Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề thi thử ĐGNL ĐHQG Hà Nội năm 2025 — Toán học và xử lí số liệu môn Toán học (Đánh giá Năng lực (HSA))

Câu 1

Công thức Định luật làm mát của Newton được cho như sau: $k t = ln \frac{T - S}{T _{0} - S}$ trong đó $t$ là số giờ trôi qua, $T_{0}$ là nhiệt độ lúc đầu, $T$ là nhiệt độ sau $t$ giờ, $S$ là nhiệt độ môi trường ( $T_{0}, T, S$ theo cùng một đơn vị đo), $k$ là một hằng số. Một cốc trà có nhiệt độ $9 6^{\circ} C$ , sau 2 phút nhiệt độ giảm còn $9 0^{\circ} C$ . Biết nhiệt độ phòng là $2 4^{\circ} C$ . Tính nhiệt độ của cốc trà sau 10 phút (nhập đáp án vào ô trống, đơn vị: $^{\circ} C$ , làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Đáp án đúng: 70.6

Lời giải

Bước 1: Tính hằng số làm mát

Dùng dữ kiện sau $2$ phút để xác định $k$ .

k = \frac{1}{2} ln (\frac{90 - 24}{96 - 24}) = \frac{1}{2} ln \frac{11}{12}

Bước 2: Tính nhiệt độ sau 10 phút

Áp dụng $T - S = (T_{0} - S) e^{k t}$ với $t = 10$ .

T - 24 = 72 e^{10 k} = 72 e^{5 l n \frac{11}{12}} = 72 (\frac{11}{12})^{5}; T = 24 + 72 (\frac{11}{12})^{5} \approx 70.6

Đáp án:

70. 6^{\circ} C

— thay

t = 10

vào định luật làm mát của Newton.

Câu 2

Cho phương trình $(m - 1) x^{2} - 2 (m + 2) x + m + 1 = 0$ , với $m$ là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ sao cho $x_{1} + x_{2} - x_{1} x_{2}$ là một số nguyên?

A

$3$

B

$4$

C

$5$

D

$6$

Lời giải

Bước 1: Điều kiện hai nghiệm

Phương trình là bậc hai khi $m \neq = 1$ ; hai nghiệm phân biệt khi thêm điều kiện $Δ^{'} > 0$ .

(m - 1) \neq = 0, Δ^{'} = (m + 2)^{2} - (m - 1) (m + 1) = 4 m + 5 > 0 ⟺ m > - \frac{5}{4}

Bước 2: Dùng hệ thức Viète

Tính biểu thức cần xét theo tổng và tích hai nghiệm.

x_{1} + x_{2} - x_{1} x_{2} = \frac{2 ( m + 2 )}{m - 1} - \frac{m + 1}{m - 1} = \frac{4}{m - 1}, \frac{4}{m - 1} \in Z ⟺ m - 1 ∣ 4

Bước 3: Lọc giá trị và đối chiếu phương án

Các ước của $4$ cho các giá trị $m$ ; lọc theo điều kiện $m > - \frac{5}{4}$ .

Đối chiếu, chọn phương án C; A, B, D sai vì không khớp số giá trị thỏa mãn là $5$ .

m - 1 \in {- 4, - 2, - 1, 1, 2, 4} ⟹ m \in {- 3, - 1, 0, 2, 3, 5} ⟹ m \in {- 1, 0, 2, 3, 5}, # = 5

Đáp án: C.

5

— có đúng

5

giá trị nguyên của

m

thỏa mãn.

Câu 3

Một hội trường A có các hàng ghế làm cho 600 chỗ ngồi và các hàng ghế được xếp theo bậc thang, hàng ghế đầu tiên có 15 chỗ ngồi và cao $0, 3 m$ so với mặt nền. Mỗi hàng ghế sau thêm 3 chỗ ngồi và cao hơn $0, 2 m$ so với hàng ghế ngay trước nó. Hỏi hàng ghế cuối cùng của hội trường đó sẽ cao bao nhiêu mét so với mặt nền (nhập đáp án vào ô trống)?

