Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Hậu Giang năm 2025 - Lần 1 môn Toán học 2025 (Thi Tốt nghiệp THPT)

Câu 1

Nguyên hàm của hàm số $f (x) = e$ là

A

$x^{e} + C$

B

$\frac{e ^{2}}{2} + C$

C

$e x + C$

D

$\frac{e x}{l o g e} + C$

Lời giải

Bước 1: Nhận dạng hàm số

$f (x) = e$ là một hàm hằng.

\int a d x = a x + C

Bước 2: Tính nguyên hàm

Thay $a = e$ vào công thức nguyên hàm của hàm hằng.

\int e d x = e x + C

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $C$ ; $A$ sai vì đạo hàm của $x^{e}$ không bằng $e$ , $B$ có đạo hàm bằng $0$ , còn $D$ chia thêm cho $lo g e$ .

Đáp án: Đáp án

C

— nguyên hàm của hằng số

e

là

e x + C

.

Câu 2

Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x^{2} - 4 x$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = 1$ và $x = 3$ . Khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng $(H)$ quanh trục $O x$ có thể tích là

A

$V = \frac{406}{15}$

B

$V = \frac{406}{15} π$

C

$V = \frac{22}{3} π$

D

$V = \frac{512}{15} π$

Lời giải

Bước 1: Xác định bán kính

Trên $[1, 3]$ , ta có $x^{2} - 4 x \leq 0$ , nên $R (x) = ∣ x^{2} - 4 x ∣ = 4 x - x^{2}$ .

R (x) = ∣ x^{2} - 4 x ∣ = 4 x - x^{2}

Bước 2: Tính thể tích

Áp dụng công thức đĩa tròn và tính tích phân trên đoạn $[1, 3]$ .

V = π \int_{1}^{3} (x^{2} - 4 x)^{2} d x = π [\frac{x ^{5}}{5} - 2 x^{4} + \frac{16 x ^{3}}{3}]_{1}^{3} = \frac{406}{15} π

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $B$ ; $A$ thiếu thừa số $π$ , còn $C, D$ cho kết quả tích phân sai.

Đáp án: Đáp án

B

—

V = \frac{406}{15} π

theo công thức thể tích khối tròn xoay.

Câu 3

Thời gian chờ khám của các bệnh nhân tại một phòng khám được cho trong bảng sau. Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm này (làm tròn đến hàng phần trăm) là:

A

7,71

B

14,50

C

6,70

D

6,79

Lời giải

Bước 1: Xác định lớp chứa $Q_{1}$

Tổng số bệnh nhân là $n = 38$ , nên vị trí $Q_{1}$ là $\frac{n}{4} = 9, 5$ .

Tần số tích lũy là $3; 15; 30; 38$ , nên $Q_{1}$ thuộc lớp $[5; 10)$ .

n = 3 + 12 + 15 + 8 = 38; \frac{n}{4} = 9, 5

Bước 2: Tính tứ phân vị thứ nhất

Với lớp $[5; 10)$ : $L = 5$ , $h = 5$ , $f = 12$ , $C = 3$ .

Q_{1} = 5 + \frac{9 , 5 - 3}{12} \cdot 5 = 7, 7083 \dots \approx 7, 71

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án A. $7, 71$ ; các phương án B, C, D sai vì xác định sai vị trí, lớp chứa $Q_{1}$ hoặc tính sai công thức nội suy.

Đáp án: A.

7, 71

— kết quả nội suy trong lớp

[5; 10)

là

Q_{1} \approx 7, 71

.

Câu 4

Trong không gian với hệ trục tọa độ $O x y z$ , phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm $A (- 1; 2; 3)$ và có véctơ chỉ phương $u = (1; 1; - 5)$ là

A

$\frac{x - 1}{- 1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 5}{3}$

B

$⎩ ⎨ ⎧ x = - 1 - t y = 1 + 2 t z = - 5 + 3 t$

C

$⎩ ⎨ ⎧ x = - 1 + t y = 2 + t z = 3 - 5 t$

D

$\frac{x + 1}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 3}{- 5}$

Lời giải

Bước 1: Xác định dữ kiện

Từ đề bài, $A (x_{0}; y_{0}; z_{0}) = (- 1; 2; 3)$ và $u = (a; b; c) = (1; 1; - 5)$ .

x_{0} = - 1, y_{0} = 2, z_{0} = 3; a = 1, b = 1, c = - 5

Bước 2: Lập phương trình tham số

Thay các tọa độ và thành phần véc-tơ vào công thức.

