Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Hà Tĩnh năm 2025 - Mã đề 0101 môn Toán học 2025 (Thi Tốt nghiệp THPT)

Câu 1

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy là hình vuông, $S A ⊥ (A B C D)$ . Vectơ $B D$ vuông góc với vectơ nào sau đây?

A

$S B$

B

$C D$

C

$S C$

D

$A D$

Lời giải

Bước 1: Tìm hai đường vuông góc với $B D$

Vì $A B C D$ là hình vuông nên $A C ⊥ B D$ ; đồng thời $S A ⊥ (A B C D)$ nên $S A ⊥ B D$ .

A C ⊥ B D, S A ⊥ B D

Bước 2: Suy ra vuông góc mặt phẳng

$A C$ và $S A$ cắt nhau tại $A$ , cùng thuộc mặt phẳng $(S A C)$ . Do đó $B D ⊥ (S A C)$ , suy ra $B D ⊥ S C$ .

A C \cap S A = {A}, B D ⊥ (S A C) ⟹ B D ⊥ S C

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn C. Với cạnh hình vuông $a > 0$ , các phương án A, B, D sai vì tích vô hướng lần lượt khác $0$ .

B D \cdot S B = - a^{2}, B D \cdot C D = a^{2}, B D \cdot A D = a^{2}

Đáp án: C —

B D ⊥ S C

vì

B D ⊥ (S A C)

.

Câu 2

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $y = e^{x} + cos x$ là

A

$- e^{x} - sin x + C$

B

$- e^{x} + sin x + C$

C

$e^{x} - sin x + C$

D

$e^{x} + sin x + C$

Lời giải

Bước 1: Tách hàm dưới dấu nguyên hàm

Áp dụng tính tuyến tính của nguyên hàm.

\int (e^{x} + cos x) d x = \int e^{x} d x + \int cos x d x

Bước 2: Tính và kết hợp

Dùng các công thức nguyên hàm cơ bản, rồi thêm hằng số $C$ .

F (x) = e^{x} + sin x + C

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $D$ . Các phương án $A$ , $B$ , $C$ sai vì lần lượt cho đạo hàm $- e^{x} - cos x$ , $- e^{x} + cos x$ , $e^{x} - cos x$ .

F^{'} (x) = e^{x} + cos x

Đáp án:

D

— Họ nguyên hàm là

e^{x} + sin x + C

.

Câu 3

Cho trước 5 chiếc ghế xếp thành một hàng ngang. Số cách xếp ba bạn $A, B, C$ vào 5 chiếc ghế đó sao cho mỗi bạn ngồi một ghế là

A

$C_{5}^{3}$

B

15

C

6

D

$A_{5}^{3}$

Lời giải

Bước 1: Xác định dạng bài

Ba bạn ngồi vào ba ghế khác nhau trong tổng số năm ghế.

Vì vị trí của từng bạn khác nhau nên đây là hoán vị chập $3$ của $5$ .

Bước 2: Tính số cách

Áp dụng công thức hoán vị chập.

A_{5}^{3} = \frac{5 !}{( 5 - 3 )!} = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án D: $A_{5}^{3}$ .

A sai vì $C_{5}^{3}$ không xét thứ tự; B và C không biểu diễn đủ số cách xếp.

Đáp án: D.

A_{5}^{3}

— có

60

cách xếp ba bạn vào năm ghế.

Câu 4

Trong không gian $O x y z$ , phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm $A (1; 0; 0), B (0; - 2; 0), C (0; 0; 3)$ là

A

$\frac{x}{1} + \frac{y}{- 2} + \frac{z}{3} = 1$

B

$\frac{x}{1} + \frac{y}{- 2} + \frac{z}{3} = 0$

C

$\frac{x}{1} + \frac{y}{- 2} + \frac{z}{3} = - 1$

D

$\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1$

Lời giải

Bước 1: Nhận dạng dạng phương trình

Ba điểm $A$ , $B$ , $C$ là các giao điểm của mặt phẳng với $O x$ , $O y$ , $O z$ .

