Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Lai Châu năm 2025 - Lần 1 môn Toán học 2025 (Thi Tốt nghiệp THPT)

Câu 1

Trọng lượng của 20 củ sâm trong một lô củ sâm được thu hoạch sau sáu năm trồng tại một cơ sở trồng sâm Lai Châu có bảng tần số ghép nhóm sau (đơn vị: gam). Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên (làm tròn kết quả đến hàng phần mười) là:

Hình minh họa

A

$3, 3.$

B

$9, 5.$

C

$6, 7.$

D

$8, 6.$

Lời giải

Bước 1: Xác định vị trí tứ phân vị

Tần số tích lũy lần lượt là $3, 10, 18, 20$ .

Vị trí $Q_{1}$ là $\frac{n}{4} = 5$ , còn vị trí $Q_{3}$ là $\frac{3 n}{4} = 15$ .

n = 3 + 7 + 8 + 2 = 20, \frac{n}{4} = 5, \frac{3 n}{4} = 15

Bước 2: Tính $Q_{1}$ và $Q_{3}$

$Q_{1}$ thuộc lớp $[45; 50)$ ; $Q_{3}$ thuộc lớp $[50; 55)$ .

Q_{1} = 45 + \frac{5 - 3}{7} \cdot 5 \approx 46, 4, Q_{3} = 50 + \frac{15 - 10}{8} \cdot 5 = 53, 125

Bước 3: Đối chiếu phương án

Khoảng tứ phân vị là $Q_{3} - Q_{1} \approx 53, 125 - 46, 4 = 6, 7$ .

Chọn C; các phương án $A, B, D$ sai do xác định hoặc tính sai tứ phân vị.

Q_{3} - Q_{1} \approx 6, 7

Đáp án: C — Khoảng tứ phân vị bằng

Q_{3} - Q_{1} \approx 6, 7

.

Câu 2

Tập nghiệm của bất phương trình $3^{x - 2} > 9$ là:

A

$(- \infty; 2) .$

B

$(4; + \infty) .$

C

$(2; + \infty) .$

D

$(5; + \infty) .$

Lời giải

Bước 1: Đưa về cùng cơ số

Viết $9$ dưới dạng lũy thừa cơ số $3$ .

3^{x - 2} > 9 ⟺ 3^{x - 2} > 3^{2}

Bước 2: So sánh số mũ

Vì cơ số $3 > 1$ , hàm số mũ đồng biến nên giữ nguyên chiều bất đẳng thức.

x - 2 > 2 ⟺ x > 4

Bước 3: Đối chiếu phương án

Tập nghiệm là $(4; + in f t y)$ , nên chọn phương án $B$ ; $A$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt chọn sai chiều, tính thiếu $2$ và cộng thừa $1$ .

x > 4 ⟺ x \in (4; + \infty)

Đáp án:

B

— Vì tập nghiệm là

(4; + in f t y)

.

Câu 3

Trong không gian $O x y z$ , cho đường thẳng $d : ⎩ ⎨ ⎧ x = 1 - 2 t y = 3 + 2 t z = - 1 + 4 t$ . Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng d?

A

$P (- 1; - 3; 1) .$

B

$N (- 2; 2; 4) .$

C

$M (1; 3; - 1) .$

D

$Q (- 1; 1; 2) .$

Lời giải

Bước 1: Lập điều kiện kiểm tra

Với điểm $A (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ , tìm $t$ từ tọa độ $x$ , rồi thay vào $y, z$ .

t = \frac{1 - x _{0}}{2}

Bước 2: Tính tham số và đối chiếu

Các giá trị tham số theo tọa độ $x$ lần lượt là $t_{P} = t_{Q} = 1$ , $t_{N} = \frac{3}{2}$ và $t_{M} = 0$ .

Đ iểm P Q N M t 11 \frac{3}{2} 0 y = 3 + 2 t 5563

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn C vì với $t = 0$ , điểm nhận được là $M (1; 3; - 1)$ . A, B, D sai vì lần lượt tọa độ $y$ dự đoán là $5, 6, 5$ , khác $- 3, 2, 1$ .