Đáp án đúng: 3.3

Lời giải

Bước 1: Tìm số hàng

Gọi số hàng là $n$ ; tổng số chỗ ngồi bằng $600$ .

S_{n} = \frac{n}{2} [2 \cdot 15 + (n - 1) \cdot 3] = 600 ⟺ 3 n^{2} + 27 n - 1200 = 0 ⟺ n = 16

Bước 2: Tính độ cao hàng cuối

Độ cao tăng đều $0, 2 m$ qua mỗi hàng.

h_{16} = 0, 3 + (16 - 1) \cdot 0, 2 = 3, 3 m

Đáp án:

3.3

— hàng cuối là hàng thứ

16

, cao

3, 3 m

.

Câu 4

Một hộp bi có $5$ viên bi đỏ, $3$ viên bi vàng và $4$ viên bi xanh. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra $4$ viên bi trong đó số viên bi đỏ lớn hơn số viên bi vàng

Đáp án đúng: 275

Lời giải

Bước 1: Đặt số viên theo màu

Gọi số bi đỏ, vàng, xanh được chọn lần lượt là $r, y, g$ .

r + y + g = 4, r > y; N = C_{5}^{r} C_{3}^{y} C_{4}^{g}

Bước 2: Xét các trường hợp

Điều kiện chỉ cho phép $y = 0$ hoặc $y = 1$ ; với mỗi phân bố, dùng tích các tổ hợp.

y = 0 : y = 1 : r = 1 \sum 4 C_{5}^{r} C_{4}^{4 - r} = 125, r = 2 \sum 3 C_{5}^{r} C_{3}^{1} C_{4}^{3 - r} = 150.

Bước 3: Cộng kết quả

Cộng số cách của hai nhóm hợp lệ.

N = 125 + 150 = 275

Đáp án:

275

— cộng số cách của các trường hợp

y = 0

và

y = 1

.

Câu 5

Trong không gian Oxyz, A(2;0;1), B(1;-1;2) và mặt phẳng (P): $2 x + 2 y + z + 1 = 0$ . Mặt phẳng (Q) chứa A, B và vuông góc với mặt phẳng (P). Mặt phẳng (Q) có phương trình là:

A

$- 3 x + 3 y + 6 = 0$

B

$- 3 x + 3 y - 6 = 0$

C

$3 x + 3 y + 6 = 0$

D

$3 x + z + 6 = 0$

Lời giải

Bước 1: Tìm các vectơ trong $(Q)$

Vì $(Q)$ chứa $A$ , $B$ nên $A B$ nằm trong $(Q)$ ; đồng thời $(Q)$ chứa $n_{P}$ .

A B = B - A = (- 1; - 1; 1), n_{P} = (2; 2; 1)

Bước 2: Tìm pháp tuyến $(Q)$

Một vectơ pháp tuyến của $(Q)$ là tích có hướng của hai vectơ nằm trong $(Q)$ .

n_{Q} = A B \times n_{P} = (- 1; - 1; 1) \times (2; 2; 1) = (- 3; 3; 0)

Bước 3: Lập phương trình $(Q)$

Dùng điểm $A$ và $n_{Q} = (- 3; 3; 0)$ để lập phương trình mặt phẳng.

- 3 (x - 2) + 3 (y - 0) + 0 (z - 1) = 0 ⟺ - 3 x + 3 y + 6 = 0

Bước 4: Đối chiếu phương án

Phương án A đúng; B, C, D sai vì không trùng phương trình vừa lập và không thỏa đồng thời điều kiện chứa $A$ , $B$ .

- 3 \cdot 1 + 3 \cdot (- 1) + 6 = 0

Đáp án: Đáp án A:

- 3 x + 3 y + 6 = 0

— có vectơ pháp tuyến

n_{Q} = (- 3; 3; 0)

và đi qua

A

,

B

.

Câu 6

Cho hàm số đa thức bậc ba $y = f (x)$ có đồ thị như hình vẽ:

Hình minh họa

A

Hàm số f(x) đồng biến trên $(1; + \infty)$ .

B

Hàm số f(x) nghịch biến trên $(- \infty; - 2)$ .

C

Hàm số f(x) đồng biến trên $(0; 1)$ .

