Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Phú Thọ năm 2025 - Lần 2 môn Toán học 2025 (Thi Tốt nghiệp THPT)

Câu 1

Trong không gian $O x y z$ , cho mặt cầu $(S)$ có phương trình: $(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 3)^{2} = 9$ . Tọa độ tâm của mặt cầu đã cho là

A

$(2; - 1; 3)$

B

$(- 2; 1; 3)$

C

$(- 2; 1; - 3)$

D

$(- 2; - 1; 3)$

Lời giải

Bước 1: Đưa về dạng chuẩn

So sánh từng nhóm bình phương với dạng chuẩn của mặt cầu.

(x_{0}; y_{0}; z_{0}) = (2; - 1; 3)

Bước 2: Đối chiếu phương án

Chọn phương án A: tâm là $(2; - 1; 3)$ . B, C, D sai vì lần lượt sai dấu của $x, y$ ; sai dấu cả $x, y, z$ ; và sai dấu $x$ .

Đáp án: A

(2; - 1; 3)

— tọa độ tâm lấy theo các số đối của hằng số trong từng nhóm bình phương.

Câu 2

Họ các nguyên hàm của hàm số $f (x) = 2^{x}$ là

A

$\frac{2 ^{x}}{ln 2} + C$

B

$2^{x} ln 2 + C$

C

$x \cdot 2^{x - 1} + C$

D

$2^{x} ln x + C$

Lời giải

Bước 1: Nhớ công thức

Áp dụng công thức nguyên hàm hàm mũ với $a > 0$ , $a \neq = 1$ .

\int a^{x} d x = \frac{a ^{x}}{ln a} + C

Bước 2: Thay cơ số

Đặt $a = 2$ vào công thức trên.

\int 2^{x} d x = \frac{2 ^{x}}{ln 2} + C

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án A. B, C, D sai vì lần lượt là đạo hàm của $2^{x}$ , sai công thức nguyên hàm và chứa $ln x$ không phù hợp.

Đáp án: A — họ nguyên hàm là

\frac{2 ^{x}}{ln 2} + C

.

Câu 3

Cho hàm số $y = \frac{a x + b}{c x + d} (a, b, c, d \in R)$ có đồ thị là đường cong như hình vẽ. Tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số đã cho là

A

$(- 1; 1)$

B

$(1; 1)$

C

$(1; - 1)$

D

$(0; 1)$

Lời giải

Bước 1: Xác định hai tiệm cận

Từ đồ thị, hai đường tiệm cận lần lượt là $x = - 1$ và $y = 1$ .

x = - 1, y = 1

Bước 2: Tìm tâm đối xứng

Tâm đối xứng là giao điểm của hai đường tiệm cận.

I (- 1; 1)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn A. $(- 1; 1)$ ; B, C, D sai vì lần lượt lấy sai hoành độ, sai cả hai tọa độ và chọn $x = 0$ không đúng tiệm cận đứng.

Đáp án: A.

(- 1; 1)

— là giao điểm của hai đường tiệm cận

x = - 1

và

y = 1

.

Câu 4

Hai mẫu số liệu ghép nhóm $A, B$ có bảng tần số ghép nhóm như sau. Gọi $Δ Q_{A}, Δ Q_{B}$ lần lượt là khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm $A, B$ . Phát biểu nào sau đây đúng?

A

$Δ Q_{B} = 2Δ Q_{A}$

B

$Δ Q_{B} = 0, 3 + Δ Q_{A}$

C

$Δ Q_{B} = Δ Q_{A}$

D

$Δ Q_{B} = 0, 3Δ Q_{A}$

Lời giải

Bước 1: Nhận dạng phép biến đổi

Tần số mẫu $B$ gấp đôi mẫu $A$ , còn các lớp tương ứng dịch phải $0, 3$ .

Vì vậy, các vị trí tứ phân vị giữ nguyên theo tỉ lệ.

Q_{1}^{B} = Q_{1}^{A} + 0, 3, Q_{3}^{B} = Q_{3}^{A} + 0, 3

Bước 2: Tính khoảng tứ phân vị

Thay hai hệ thức trên vào công thức khoảng tứ phân vị.