Đáp án: C.

M (1; 3; - 1)

— ứng với tham số

t = 0

.

Câu 4

Cho hàm số $f (x)$ liên tục trên $R$ . Biết hàm số $F (x)$ là một nguyên hàm của $f (x)$ trên $R$ và $F (3) = 5, F (1) = 1$ . Tích phân $\int_{1}^{3} f (x) d x$ bằng:

A

$- 4.$

B

$5.$

C

$6.$

D

$4.$

Lời giải

Bước 1: Áp dụng công thức

Vì $F$ là nguyên hàm của $f$ , áp dụng định lý cơ bản:

\int_{1}^{3} f (x) d x = F (3) - F (1)

Bước 2: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $D$ . Các phương án $A$ , $B$ , $C$ sai vì lần lượt lấy hiệu ngược, lấy riêng $F (3)$ và cộng hai giá trị.

\int_{1}^{3} f (x) d x = 5 - 1 = 4

Đáp án: D — Vì

\int_{1}^{3} f (x) d x = F (3) - F (1) = 4

.

Câu 5

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên $R$ và có bảng biến thiên như sau. Hàm số $y = f (x)$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây

Hình minh họa

A

$(- 2; 0) .$

B

$(3; + \infty) .$

C

$(- \infty; - 2) .$

D

$(- 3; 1) .$

Lời giải

Bước 1: Nhận dạng chiều biến thiên

Trong bảng biến thiên, chiều đi xuống tương ứng với hàm số nghịch biến.

f^{'} (x) < 0

Bước 2: Xác định khoảng nghịch biến

Bảng cho thấy hàm số nghịch biến trên khoảng $(- 2; 0)$ .

(- 2; 0)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $A$ . Các phương án $B$ , $C$ thuộc khoảng đồng biến; $D$ chứa cả đoạn đồng biến và nghịch biến.

Đáp án:

A

— Hàm số nghịch biến trên khoảng

(- 2; 0)

.

Câu 6

Nghiệm của phương trình $lo g_{2} x = 3$ là:

A

$x = \frac{3}{2} .$

B

$x = 8.$

C

$x = 6.$

D

$x = 5.$

Lời giải

Bước $1$ : Đổi về dạng lũy thừa

Áp dụng định nghĩa logarit cho phương trình đã cho.

lo g_{2} x = 3 ⟺ x = 2^{3}

Bước $2$ : Đối chiếu phương án

Tính được $x = 8$ , nên chọn phương án $B$ ; các phương án $A$ , $C$ , $D$ sai vì không bằng $2^{3}$ .

x = 2^{3} = 8

Đáp án:

B . x = 8

— vì

lo g_{2} x = 3 ⟺ x = 2^{3} = 8

.

Câu 7

Cấp số nhân $(u_{n})$ có $u_{1} = 2$ và $u_{2} = - 8$ . Công bội $q$ của cấp số nhân là:

A

$q = 10.$

B

$q = - \frac{1}{4} .$

C

$q = - 4.$

D

$q = - 10.$

Lời giải

Bước 1: Lập công thức

Áp dụng công thức $q = \frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$ cho $n = 1$ .

q = \frac{u _{2}}{u _{1}} = \frac{- 8}{2} = - 4

Bước 2: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $C$ . Các phương án $A$ , $B$ , $D$ sai vì lần lượt cho $10$ , $- \frac{1}{4}$ , $- 10$ , đều khác $- 4$ .

Đáp án: Phương án

C

— vì

q = \frac{u _{2}}{u _{1}} = - 4

.

Câu 8

Cho hình lập phương $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ . Góc giữa hai vectơ $A B$ và $D C^{'}$ là:

Hình minh họa

A

$6 0^{\circ} .$

B

$9 0^{\circ} .$

C

$4 5^{\circ} .$

D

$12 0^{\circ} .$

Lời giải

Bước 1: Thay vectơ tương đương

Trong hình lập phương, $A B$ và $D C$ cùng hướng, cùng độ dài.

