Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Ninh Bình năm 2025 - Lần 3 môn Toán học 2025 (Thi Tốt nghiệp THPT)

Câu 1

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên $R$ và có đạo hàm $f^{'} (x) = (x - 1)^{2}$ . Khẳng định nào dưới đây đúng?

A

Hàm số $y = f (x)$ đồng biến trên khoảng $(- \infty; 1)$ và nghịch biến trên khoảng $(1; + \infty)$ .

B

Hàm số $y = f (x)$ nghịch biến trên khoảng $(- \infty; 1)$ và đồng biến trên khoảng $(1; + \infty)$ .

C

Hàm số $y = f (x)$ đồng biến trên $R$ .

D

Hàm số $y = f (x)$ nghịch biến trên $R$ .

Lời giải

Bước 1: Xét dấu đạo hàm

Đạo hàm là bình phương nên không âm trên toàn bộ miền xác định.

f^{'} (x) = (x - 1)^{2} \geq 0 \forall x \in R, f^{'} (x) = 0 ⟺ x = 1

Bước 2: Kết luận tính đơn điệu

Đạo hàm dương với mọi $x \neq = 1$ , chỉ bằng $0$ tại $x = 1$ .

Vì vậy, hàm số đồng biến trên $R$ .

f^{'} (x) > 0 \forall x \in (- \infty; 1) \cup (1; + \infty)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $C$ . Các phương án $A$ , $B$ , $D$ sai vì hàm số không có khoảng nghịch biến.

Đáp án:

C

— Hàm số

y = f (x)

đồng biến trên

R

vì

f^{'} (x) \geq 0

và chỉ bằng

0

tại

x = 1

.

Câu 2

Cho hình lăng trụ $A B C . A_{1} B_{1} C_{1}$ . Gọi $G_{1}$ là trọng tâm tam giác $A_{1} B_{1} C_{1}$ .

A

$A G_{1} = A A_{1} + \frac{1}{3} (A B + A C)$ .

B

$A G_{1} = \frac{1}{3} A A_{1} + \frac{2}{3} (A B + A C)$ .

C

$A G_{1} = \frac{1}{3} (A A_{1} + A B + A C)$ .

D

$A G_{1} = A A_{1} + \frac{2}{3} (A B + A C)$ .

Lời giải

Bước 1: Dùng tính chất trọng tâm

Vì $G_{1}$ là trọng tâm tam giác $A_{1} B_{1} C_{1}$ , ta có:

A_{1} G_{1} = \frac{1}{3} (A_{1} B_{1} + A_{1} C_{1})

Bước 2: Phân tích vectơ

Phân tích theo điểm trung gian $A_{1}$ rồi thay các vectơ tương ứng trong lăng trụ.

A G_{1} = A A_{1} + A_{1} G_{1} = A A_{1} + \frac{1}{3} (A B + A C)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án A. B, C, D sai vì lần lượt chia sai hệ số cạnh bên, chia cả biểu thức cho $3$ , và dùng hệ số $\frac{2}{3}$ cho các vectơ đáy.

Đáp án: A —

A G_{1} = A A_{1} + \frac{1}{3} (A B + A C)

do trọng tâm tạo phần vectơ đáy bằng

\frac{1}{3}

.

Câu 3

Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ , cho mặt phẳng $(P) : x - 2 z + 2 = 0$ . Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là:

A

$n (1; - 2; 2)$

B

$n (1; 2; 0)$

C

$n (0; 1; - 2)$

D

$n (1; 0; - 2)$

Lời giải

Bước 1: Đưa về dạng tổng quát

Viết đủ hệ số của các biến trong phương trình mặt phẳng.

x - 2 z + 2 = 1 \cdot x + 0 \cdot y - 2 \cdot z + 2 = 0

Bước 2: Xác định vectơ pháp tuyến

Các hệ số của $x$ , $y$ , $z$ lần lượt là $a$ , $b$ , $c$ .

a = 1, b = 0, c = - 2

Bước 3: Đối chiếu phương án

Suy ra $n = (1; 0; - 2)$ , trùng với phương án $D$ ; các phương án $A$ , $B$ , $C$ sai vì lần lượt có hệ số không khớp.

Đáp án:

D

— Vì vectơ pháp tuyến có tọa độ

(1; 0; - 2)

.

Câu 4

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên đoạn $[2; 7]$ . Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f (x)$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = 2, x = 7$ có diện tích là:

A

$S = \int_{2}^{7} f (x) d x$ .

B

$S = π \int_{2}^{7} ∣ f (x) d x ∣$ .

C

$S = π \int_{2}^{7} f^{2} (x) d x$ .

D

$S = \int_{2}^{7} ∣ f (x) ∣ d x$ .

Lời giải

Bước 1: Áp dụng công thức diện tích

Diện tích cần tìm là diện tích giữa đồ thị $y = f (x)$ và trục hoành trên đoạn $[2; 7]$ .

