Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Tuyên Quang năm 2025 - Lần 1 môn Toán học 2025 (Thi Tốt nghiệp THPT)

Câu 1

Cho hình lập phương $A B C D . E F G H$ cạnh bằng $a$ . Giá trị của $A C \cdot E G$ bằng:

A

$- a^{2}$

B

$a^{2}$

C

$- 2 a^{2}$

D

$2 a^{2}$

Lời giải

Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ

Đặt gốc tại $A$ , các trục $O x, O y, O z$ lần lượt theo hướng $A B, A D, A E$ .

A (0, 0, 0), C (a, a, 0), E (0, 0, a), G (a, a, a)

Bước 2: Tính tích vô hướng

Từ tọa độ các điểm, xác định hai vectơ rồi áp dụng công thức tích vô hướng.

A C = (a, a, 0), E G = (a, a, 0), A C \cdot E G = a^{2} + a^{2} = 2 a^{2}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $D$ : $2 a^{2}$ ; các phương án $A$ , $B$ , $C$ sai vì lần lượt sai dấu, thiếu hệ số $2$ và sai dấu.

2 a^{2}

Đáp án:

D . 2 a^{2}

— Hai vectơ có cùng tọa độ

(a, a, 0)

nên tích vô hướng bằng

2 a^{2}

.

Câu 2

Tập nghiệm $S$ của phương trình $2^{x^{2} + 7 x + 10} = 1$ là

A

$S = {2; 5}$

B

$S = {- 5; - 2}$

C

$S = {- 5; 2}$

D

$S = {\frac{- 7 - 13}{2}; \frac{- 7 + 13}{2}}$

Lời giải

Bước 1: Đưa về phương trình bậc hai

Đặt $A = x^{2} + 7 x + 10$ ; vì $2 > 0$ và $2 \neq = 1$ nên $2^{A} = 1 ⟺ A = 0$ .

2^{x^{2} + 7 x + 10} = 1 ⟺ x^{2} + 7 x + 10 = 0

Bước 2: Giải phương trình

Phân tích thành nhân tử rồi tìm nghiệm.

x^{2} + 7 x + 10 = 0 ⟺ (x + 5) (x + 2) = 0 ⟺ x = - 5 hoặc x = - 2

Bước 3: Đối chiếu phương án

Suy ra $S = {- 5; - 2}$ . Chọn B; A và C sai vì chứa giá trị không thỏa mãn, D sai vì không phải hai nghiệm của phương trình.

Đáp án: B.

S = {- 5; - 2}

— vì số mũ phải bằng

0

.

Câu 3

Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên như sau. Tọa độ điểm cực đại của hàm số là:

A

$(2; 0)$

B

$(0; 2)$

C

$(3; - 4)$

D

$(- 4; 3)$

Lời giải

Bước 1: Xác định điểm tới hạn

Từ bảng biến thiên, các điểm cần xét là $x = 0$ và $x = 3$ .

x = 0, x = 3

Bước 2: Nhận diện cực đại

Tại $x = 0$ , $f^{'} (x)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên hàm số đạt cực đại.

f^{'} (x) : + \to - tại x = 0

Bước 3: Đối chiếu phương án

Tọa độ điểm cực đại là $(0; f (0)) = (0; 2)$ . Chọn B; A hoán đổi hoành độ và tung độ, C là điểm cực tiểu, D không phù hợp bảng biến thiên.

(0; 2)

Đáp án: B.

(0; 2)

— vì

f^{'} (x)

đổi dấu từ

+

sang

-

tại

x = 0

.

Câu 4

Trong không gian với hệ trục tọa độ $O x y z$ , cho 2 điểm $A (1; - 2; - 3)$ và $B (7; - 14; 11)$ . Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là:

A

$(0; 2)$

B

$(- 2; 0)$

C

$(0; - 2)$

D

$(2; 0)$

Lời giải

Bước 1: Viết công thức

Áp dụng công thức trung điểm trong không gian.

