 1} - 1) = 2 x + lo g_{\frac{1}{3}} 2$ có hai nghiệm $x_{1}, x_{2}$ . Hãy tính tổng $S = 2 7^{x_{1}} + 2 7^{x_{2}}$

Đáp án đúng: 180

Lời giải

Bước 1: Biến đổi logarit

Đổi $lo g_{\frac{1}{3}} 2 = - lo g_{3} 2$ , rồi gộp các logarit cùng cơ số.

Lũy thừa cơ số $3$ để khử logarit.

lo g_{3} (3^{x + 1} - 1) = 2 x - lo g_{3} 2 ⟹ lo g_{3} (2 (3^{x + 1} - 1)) = 2 x ⟹ 2 (3^{x + 1} - 1) = 3^{2 x}

Bước 2: Đặt ẩn phụ

Đặt $t = 3^{x} > 0$ , khi đó $3^{x + 1} = 3 t$ và $3^{2 x} = t^{2}$ .

2 (3 t - 1) = t^{2} ⟹ t^{2} - 6 t + 2 = 0 ⟹ t_{1} + t_{2} = 6, t_{1} t_{2} = 2

Bước 3: Tính tổng cần tìm

Vì $2 7^{x} = 3^{3 x} = t^{3}$ , áp dụng công thức tổng lập phương.

S = t_{1}^{3} + t_{2}^{3} = (t_{1} + t_{2})^{3} - 3 t_{1} t_{2} (t_{1} + t_{2}) = 6^{3} - 3 \cdot 2 \cdot 6 = 180

Đáp án:

180

— do

S = t_{1}^{3} + t_{2}^{3} = 180

.

Câu 8

Tìm số hạng chứa $x^{31}$ trong khai triển $(x + \frac{1}{x ^{2}})^{40}$

A

$- C_{40}^{37} x^{31}$

B

$C_{40}^{37} x^{31}$

C

$C_{40}^{2} x^{31}$

D

$C_{40}^{4} x^{31}$

Lời giải

Bước 1: Lập số hạng tổng quát

Chọn $k$ thừa số $\frac{1}{x ^{2}}$ trong khai triển.

T_{k} = C_{40}^{k} x^{40 - k} (\frac{1}{x ^{2}})^{k} = C_{40}^{k} x^{40 - 3 k}

Bước 2: Tìm chỉ số phù hợp

Số hạng chứa $x^{31}$ nên số mũ của $x$ phải bằng $31$ .

40 - 3 k = 31 \Rightarrow k = 3

Bước 3: Đối chiếu phương án

Thay $k = 3$ : $T_{3} = C_{40}^{3} x^{31} = C_{40}^{37} x^{31}$ .

Chọn $B$ ; $A$ sai dấu, còn $C$ và $D$ sai chỉ số tổ hợp.

C_{40}^{3} = C_{40}^{37}

Đáp án:

B . C_{40}^{37} x^{31}

— vì

k = 3

và

C_{40}^{3} = C_{40}^{37}

.

Câu 9

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy là hình thoi tâm $O$ , $△ A B D$ đều cạnh $a 2$ , $S A$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $S A = \frac{3 a 2}{2}$ . Góc giữa đường thẳng $S O$ và mặt phẳng $(A B C D)$ bằng bao nhiêu độ (nhập đáp án vào ô trống)?

Đáp án đúng: 60

Lời giải

Bước 1: Tính $O A$

Vì $S A ⊥ (A B C D)$ , hình chiếu của $S O$ là $A O$ .

4 (a 2)^{2} = A C^{2} + (a 2)^{2} \Rightarrow A C^{2} = 6 a^{2} \Rightarrow O A = \frac{A C}{2} = \frac{a 6}{2}

Bước 2: Tính góc

Đặt $θ = (S O, (A B C D))$ . Tam giác $S O A$ vuông tại $A$ .

tan θ = \frac{S A}{O A} = \frac{\frac{3 a 2}{2}}{\frac{a 6}{2}} = 3 \Rightarrow θ = 6 0^{\circ}

Đáp án:

6 0^{\circ}

— vì

tan θ = 3

.

Câu 10

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình chữ nhật $A B = a$ và $A D = 2 a$ , cạnh bên $S A$ vuông góc với đáy. Biết góc giữa hai mặt phẳng $(S B D)$ và $(A B C D)$ bằng $6 0^{\circ}$ . Thể tích $V$ của khối chóp $S . A B C D$ là

A

$\frac{a ^{3} 15}{15}$ .

B

$\frac{a ^{3} 15}{6}$ .

C

$\frac{4 a ^{3} 15}{15}$ .

D

$\frac{a ^{3} 15}{3}$ .

Lời giải

Bước 1: Tính chiều cao $S A$

Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ lên $B D$ . Khi đó $A H = \frac{2 S _{A B D}}{B D}$ và $tan 6 0^{\circ} = \frac{S A}{A H}$ .

B D = a 5, S_{A B D} = a^{2}, A H = \frac{2 a}{5} = \frac{2 a 5}{5}; S A = A H tan 6 0^{\circ} = \frac{2 a 15}{5}

Bước 2: Tính thể tích

Diện tích đáy là $S_{A B C D} = A B \cdot A D$ . Thay vào công thức thể tích khối chóp.

V = \frac{1}{3} \cdot 2 a^{2} \cdot \frac{2 a 15}{5} = \frac{4 a ^{3} 15}{15}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $C$ : $V = \frac{4 a ^{3} 15}{15}$ . Các phương án $A$ , $B$ , $D$ sai lần lượt do hệ số không đúng: $\frac{1}{15}$ , $\frac{1}{6}$ , $\frac{1}{3}$ .

Đáp án: Đáp án

C

—

V = \frac{4 a ^{3} 15}{15}

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề thi thử ĐGNL ĐHQG HN năm 2025 — Toán học

Toán học

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Đổi lãi suất

Bước 2: Tính tổng tiền

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Tìm hoành độ điểm uốn

Bước 2: Tính tung độ liên quan

Bước 3: Lập phương trình tham số

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Tính dân số năm sinh

Bước 2: Tính số trẻ sinh

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Xét tính chẵn lẻ

Bước 2: Trường hợp số số hạng chẵn

Bước 3: Trường hợp số số hạng lẻ

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Lập công thức

Bước 2: Thay số và tính

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Tìm trung điểm

Bước 2: Chiếu lên mặt phẳng

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Biến đổi logarit

Bước 2: Đặt ẩn phụ

Bước 3: Tính tổng cần tìm

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Lập số hạng tổng quát

Bước 2: Tìm chỉ số phù hợp

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Tính OA

Bước 2: Tính góc

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Tính chiều cao SA

Bước 2: Tính thể tích

Bước 3: Đối chiếu phương án

Bước $1$ : Lập công thức

Bước $2$ : Thay số và tính

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Bước 1: Tính $O A$

Bước 1: Tính chiều cao $S A$