S = \int_{2}^{7} ∣ f (x) ∣ d x

Bước 2: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $D$ . Phương án $A$ sai vì đặt trị tuyệt đối ngoài tích phân; $B$ và $C$ sai vì thêm hệ số $π$ không phù hợp, đồng thời $C$ dùng $f^{2} (x)$ .

Đáp án: D — Vì diện tích được tính bởi

S = \int_{2}^{7} ∣ f (x) ∣ d x

.

Câu 5

Hai mẫu số liệu ghép nhóm $T_{1}, T_{2}$ có bảng tần số ghép nhóm như sau. Gọi $Δ_{1 Q}, Δ_{2 Q}$ lần lượt là khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm $T_{1}, T_{2}$ . Phát biểu nào sau đây là đúng?

A

$Δ_{1 Q} = Δ_{2 Q}$ .

B

$Δ_{1 Q} = 2 Δ_{2 Q}$ .

C

$4 Δ_{1 Q} = Δ_{2 Q}$ .

D

$2 Δ_{1 Q} = Δ_{2 Q}$ .

Lời giải

Bước 1: Tính tần số tích lũy

Tổng tần số lần lượt là $N_{1} = 25$ và $N_{2} = 50$ .

Tần số tích lũy: $T_{1} : (3, 7, 15, 21, 25)$ ; $T_{2} : (6, 14, 30, 42, 50)$ .

N_{1} = 3 + 4 + 8 + 6 + 4 = 25, N_{2} = 2 N_{1} = 50

Bước 2: Tính các tứ phân vị

Với cả hai mẫu, $Q_{1}$ thuộc lớp $[8; 10)$ và $Q_{3}$ thuộc lớp $[12; 14)$ .

Áp dụng công thức nội suy cho từng mẫu.

Q_{1, 1} = 8 + \frac{6.25 - 3}{4} \cdot 2 = 9.625, Q_{3, 1} = 12 + \frac{18.75 - 15}{6} \cdot 2 = 13.25; Q_{1, 2} = 8 + \frac{12.5 - 6}{8} \cdot 2 = 9.625, Q_{3, 2} = 12 + \frac{37.5 - 30}{12} \cdot 2 = 13.25

Bước 3: Tính khoảng tứ phân vị

Lấy hiệu giữa tứ phân vị thứ ba và thứ nhất của mỗi mẫu.

Δ_{1 Q} = 13.25 - 9.625 = 3.625, Δ_{2 Q} = 13.25 - 9.625 = 3.625

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn A: $Δ_{1 Q} = Δ_{2 Q}$ . B, C, D sai vì lần lượt yêu cầu tỉ lệ $2$ , $\frac{1}{4}$ và $2$ giữa hai khoảng tứ phân vị.

Δ_{1 Q} = Δ_{2 Q}

Đáp án: A — Vì

Δ_{1 Q} = Δ_{2 Q} = 3.625

.

Câu 6

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên $R$ và có bảng biến thiên như hình vẽ. Khẳng định nào dưới đây sai?

A

$[- 1; 1] max f (x) = 2$ .

B

$[- 1; 1] min f (x) = 1$ .

C

$(- \infty; + \infty) max f (x) = 2$ .

D

$(- \infty; + \infty) min f (x) = 1$ .

Lời giải

Bước $1$ : Đọc các giá trị cực trị

Từ bảng biến thiên, các giá trị cần xét là cực tiểu tại $x = - 1, 1$ và cực đại tại $x = 0$ .

f (- 1) = f (1) = 1, f (0) = 2, x \to \pm \infty lim f (x) = + \infty

Bước $2$ : Xét đoạn $[- 1; 1]$

Trên $[- 1; 1]$ , giá trị lớn nhất đạt tại $x = 0$ , giá trị nhỏ nhất đạt tại $x = - 1$ hoặc $x = 1$ .

[- 1; 1] max f (x) = 2, [- 1; 1] min f (x) = 1

Bước $3$ : Xét toàn bộ $R$

Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng $1$ ; đồng thời tăng đến $+ \infty$ khi $x \to \pm \infty$ nên không có giá trị lớn nhất.

R min f (x) = 1, ∄ R max f (x)

Bước $4$ : Đối chiếu phương án

$A$ , $B$ , $D$ đúng; $C$ sai vì hàm số không có giá trị lớn nhất trên $R$ .

Đáp án:

C

— Hàm số không có giá trị lớn nhất trên

R

vì

f (x) \to + \infty

khi

x \to \pm \infty

.

Câu 7

Nguyên hàm của hàm số $f (x) = sin x$ là:

A

$cos x + C$ .

B

$cot x + C$ .

C

$- cos x + C$ .

D

$- cot x + C$ .