\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1

Bước 2: Đối chiếu phương án

Thay $a = 1$ , $b = - 2$ , $c = 3$ vào dạng giao đoạn, được phương trình ứng với phương án $A$ .

Các phương án $B$ , $C$ , $D$ sai lần lượt do vế phải không bằng $1$ , vế phải bằng $- 1$ , và sai dấu mẫu số của $y$ .

\frac{x}{1} + \frac{y}{- 2} + \frac{z}{3} = 1

Đáp án:

A

— phương trình đúng là

\frac{x}{1} + \frac{y}{- 2} + \frac{z}{3} = 1

.

Câu 5

Nghiệm của phương trình $3^{x + 2} = 27$ là

A

$x = - 1$

B

$x = 3$

C

$x = 2$

D

$x = 1$

Lời giải

Bước 1: Đưa về cùng cơ số

Viết vế phải dưới dạng lũy thừa cơ số $3$ .

27 = 3^{3}

Bước 2: So sánh số mũ

Hai vế cùng cơ số $3$ nên các số mũ bằng nhau.

3^{x + 2} = 3^{3} \Rightarrow x + 2 = 3 \Rightarrow x = 1

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án D: $x = 1$ . Các phương án A, B, C sai vì lần lượt cho $3$ , $243$ , $81$ , đều khác $27$ .

x = 1

Đáp án: D — Vì

3^{x + 2} = 3^{3}

nên

x + 2 = 3

, suy ra

x = 1

.

Câu 6

Khảo sát trọng lượng của một số quả mít được trồng trong một nông trường ta có số liệu sau. Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên bằng bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

A

4,80

B

2,20

C

8,72

D

2,19

Lời giải

Bước 1: Tìm trung điểm và trung bình

Các trung điểm là $5, 7, 9, 11, 13$ .

n = 50, \overset{x}{ˉ} = \frac{6 \cdot 5 + 12 \cdot 7 + 19 \cdot 9 + 9 \cdot 11 + 4 \cdot 13}{50} = 8, 72

Bước 2: Tính độ lệch chuẩn

Dùng tần số tương ứng với các trung điểm để tính phương sai, rồi lấy căn bậc hai.

s = \frac{6 ( 5 - 8 , 72 ) ^{2} + 12 ( 7 - 8 , 72 ) ^{2} + 19 ( 9 - 8 , 72 ) ^{2} + 9 ( 11 - 8 , 72 ) ^{2} + 4 ( 13 - 8 , 72 ) ^{2}}{50} = 4, 8016 \approx 2, 19

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn D: $2, 19$ . Các phương án $A, B, C$ lần lượt là phương sai, kết quả làm tròn sai và giá trị tính sai.

Đáp án: D — Độ lệch chuẩn là

s \approx 2, 19

.

Câu 7

Cho cấp số nhân $(u_{n})$ có hai số hạng đầu tiên là $u_{1} = - 3$ và $u_{2} = 6$ . Giá trị của $u_{3}$ bằng

A

3

B

-18

C

-12

D

15

Lời giải

Bước 1: Tìm công bội

Tính công bội từ hai số hạng đầu.

q = \frac{u _{2}}{u _{1}} = \frac{6}{- 3} = - 2

Bước 2: Tính số hạng thứ ba

Nhân số hạng thứ hai với công bội.

u_{3} = u_{2} q = 6 \cdot (- 2) = - 12

Bước n: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $C$ : $- 12$ .

Các phương án $A$ , $B$ , $D$ sai vì lần lượt không bằng giá trị $u_{3}$ .

Đáp án:

C

— Vì

u_{3} = 6 \cdot (- 2) = - 12

.

Câu 8

Trong không gian $O x y z$ , cho mặt cầu $(S) : (x + 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z + 2)^{2} = 9$ . Điểm nào dưới đây thuộc mặt cầu (S)?

A

$M (1; - 1; - 2)$

B

$P (- 3; - 1; - 1)$

C

$N (- 1; 1; - 2)$

D

$Q (3; 1; 1)$

Lời giải

Bước 1: Xác định tâm và bán kính

Đối chiếu phương trình với dạng chuẩn, suy ra tâm $I$ và bán kính $r$ .