Δ Q_{B} = Q_{3}^{B} - Q_{1}^{B} = (Q_{3}^{A} + 0, 3) - (Q_{1}^{A} + 0, 3) = Q_{3}^{A} - Q_{1}^{A} = Δ Q_{A}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $C$ . Các phương án $A$ , $B$ , $D$ sai vì lần lượt cho rằng khoảng tứ phân vị gấp đôi, tăng thêm $0, 3$ , hoặc nhân $0, 3$ .

Đáp án: C — Vì phép dịch phải

0, 3

làm cả

Q_{1}

và

Q_{3}

cùng tăng, nên

Δ Q_{B} = Δ Q_{A}

.

Câu 5

Số nghiệm của phương trình $lo g (2 x - 1) = lo g (x^{2} - 4)$ là

A

$2$

B

$0$

C

$1$

D

$3$

Lời giải

Bước $1$ : Tìm điều kiện xác định

Điều kiện xác định của hai logarit là $2 x - 1 > 0$ và $x^{2} - 4 > 0$ ; kết hợp được $x > 2$ .

2 x - 1 > 0 \Rightarrow x > \frac{1}{2}; x^{2} - 4 > 0 \Rightarrow x > 2 hoặc x < - 2 \Rightarrow x > 2

Bước $2$ : Giải phương trình

Vì hai logarit cùng cơ số, ta đồng nhất các biểu thức dương bên trong logarit.

2 x - 1 = x^{2} - 4 ⟺ x^{2} - 2 x - 3 = 0 ⟺ (x - 3) (x + 1) = 0 ⟹ x = 3 hoặc x = - 1

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Chỉ $x = 3$ thỏa $x > 2$ , nên phương trình có $1$ nghiệm. Chọn phương án C; A, B, D sai vì lần lượt đếm cả nghiệm loại, bỏ nghiệm hợp lệ và cho số nghiệm không đúng.

x = 3 l \overset{a}{ˋ} nghiệm duy nh \overset{ˊ}{\overset{a}{ˆ}} t

Đáp án:

C . 1

— chỉ

x = 3

thỏa điều kiện

x > 2

.

Câu 6

Nếu $\int_{a}^{b} f (x) d x = 2025$ thì $\int_{a}^{b} 2 f (x) d x$ bằng

A

$202 5^{2}$

B

$\frac{2025}{2}$

C

$2023$

D

$4050$

Lời giải

Bước 1: Đưa hệ số ra ngoài

Áp dụng tính tuyến tính của tích phân với hệ số $2$ .

\int_{a}^{b} 2 f (x) d x = 2 \int_{a}^{b} f (x) d x = 2 \cdot 2025 = 4050

Bước 2: Đối chiếu phương án

Chọn phương án D: $4050$ ; A, B, C sai vì lần lượt bình phương, chia và trừ không đúng hệ số.

Đáp án: D.

4050

— đưa hệ số

2

ra ngoài tích phân rồi nhân với

2025

.

Câu 7

Cho hàm số bậc ba $y = f (x)$ có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A

$(- \infty; - 2)$

B

$(- 2; 0)$

C

$(0; + \infty)$

D

$(- 1; 1)$

Lời giải

Bước 1: Xác định các mốc đổi chiều

Đồ thị đổi chiều tại hai hoành độ $x = - 2$ và $x = 0$ .

- \infty < - 2 < 0 < + \infty

Bước 2: Đọc chiều biến thiên

Đồ thị đi xuống trên $(- \infty; - 2)$ , đi lên trên $(- 2; 0)$ và đi xuống trên $(0; + \infty)$ .

f đ \overset{ˋ}{\overset{o}{ˆ}} ng bi \overset{ˊ}{\overset{e}{ˆ}} n tr \overset{e}{ˆ} n (- 2; 0)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn B: $(- 2; 0)$ . A, C, D sai vì lần lượt là khoảng nghịch biến, khoảng nghịch biến và khoảng chứa cả đoạn nghịch biến $(0; 1)$ .

Đáp án: B.

(- 2; 0)

— vì đồ thị đi lên trên khoảng này.