⎩ ⎨ ⎧ x = - 1 + t y = 2 + t z = 3 - 5 t, t \in R

Bước 3: Đối chiếu phương án

Phương án $C$ trùng với hệ phương trình vừa lập; $A$ , $B$ , $D$ lần lượt sai dữ kiện, không đúng điểm và không đúng dạng tham số.

Đáp án: C — Vì phương trình là

⎩ ⎨ ⎧ x = - 1 + t y = 2 + t z = 3 - 5 t

.

Câu 5

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^{4} - 2 x^{2} - 5$ trên đoạn $[- 2; 3]$ bằng

A

–5

B

–51

C

–1

D

–6

Lời giải

Bước 1: Tìm điểm tới hạn

Tính đạo hàm và giải phương trình $y^{'} = 0$ .

y^{'} = 4 x^{3} - 4 x = 4 x (x - 1) (x + 1) = 0 \Rightarrow x \in {- 1, 0, 1}

Bước 2: Tính các giá trị cần xét

Các điểm $- 1$ , $0$ , $1$ đều thuộc đoạn $[- 2; 3]$ ; tính thêm tại hai đầu mút.

y (- 2) = 3, y (- 1) = - 6, y (0) = - 5, y (1) = - 6, y (3) = 58

Bước 3: Đối chiếu phương án

Giá trị nhỏ nhất là $- 6$ , đạt tại $x = - 1$ và $x = 1$ . Chọn phương án $D$ ; $A$ và $C$ lớn hơn $- 6$ , còn $B$ không phải giá trị của hàm số tại các điểm cần xét.

min {3, - 6, - 5, - 6, 58} = - 6

Đáp án:

D . - 6

— giá trị nhỏ nhất của hàm số trên

[- 2; 3]

là

- 6

.

Câu 6

Giá trị của tích phân $\int_{- 2}^{2} ∣ x^{2} - 1∣ d x$ bằng

A

$\frac{8}{3}$

B

4

C

0

D

$\frac{4}{3}$

Lời giải

Bước $1$ : Xét dấu và đối xứng

Nghiệm của $x^{2} - 1 = 0$ là $x = \pm 1$ ; trên $[0, 1]$ biểu thức âm, trên $[1, 2]$ biểu thức dương.

Do hàm số $∣ x^{2} - 1∣$ chẵn, ta nhân đôi phần tích phân trên $[0, 2]$ .

x^{2} - 1 = 0 ⟺ x = \pm 1, I = 2 [\int_{0}^{1} (1 - x^{2}) d x + \int_{1}^{2} (x^{2} - 1) d x]

Bước $2$ : Tính các phần tích phân

Tính từng phần rồi cộng lại.

\int_{0}^{1} (1 - x^{2}) d x \int_{1}^{2} (x^{2} - 1) d x I = [x - \frac{x ^{3}}{3}]_{0}^{1} = \frac{2}{3}, = [\frac{x ^{3}}{3} - x]_{1}^{2} = \frac{4}{3}, = 2 (\frac{2}{3} + \frac{4}{3}) = 4.

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Chọn phương án $B$ ; các phương án $A$ , $C$ , $D$ lần lượt sai do tính thiếu hệ số đối xứng, trái với tính không âm của hàm dưới dấu tích phân, hoặc chỉ lấy một phần tích phân.

Đáp án:

B . 4

— giá trị tích phân bằng

4

.

Câu 7

Trong không gian với hệ trục tọa độ $O x y z$ , phương trình của mặt phẳng $(P)$ đi qua 3 điểm $E (2; 0; 0), F (0; - 3; 0), K (0; 0; 5)$ là

A

$\frac{x}{2} + \frac{y}{- 3} + \frac{z}{5} = 1$

B

$\frac{x}{2} + \frac{y}{- 3} + \frac{z}{5} = - 1$

C

$2 x - 3 y + 5 z = 30$

D

$\frac{x}{2} + \frac{y}{- 3} + \frac{z}{5} = 0$

Lời giải

Bước 1: Xác định ba giao điểm

Các giao điểm với $O x, O y, O z$ lần lượt là $E, F, K$ nên $a = 2$ , $b = - 3$ , $c = 5$ .

a = 2, b = - 3, c = 5

Bước 2: Lập phương trình

Thay các giá trị vào dạng giao điểm của mặt phẳng.

\frac{x}{2} + \frac{y}{- 3} + \frac{z}{5} = 1

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn A; B, C, D sai vì lần lượt có vế phải $- 1$ , hệ số không đúng dạng tương ứng và vế phải $0$ .