M (\frac{x _{A} + x _{B}}{2}; \frac{y _{A} + y _{B}}{2}; \frac{z _{A} + z _{B}}{2})

Bước 2: Thay số

Thay tọa độ của $A$ và $B$ vào công thức.

M (\frac{1 + 7}{2}; \frac{- 2 + ( - 14 )}{2}; \frac{- 3 + 11}{2}) = M (4; - 8; 4)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Kết quả đúng là $M (4; - 8; 4)$ ; không phương án nào phù hợp vì các lựa chọn đều thiếu tọa độ thứ ba và không trùng kết quả.

Do đó, phương án $B$ trong đề đã cho không khớp với dữ kiện.

Đáp án: Không có phương án đúng — trung điểm tính được là

M (4; - 8; 4)

, nên đáp án

B

là không phù hợp với dữ kiện.

Câu 5

Cấp số cộng $(u_{n})$ có $u_{1} = 1$ và công sai $d = 3$ . Số hạng $u_{3}$ của cấp số cộng là:

A

10

B

7

C

9

D

4

Lời giải

Bước 1: Viết công thức

Số hạng tổng quát của cấp số cộng là:

u_{n} = u_{1} + (n - 1) d

Bước 2: Thay số và tính

Thay $n = 3$ , $u_{1} = 1$ , $d = 3$ vào công thức.

u_{3} = 1 + (3 - 1) \cdot 3 = 7

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $B$ vì $u_{3} = 7$ ; các phương án $A$ , $C$ , $D$ lần lượt cho $10$ , $9$ , $4$ nên không đúng.

Đáp án:

B

— Vì

u_{3} = 1 + (3 - 1) \cdot 3 = 7

.

Câu 6

Cho hàm số $y = \frac{a x + b}{c x + d}$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho và trục hoành là:

A

$(0; 2)$

B

$(- 2; 0)$

C

$(0; - 2)$

D

$(2; 0)$

Lời giải

Bước 1: Xác định điều kiện

Mọi điểm thuộc trục hoành đều có tung độ bằng $0$ .

y = 0

Bước 2: Đọc giao điểm trên hình

Theo đồ thị, đường cong cắt trục hoành tại điểm có hoành độ $2$ .

(x; y) = (2; 0)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án D: $(2; 0)$ . A và C sai vì có hoành độ bằng $0$ , còn B sai vì hoành độ là $- 2$ .

Đáp án: D.

(2; 0)

— đồ thị cắt trục hoành tại hoành độ

x = 2

.

Câu 7

Trong không gian với hệ trục tọa độ $O x y z$ , cho hai vector $u = (- 1; 1; 0), v = (0; - 1; 0)$ . Góc giữa hai vector đã cho bằng:

A

$12 0^{\circ}$

B

$6 0^{\circ}$

C

$13 5^{\circ}$

D

$4 5^{\circ}$

Lời giải

Bước 1: Tính tích vô hướng và độ dài

Tính tích vô hướng và độ dài của hai vectơ.

u \cdot v = (- 1) \cdot 0 + 1 \cdot (- 1) + 0 \cdot 0 = - 1, ∣ u ∣ = 2, ∣ v ∣ = 1

Bước 2: Tính côsin góc

Áp dụng công thức góc giữa hai vectơ.

cos θ = \frac{u \cdot v}{∣ u ∣ ∣ v ∣} = \frac{- 1}{2 \cdot 1} = - \frac{1}{2} \Rightarrow θ = 13 5^{\circ}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn C. $13 5^{\circ}$ ; A, B, D sai vì $cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ , $cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ , $cos 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}$ .

Đáp án: C.

13 5^{\circ}

— vì

cos θ = - \frac{1}{2}

.

Câu 8

Kết quả thống kê chiều cao (đơn vị: cm) của các bạn học sinh nữ lớp 12A ở bảng sau. Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm về chiều cao của học sinh nữ lớp 12A (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2) bằng:

A

160,69

B

168,59

C

166,24

D

167,97

Lời giải

Bước 1: Tính tổng số và vị trí

Cộng các tần số để được tổng số học sinh, rồi xác định vị trí $Q_{3}$ .

n = 5 + 9 + 8 + 2 + 1 = 25, \frac{3 n}{4} = \frac{3 \cdot 25}{4} = 18, 75

Bước 2: Xác định lớp chứa $Q_{3}$

Tần số tích lũy là $5, 14, 22, 24, 25$ ; vị trí $18, 75$ thuộc lớp $[165; 170)$ .