A B = D C

Bước 2: Xét tam giác vuông

Tam giác $D C C^{'}$ vuông tại $C$ , đồng thời $D C = C C^{'}$ nên là tam giác vuông cân.

D C = C C^{'}, D C ⊥ C C^{'} ⟹ C D C^{'} = 4 5^{\circ}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Góc giữa $A B$ và $D C^{'}$ bằng $C D C^{'}$ .

Chọn C. $4 5^{\circ}$ ; A, B, D sai vì lần lượt không phù hợp với tam giác vuông cân, nhầm góc vuông và chọn góc tù.

Đáp án: C.

4 5^{\circ}

— vì góc cần tìm là góc nhọn của tam giác vuông cân

D C C^{'}

.

Câu 9

Đường cong là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào?

Hình minh họa

A

$y = \frac{x + 1}{x + 2} .$

B

$y = - x^{3} - 6 x + 2.$

C

$y = - x^{3} + 3 x^{2} + 2.$

D

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 2.$

Lời giải

Bước $1$ : Loại hàm phân thức

Phương án A là hàm phân thức và $y_{A}^{'} > 0$ trên mỗi khoảng xác định nên không có hai điểm cực trị.

y_{A}^{'} = \frac{1}{( x + 2 ) ^{2}} > 0 (x \neq = - 2)

Bước $2$ : Xét hướng nhánh

Đồ thị có nhánh phải hướng lên nên hệ số của $x^{3}$ phải dương. Vì vậy, loại B và C.

a > 0

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Với D, ta có giao trục tung đúng tại $y = 2$ và đạo hàm có hai nghiệm, phù hợp đồ thị.

y = x^{3} - 3 x^{2} + 2; y (0) = 2; y^{'} = 3 x (x - 2) = 0 \Leftrightarrow x = 0 hoặc x = 2

Đáp án: D —

y = x^{3} - 3 x^{2} + 2

phù hợp hướng nhánh, giao trục tung và có hai điểm cực trị; A, B, C lần lượt sai dạng hoặc sai hướng nhánh.

Câu 10

Trong không gian với hệ trục tọa độ $O x y z$ , mặt cầu $(S)$ có phương trình $(x - 5)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 4$ có bán kính bằng:

A

$16.$

B

$8.$

C

$2.$

D

$4.$

Lời giải

Bước 1: Xác định bình phương bán kính

So sánh với dạng chuẩn, vế phải chính là $r^{2}$ .

r^{2} = 4

Bước 2: Đối chiếu phương án

Suy ra bán kính $r = 2$ , chọn phương án C. A, B, D sai vì lần lượt không bằng bán kính $2$ , còn $4$ chỉ là $r^{2}$ .

r = 4 = 2

Đáp án: C — bán kính là

2

vì

r^{2} = 4

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Lai Châu năm 2025 - Lần 1

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chọn một phương án .

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Xác định vị trí tứ phân vị

Bước 2: Tính Q1​ và Q3​

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Đưa về cùng cơ số

Bước 2: So sánh số mũ

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Lập điều kiện kiểm tra

Bước 2: Tính tham số và đối chiếu

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Áp dụng công thức

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Nhận dạng chiều biến thiên

Bước 2: Xác định khoảng nghịch biến

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Đổi về dạng lũy thừa

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Lập công thức

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Thay vectơ tương đương

Bước 2: Xét tam giác vuông

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Loại hàm phân thức

Bước 2: Xét hướng nhánh

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Xác định bình phương bán kính

Bước 2: Đối chiếu phương án

Bước 2: Tính $Q_{1}$ và $Q_{3}$

Bước $1$ : Đổi về dạng lũy thừa

Bước $2$ : Đối chiếu phương án

Bước $1$ : Loại hàm phân thức

Bước $2$ : Xét hướng nhánh

Bước $3$ : Đối chiếu phương án