D

Hàm số f(x) nghịch biến trên $(- 2; 1)$ .

Lời giải

Bước 1: Đọc chiều biến thiên

Quan sát đồ thị trên từng khoảng đã cho: đi lên là đồng biến, đi xuống là nghịch biến.

Đ i l \overset{e}{ˆ} n ⟹ đ \overset{ˋ}{\overset{o}{ˆ}} ng bi \overset{ˊ}{\overset{e}{ˆ}} n; đ i xu \overset{ˊ}{\overset{o}{ˆ}} ng ⟹ nghịch bi \overset{ˊ}{\overset{e}{ˆ}} n

Bước 2: Xét phương án A

Trên khoảng $(1; + \frac{\infty}{)}$ , đồ thị đi lên nên $f (x)$ đồng biến.

(1; + \infty) : f đ \overset{ˋ}{\overset{o}{ˆ}} ng bi \overset{ˊ}{\overset{e}{ˆ}} n

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn A. B, C, D sai vì chiều đi của đồ thị trên các khoảng tương ứng không phù hợp với tính chất đã nêu.

A

Đáp án: A — Trên

(1; + \infty)

, đồ thị đi lên nên hàm số đồng biến.

Câu 7

Có bao nhiêu giá trị nguyên của $a$ để bất phương trình

$ln (2 x^{2} + 3) > ln (x^{2} + a x + 1)$ nghiệm đúng với mọi $x \in R$ (nhập đáp án vào ô trống)?

Đáp án đúng: 3

Lời giải

Bước 1: Điều kiện xác định

$2 x^{2} + 3 > 0$ với mọi $x$ ; để logarit thứ hai xác định với mọi $x$ , cần $x^{2} + a x + 1 > 0$ với mọi $x$ .

a^{2} - 4 < 0 ⟺ ∣ a ∣ < 2

Bước 2: So sánh hai logarit

Do các biểu thức trong logarit dương, bất phương trình tương đương với hiệu hai biểu thức lớn hơn $0$ với mọi $x$ .

ln (2 x^{2} + 3) > ln (x^{2} + a x + 1) ⟺ x^{2} - a x + 2 > 0 \forall x ⟺ a^{2} - 8 < 0 ⟺ ∣ a ∣ < 22

Bước 3: Chọn giá trị nguyên

Kết hợp hai điều kiện, điều kiện $∣ a ∣ < 2$ chặt hơn. Các giá trị nguyên thỏa mãn là $a \in {- 1, 0, 1}$ .

a \in {- 1, 0, 1} ⟹ 3 gi \overset{a}{ˊ} trị

Đáp án: Có

3

giá trị nguyên của

a

, vì

a \in {- 1, 0, 1}

.

Câu 8

Biết tập nghiệm của bất phương trình $lo g_{\frac{1}{2}} (3 - 2^{1 - x}) + x < 0$ là $(a; b)$ .

Giá trị $a - 2 b$ bằng:

A

$- 3$

B

$0$

C

$- 2$

D

$2$

Lời giải

Bước 1: Điều kiện và biến đổi

Điều kiện xác định là $3 - 2^{1 - x} > 0$ . Vì $0 < \frac{1}{2} < 1$ , bất phương trình tương đương với dạng mũ đổi chiều.

3 - 2^{1 - x} > 0; lo g_{\frac{1}{2}} (3 - 2^{1 - x}) < - x ⟺ 3 - 2^{1 - x} > 2^{x}

Bước 2: Đặt ẩn phụ

Đặt $t = 2^{x} > 0$ , khi đó $2^{1 - x} = \frac{2}{t}$ .

3 - \frac{2}{t} > t ⟺ t^{2} - 3 t + 2 < 0 ⟺ 1 < t < 2

Bước 3: Suy ra tập nghiệm

Do $t = 2^{x}$ tăng trên $R$ , suy ra khoảng nghiệm theo $x$ .