Đáp án: A.

\frac{x}{2} + \frac{y}{- 3} + \frac{z}{5} = 1

— đúng dạng mặt phẳng qua ba giao điểm trục.

Câu 8

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình chữ nhật và $S A ⊥ (A B C D)$ . Góc tạo bởi đường thẳng $S C$ và mặt phẳng $(S A B)$ là

A

$A S C$

B

$S C B$

C

$S B C$

D

$B S C$

Lời giải

Bước 1: Xác định hình chiếu

Vì $S A ⊥ (A B C D)$ và $A B \subset (A B C D)$ nên $(S A B) ⊥ (A B C D)$ .

Do $A B C D$ là hình chữ nhật, $B C ⊥ A B$ ; vì vậy hình chiếu của $C$ lên $(S A B)$ là $B$ .

(S A B) ⊥ (A B C D), proj_{(S A B)} C = B

Bước 2: Dùng định nghĩa góc

Hình chiếu của $S$ lên $(S A B)$ là $S$ , nên hình chiếu của $S C$ là $S B$ .

Vì thế góc cần tìm là góc giữa $S C$ và $S B$ .

(S C), (S A B) = (S C), (S B) = B S C

Bước 3: Đối chiếu phương án

Phương án đúng: $D$ — góc $B S C$ . Các phương án $A$ , $B$ , $C$ sai vì lần lượt là góc giữa $S A$ và $S C$ , góc tại $C$ , và góc tại $B$ .

Đáp án:

D

— góc giữa

S C

và hình chiếu

S B

của nó trên

(S A B)

là

B S C

.

Câu 9

Nghiệm của phương trình $lo g_{3} (x + 2) = 4$ là

A

$x = 62$

B

$x = 83$

C

$x = 79$

D

$x = 66$

Lời giải

Bước 1: Xác định điều kiện

Điều kiện xác định của phương trình là $x + 2 > 0$ .

x + 2 > 0

Bước 2: Đổi sang phương trình mũ

Áp dụng định nghĩa logarit và giải phương trình theo $x$ .

x + 2 = 3^{4} = 81 \Rightarrow x = 79

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án C vì $x = 79$ ; các phương án A, B, D sai vì lần lượt cho $x + 2 = 64, 85, 68$ , đều khác $81$ .

Đáp án: C.

x = 79

— vì

x + 2 = 3^{4} = 81

.

Câu 10

Cấp số cộng $(u_{n})$ có $u_{n} = 3 n + 4$ . Công sai của cấp số cộng này là

A

4

B

3

C

7

D

–3

Lời giải

Bước $1$ : Tính số hạng kế tiếp

Thay $n + 1$ vào công thức tổng quát của dãy.

u_{n + 1} = 3 (n + 1) + 4 = 3 n + 7

Bước $2$ : Tính công sai

Lấy hiệu hai số hạng liên tiếp.

d = u_{n + 1} - u_{n} = (3 n + 7) - (3 n + 4) = 3

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Phương án $B$ đúng vì $d = 3$ ; các phương án $A$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt chọn số hạng tự do, hằng số trong $u_{n + 1}$ và dấu sai.

Đáp án:

B

— vì công sai là

d = 3

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Hậu Giang năm 2025 - Lần 1

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chọn một phương án .

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Nhận dạng hàm số

Bước 2: Tính nguyên hàm

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Xác định bán kính

Bước 2: Tính thể tích

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Xác định lớp chứa Q1​

Bước 2: Tính tứ phân vị thứ nhất

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Xác định dữ kiện

Bước 2: Lập phương trình tham số

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Tìm điểm tới hạn

Bước 2: Tính các giá trị cần xét

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Xét dấu và đối xứng

Bước 2: Tính các phần tích phân

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Xác định ba giao điểm

Bước 2: Lập phương trình

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Xác định hình chiếu

Bước 2: Dùng định nghĩa góc

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Xác định điều kiện

Bước 2: Đổi sang phương trình mũ

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Tính số hạng kế tiếp

Bước 2: Tính công sai

Bước 3: Đối chiếu phương án

Bước 1: Xác định lớp chứa $Q_{1}$

Bước $1$ : Xét dấu và đối xứng

Bước $2$ : Tính các phần tích phân

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Bước $1$ : Tính số hạng kế tiếp

Bước $2$ : Tính công sai

Bước $3$ : Đối chiếu phương án