Câu 8

Cho cấp số nhân $(u_{n})$ có $u_{1} = 1, u_{4} = 27$ . Công bội $q$ của cấp số nhân đã cho bằng

A

$\frac{26}{3}$

B

$\pm 3$

C

$- 3$

D

$3$

Lời giải

Bước 1: Lập phương trình

Dùng công thức số hạng tổng quát với $n = 4$ .

u_{4} = u_{1} \cdot q^{3} ⟹ 27 = 1 \cdot q^{3}

Bước 2: Tìm công bội

Giải phương trình thu được giá trị thực của $q$ .

q^{3} = 27 ⟹ q = 3

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $D$ : $3$ ; các phương án $A$ , $B$ , $C$ sai vì lần lượt không thỏa $q^{3} = 27$ , chứa thêm giá trị $- 3$ , và có $(- 3)^{3} = - 27$ .

Đáp án:

D . 3

— vì

q^{3} = 27

nên

q = 3

.

Câu 9

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình vuông và $S A$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Đường thẳng $C D$ vuông góc với mặt phẳng nào dưới đây?

A

$(S A C)$

B

$(S A D)$

C

$(S A B)$

D

$(S B C)$

Lời giải

Bước 1: Tìm đường vuông góc thứ nhất

Vì $S A ⊥ (A B C D)$ và $C D \subset (A B C D)$ nên $C D ⊥ S A$ .

S A ⊥ (A B C D) \Rightarrow C D ⊥ S A

Bước 2: Tìm đường vuông góc thứ hai

Do $A B C D$ là hình vuông, $A B ⊥ A D$ và $A B ∥ C D$ , suy ra $C D ⊥ A D$ .

Hai đường $S A$ , $A D$ cắt nhau tại $A$ và cùng thuộc $(S A D)$ .

A B ⊥ A D, A B ∥ C D \Rightarrow C D ⊥ A D; C D ⊥ S A, C D ⊥ A D \Rightarrow C D ⊥ (S A D)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn B: $(S A D)$ ; A, C, D sai lần lượt vì $C D \neq ⊥ A C$ , $C D ∥ A B$ , và $C D \neq ⊥ S B$ .

Đáp án: B.

(S A D)

—

C D

vuông góc với hai đường cắt nhau

S A

và

A D

trong mặt phẳng

(S A D)

.

Câu 10

Cho tứ diện $S . A B C$ với $M, N, P$ lần lượt là trung điểm của $S A, S B, S C$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A

$A B = \frac{1}{2} (P N - P M)$

B

$A B = P N - P M$

C

$A B = 2 (P M - P N)$

D

$A B = 2 (P N - P M)$

Lời giải

Bước 1: Viết tọa độ trung điểm

Dùng công thức trung điểm cho $M, N, P$ .

M = \frac{S + A}{2}, N = \frac{S + B}{2}, P = \frac{S + C}{2}

Bước 2: Tính hiệu vectơ

Thay các biểu thức trên vào hiệu cần xét.

P N - P M = (\frac{S + B}{2} - \frac{S + C}{2}) - (\frac{S + A}{2} - \frac{S + C}{2}) = \frac{A B}{2} \Rightarrow A B = 2 (P N - P M)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $D$ ; $A$ và $B$ sai hệ số, còn $C$ sai dấu.

Đáp án: D — Vì

A B = 2 (P N - P M)

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Phú Thọ năm 2025 - Lần 2

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chọn một phương án .

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Đưa về dạng chuẩn

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Nhớ công thức

Bước 2: Thay cơ số

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Xác định hai tiệm cận

Bước 2: Tìm tâm đối xứng

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Nhận dạng phép biến đổi

Bước 2: Tính khoảng tứ phân vị

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Tìm điều kiện xác định

Bước 2: Giải phương trình

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Đưa hệ số ra ngoài

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Xác định các mốc đổi chiều

Bước 2: Đọc chiều biến thiên

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Lập phương trình

Bước 2: Tìm công bội

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Tìm đường vuông góc thứ nhất

Bước 2: Tìm đường vuông góc thứ hai

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Viết tọa độ trung điểm

Bước 2: Tính hiệu vectơ

Bước 3: Đối chiếu phương án

Bước $1$ : Tìm điều kiện xác định

Bước $2$ : Giải phương trình

Bước $3$ : Đối chiếu phương án