1 < 2^{x} < 2 ⟺ 0 < x < 1 ⟹ S = (0; 1), a = 0, b = 1

Bước 4: Đối chiếu phương án

Tính $a - 2 b = 0 - 2 \cdot 1 = - 2$ , chọn phương án $C$ . Các phương án $A$ , $B$ , $D$ sai vì lần lượt cho $- 3$ , $0$ , $2$ , đều khác $- 2$ .

a - 2 b = 0 - 2 \cdot 1 = - 2

Đáp án:

C

— vì

a - 2 b = - 2

.

Câu 9

$lim_{x \to 1} \frac{x + 8 - 3}{x - 2}$ bằng

A

$0$

B

$2$

C

$5$

D

$3$

Lời giải

Bước 1: Kiểm tra mẫu số

Tại $x = 1$ , mẫu số khác $0$ nên có thể thế trực tiếp.

1 - 2 = - 1 \neq = 0

Bước 2: Thay trực tiếp

Thay $x = 1$ vào tử số và mẫu số.

x \to 1 lim \frac{x + 8 - 3}{x - 2} = \frac{1 + 8 - 3}{1 - 2} = \frac{3 - 3}{- 1} = 0

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án A. Các phương án B, C, D sai vì cho kết quả khác $0$ .

Đáp án: A — Vì giới hạn bằng

0

khi thay trực tiếp

x = 1

.

Câu 10

Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị $y = f^{'} (x)$ như hình bên.

Hàm số $g (x) = f (3 - 2 x) + 2024$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Hình minh họa

A

$(1; + \infty)$

B

$(\frac{1}{2}; 1)$

C

$(0; \frac{1}{2})$

D

$(- \infty; \frac{1}{2})$

Lời giải

Bước $1$ : Tính đạo hàm

Dùng quy tắc đạo hàm hàm hợp.

g^{'} (x) = f^{'} (3 - 2 x) \cdot (- 2)

Bước $2$ : Tìm khoảng đồng biến

Vì $g^{'} (x) > 0$ và $- 2 < 0$ , cần $f^{'} (3 - 2 x) < 0$ .

Từ đồ thị, $f^{'} (t) < 0$ khi $t \in (0; 2)$ .

3 - 2 x \in (0; 2) ⟺ 0 < 3 - 2 x < 2 ⟺ \frac{1}{2} < x < \frac{3}{2}

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Khoảng đồng biến là $(\frac{1}{2}; \frac{3}{2})$ , nên $(\frac{1}{2}; 1)$ thuộc khoảng này. Chọn $B$ ; $A$ , $C$ , $D$ sai vì không nằm trọn trong khoảng đồng biến.

Đáp án: B — Vì

(\frac{1}{2}; 1) \subset (\frac{1}{2}; \frac{3}{2})

, là khoảng đồng biến của

g (x)

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề thi thử ĐGNL ĐHQG Hà Nội năm 2025 — Toán học và xử lí số liệu

Toán học và xử lí số liệu

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Tính hằng số làm mát

Bước 2: Tính nhiệt độ sau 10 phút

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Điều kiện hai nghiệm

Bước 2: Dùng hệ thức Viète

Bước 3: Lọc giá trị và đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Tìm số hàng

Bước 2: Tính độ cao hàng cuối

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Đặt số viên theo màu

Bước 2: Xét các trường hợp

Bước 3: Cộng kết quả

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Tìm các vectơ trong (Q)

Bước 2: Tìm pháp tuyến (Q)

Bước 3: Lập phương trình (Q)

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Đọc chiều biến thiên

Bước 2: Xét phương án A

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Điều kiện xác định

Bước 2: So sánh hai logarit

Bước 3: Chọn giá trị nguyên

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Điều kiện và biến đổi

Bước 2: Đặt ẩn phụ

Bước 3: Suy ra tập nghiệm

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Kiểm tra mẫu số

Bước 2: Thay trực tiếp

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Tính đạo hàm

Bước 2: Tìm khoảng đồng biến

Bước 3: Đối chiếu phương án

Bước 1: Tìm các vectơ trong $(Q)$

Bước 2: Tìm pháp tuyến $(Q)$

Bước 3: Lập phương trình $(Q)$

Bước $1$ : Tính đạo hàm

Bước $2$ : Tìm khoảng đồng biến

Bước $3$ : Đối chiếu phương án