Suy ra $u_{m} = 165$ , $u_{m + 1} = 170$ , $C = 14$ , $n_{m} = 8$ .

5 + 9 = 14 < 18, 75 \leq 22 = 5 + 9 + 8

Bước 3: Tính và làm tròn

Thay các giá trị vào công thức tứ phân vị thứ ba.

Q_{3} = 165 + \frac{18 , 75 - 14}{8} (170 - 165) = 167, 96875 \approx 167, 97

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn D; A, B, C sai vì chọn sai lớp chứa $Q_{3}$ hoặc nội suy không đúng.

Đáp án: D.

167, 97

— kết quả nội suy trong lớp

[165; 170)

.

Câu 9

Tập nghiệm $S$ của bất phương trình $lo g_{2} (2 x - 1) \geq 3$ là:

A

$[\frac{5}{2}; + \infty)$

B

$[\frac{9}{2}; + \infty)$

C

$(\frac{7}{2}; + \infty)$

D

$[\frac{7}{2}; + \infty)$

Lời giải

Bước 1: Tìm điều kiện xác định

Biểu thức logarit xác định khi đối số dương.

2 x - 1 > 0 ⟺ x > \frac{1}{2}

Bước 2: Giải bất phương trình

Vì cơ số $2 > 1$ , chuyển sang dạng mũ và giải bất phương trình bậc nhất.

2 x - 1 \geq 2^{3} = 8 ⟺ 2 x \geq 9 ⟺ x \geq \frac{9}{2}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $B$ vì $S = [\frac{9}{2}; + \infty)$ . $A$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt chọn cận $\frac{5}{2}$ , chọn cận $\frac{7}{2}$ và loại biên, chọn cận $\frac{7}{2}$ .

Đáp án:

B

— Vì tập nghiệm là

[\frac{9}{2}; + \infty)

.

Câu 10

Cho hàm số $y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (a \neq = 0)$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

A

$(- \infty; - 1) \cup (1; + \infty)$

B

$(0; + \infty)$

C

$(- \infty; 0)$

D

$(- 1; 1)$

Lời giải

Bước 1: Xác định các điểm cực trị

Hoành độ cực đại và cực tiểu lần lượt là $- 1$ và $1$ .

x_{C Đ} = - 1, x_{CT} = 1

Bước 2: Xác định khoảng nghịch biến

Giữa $x = - 1$ và $x = 1$ , đồ thị đi xuống khi $x$ tăng.

(- 1; 1)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn D: $(- 1; 1)$ . A sai vì là các khoảng đồng biến; B và C chứa thêm những đoạn đồng biến.

Đáp án: D.

(- 1; 1)

— đồ thị đi xuống trên khoảng này.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Tuyên Quang năm 2025 - Lần 1

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chọn một phương án .

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ

Bước 2: Tính tích vô hướng

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Đưa về phương trình bậc hai

Bước 2: Giải phương trình

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Xác định điểm tới hạn

Bước 2: Nhận diện cực đại

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Viết công thức

Bước 2: Thay số

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Viết công thức

Bước 2: Thay số và tính

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Xác định điều kiện

Bước 2: Đọc giao điểm trên hình

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Tính tích vô hướng và độ dài

Bước 2: Tính côsin góc

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Tính tổng số và vị trí

Bước 2: Xác định lớp chứa Q3​

Bước 3: Tính và làm tròn

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Tìm điều kiện xác định

Bước 2: Giải bất phương trình

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Xác định các điểm cực trị

Bước 2: Xác định khoảng nghịch biến

Bước 3: Đối chiếu phương án

Bước 2: Xác định lớp chứa $Q_{3}$