Lời giải

Bước 1: Tìm nguyên hàm

Đổi dấu từ công thức đạo hàm của $cos x$ để được nguyên hàm của $sin x$ .

\int sin x d x = - cos x + C

Bước 2: Đối chiếu phương án

Chọn phương án C: $- cos x + C$ ; A sai dấu, còn B và D có đạo hàm lần lượt là $- csc^{2} x$ và $csc^{2} x$ , không bằng $sin x$ .

\frac{d}{d x} (- cos x + C) = sin x

Đáp án: C.

- cos x + C

— vì đạo hàm của biểu thức này bằng

sin x

.

Câu 8

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ có $u_{1} = 1$ và $d = 2$ . Tổng của 3 số hạng đầu tiên của cấp số cộng này là:

A

9.

B

7.

C

8.

D

12.

Lời giải

Bước 1: Tính số hạng thứ ba

Áp dụng công thức số hạng tổng quát để tìm $u_{3}$ .

u_{3} = u_{1} + 2 d = 1 + 2 \cdot 2 = 5

Bước 2: Tính tổng

Dùng công thức tổng $3$ số hạng đầu.

S_{3} = \frac{3}{2} (u_{1} + u_{3}) = \frac{3}{2} (1 + 5) = 9

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $A . 9$ ; các phương án $B$ , $C$ , $D$ sai do tính nhầm số hạng hoặc tổng.

Đáp án: Phương án

A . 9

— tổng ba số hạng đầu là

S_{3} = 9

.

Câu 9

Cho hình chóp tứ giác đều $S . A B C D$ . Gọi $O$ là giao điểm của $A C$ và $B D$ . Khẳng định nào dưới đây sai?

A

$S O ⊥ A D$ .

B

$S O ⊥ B D$ .

C

$S O ⊥ C D$ .

D

$S O ⊥ S D$ .

Lời giải

Bước 1: Xác định quan hệ vuông góc

Vì $S . A B C D$ là hình chóp đều nên $S O$ là đường cao của hình chóp.

S O ⊥ (A B C D)

Bước 2: Đối chiếu phương án

Khẳng định $D$ sai vì $S D$ không nằm trong mặt phẳng đáy, nên không suy ra $S O ⊥ S D$ .

Các khẳng định $A$ , $B$ , $C$ đúng vì $A D$ , $B D$ , $C D$ đều nằm trong $(A B C D)$ .

S O ⊥ A D, S O ⊥ B D, S O ⊥ C D

Đáp án: D —

S D

không nằm trong mặt phẳng đáy nên

S O

không vuông góc với

S D

.

Câu 10

Tập nghiệm của bất phương trình $(\frac{2}{3})^{2 x - 5} \geq \frac{2}{3}$ là:

A

$(3; + \infty)$ .

B

$(- \infty; 3]$ .

C

$[3; + \infty)$ .

D

$(- \infty; 3)$ .

Lời giải

Bước 1: Đưa về cùng cơ số

Viết vế phải dưới dạng lũy thừa cơ số $\frac{2}{3}$ .

(\frac{2}{3})^{2 x - 5} \geq (\frac{2}{3})^{1}

Bước 2: So sánh số mũ

Do $0 < \frac{2}{3} < 1$ , bất phương trình đổi chiều khi bỏ lũy thừa.

2 x - 5 \leq 1 ⟺ 2 x \leq 6 ⟺ x \leq 3

Bước 3: Đối chiếu phương án

Đáp án đúng là $B$ : $(- \infty; 3]$ ; các phương án $A$ , $C$ , $D$ lần lượt sai do chọn $x > 3$ , $x \geq 3$ hoặc loại mất nghiệm $x = 3$ .

Đáp án:

B

— Tập nghiệm là

(- \infty; 3]

do cơ số

\frac{2}{3}

thuộc

(0, 1)

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Ninh Bình năm 2025 - Lần 3

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chọn một phương án .

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Xét dấu đạo hàm

Bước 2: Kết luận tính đơn điệu

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Dùng tính chất trọng tâm

Bước 2: Phân tích vectơ

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Đưa về dạng tổng quát

Bước 2: Xác định vectơ pháp tuyến

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Áp dụng công thức diện tích

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Tính tần số tích lũy

Bước 2: Tính các tứ phân vị

Bước 3: Tính khoảng tứ phân vị

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Đọc các giá trị cực trị

Bước 2: Xét đoạn [−1;1]

Bước 3: Xét toàn bộ R

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Tìm nguyên hàm

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Tính số hạng thứ ba

Bước 2: Tính tổng

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Xác định quan hệ vuông góc

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Đưa về cùng cơ số

Bước 2: So sánh số mũ

Bước 3: Đối chiếu phương án

Bước $1$ : Đọc các giá trị cực trị

Bước $2$ : Xét đoạn $[- 1; 1]$

Bước $3$ : Xét toàn bộ $R$

Bước $4$ : Đối chiếu phương án