I (- 1; 1; - 2), r^{2} = 9

Bước 2: Kiểm tra điểm P

Tính bình phương khoảng cách từ $P$ đến tâm $I$ .

I P^{2} = (- 3 + 1)^{2} + (- 1 - 1)^{2} + (- 1 + 2)^{2} = 4 + 4 + 1 = 9 = r^{2}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $P$ vì $I P^{2} = r^{2}$ ; các phương án $M, C, Q$ sai vì lần lượt có bình phương khoảng cách $8, 0, 25$ , đều khác $9$ .

I M^{2} = 8, I N^{2} = 0, I Q^{2} = 25

Đáp án: B —

P (- 3; - 1; - 1)

thuộc mặt cầu vì

I P^{2} = 9 = r^{2}

.

Câu 9

Cho khối lăng trụ đứng có diện tích đáy bằng $3 a^{2}$ , độ dài cạnh bên bằng $2 a$ . Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng

A

$2 a^{3}$

B

$6 a^{3}$

C

$3 a^{3}$

D

$a^{3}$

Lời giải

Bước 1: Xác định chiều cao

Lăng trụ đứng có chiều cao bằng cạnh bên nên $h = 2 a$ .

h = 2 a

Bước 2: Tính thể tích

Áp dụng công thức $V = S_{đ \overset{a}{ˊ} y} h$ .

V = S_{đ \overset{a}{ˊ} y} h = 3 a^{2} \cdot 2 a = 6 a^{3}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Phương án $B$ đúng: $V = 6 a^{3}$ . Các phương án $A$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt thiếu hệ số $3$ , thiếu hệ số $2$ , và thiếu cả hai hệ số.

Đáp án: Phương án

B

:

6 a^{3}

— áp dụng

V = S_{đ \overset{a}{ˊ} y} h = 3 a^{2} \cdot 2 a

.

Câu 10

Tập nghiệm của bất phương trình $lo g_{\frac{1}{6}} (x - 2) > - 1$ là

A

$(8; + \infty)$

B

$(\frac{13}{6}; + \infty)$

C

$(2; 8)$

D

$(2; \frac{13}{6})$

Lời giải

Bước 1: Tìm điều kiện xác định

Biểu thức trong logarit phải dương.

x - 2 > 0 ⟹ x > 2

Bước 2: Khử logarit

Vì $0 < \frac{1}{6} < 1$ , bất đẳng thức đổi chiều khi khử logarit.

lo g_{\frac{1}{6}} (x - 2) > - 1 ⟺ x - 2 < (\frac{1}{6})^{- 1} = 6 ⟹ x < 8

Bước 3: Đối chiếu phương án

Kết hợp $x > 2$ và $x < 8$ , được $x \in (2; 8)$ . Phương án $C$ đúng; $A$ , $B$ , $D$ sai vì lần lượt lấy sai chiều, sai cận và sai giá trị cận trên.

x \in (2; 8)

Đáp án:

C

: Tập nghiệm là

(2; 8)

do cơ số

\frac{1}{6}

thuộc

(0; 1)

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Hà Tĩnh năm 2025 - Mã đề 0101

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chọn một phương án .

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Tìm hai đường vuông góc với BD

Bước 2: Suy ra vuông góc mặt phẳng

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Tách hàm dưới dấu nguyên hàm

Bước 2: Tính và kết hợp

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Xác định dạng bài

Bước 2: Tính số cách

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Nhận dạng dạng phương trình

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Đưa về cùng cơ số

Bước 2: So sánh số mũ

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Tìm trung điểm và trung bình

Bước 2: Tính độ lệch chuẩn

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Tìm công bội

Bước 2: Tính số hạng thứ ba

Bước n: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Xác định tâm và bán kính

Bước 2: Kiểm tra điểm P

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Xác định chiều cao

Bước 2: Tính thể tích

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Tìm điều kiện xác định

Bước 2: Khử logarit

Bước 3: Đối chiếu phương án

Bước 1: Tìm hai đường vuông góc với $B D$