Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Hà Tĩnh năm 2025 - Mã đề 01 môn Toán học 2025 (Thi Tốt nghiệp THPT)

Câu 1

Cho cấp số nhân $(u_{n})$ với $u_{1} = 2$ và công bội $q = 3$ . Tìm số hạng thứ 4 của cấp số nhân?

A

48

B

54

C

24

D

162

Lời giải

Bước $1$ : Viết công thức

Dùng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân.

u_{n} = u_{1} q^{n - 1}

Bước $2$ : Thay số

Thay $n = 4$ , $u_{1} = 2$ , $q = 3$ vào công thức.

u_{4} = 2 \cdot 3^{4 - 1} = 2 \cdot 3^{3} = 2 \cdot 27 = 54

Bước $n$ : Đối chiếu phương án

Kết quả $u_{4} = 54$ khớp phương án B; A, C, D sai do tính sai lũy thừa hoặc dùng nhầm số mũ $4$ .

Đáp án: B — Vì

u_{4} = 54

.

Câu 2

Cho hàm số $y = \frac{a x + b}{c x + d} (a d - b c \neq = 0)$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Phương trình đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là.

A

$x = 2, y = 1.$

B

$x = 1, y = 2.$

C

$x = 1, y = 1.$

D

$x = - 1, y = 1.$

Lời giải

Bước 1: Xác định tiệm cận đứng

Đường thẳng đứng trên đồ thị có phương trình $x = 1$ .

x = - \frac{d}{c} = 1

Bước 2: Xác định tiệm cận ngang

Đường thẳng ngang trên đồ thị có phương trình $y = 1$ .

y = \frac{a}{c} = 1

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $C$ : tiệm cận đứng $x = 1$ , tiệm cận ngang $y = 1$ .

Các phương án $A$ , $B$ , $D$ sai vì lần lượt xác định sai tiệm cận đứng, tiệm cận ngang hoặc cả hoành độ tiệm cận đứng.

Đáp án:

C

— Đồ thị có tiệm cận đứng

x = 1

và tiệm cận ngang

y = 1

.

Câu 3

Trong không gian với hệ toạ độ, cho phương trình đường thẳng $(d) : ⎩ ⎨ ⎧ x = 2 - t y = 1 + 2 t z = 3 + t$ với $t \in R$ . Vector nào sau đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ ?

A

$u = (- 1; 2; 1) .$

B

$u = (- 1; 2; 3) .$

C

$u = (2; 1; 3) .$

D

$u = (2; 1; 1) .$

Lời giải

Bước 1: Lấy hệ số của tham số

Viết các phương trình theo dạng chứa rõ hệ số của $t$ .

u = (- 1; 2; 1)

Bước 2: Đối chiếu phương án

Phương án $A$ trùng với vectơ vừa xác định; $B$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt sai hệ số của $z$ , nhầm tọa độ điểm, và sai hệ số của $x$ .

Đáp án:

A

— vectơ chỉ phương là

u = (- 1; 2; 1)

.

Câu 4

Tính $\int_{- 1}^{1} f (x) d x$ biết rằng $\int_{- 1}^{1} [f (x) - x] d x = 3$ .

A

$2.$

B

$1.$

C

$4.$

D

$3.$

Lời giải

Bước 1: Tách tích phân

Áp dụng tính tuyến tính của tích phân.

\int_{- 1}^{1} [f (x) - x], d x = \int_{- 1}^{1} f (x), d x - \int_{- 1}^{1} x, d x

Bước 2: Tính tích phân hàm lẻ

Hàm $x$ là hàm lẻ trên khoảng đối xứng $[- 1, 1]$ .

\int_{- 1}^{1} x, d x = 0

Bước 3: Đối chiếu phương án

Thay vào điều kiện: $\int_{- 1}^{1} f (x) d x - 0 = 3$ , nên $\int_{- 1}^{1} f (x) d x = 3$ .

Chọn D. Các phương án A, B, C sai vì lần lượt cho kết quả $2$ , $1$ , $4$ , không phù hợp với giá trị tính được.

\int_{- 1}^{1} f (x), d x = 3

Đáp án: D.

3

— Vì tích phân của hàm lẻ

x

trên

[- 1, 1]

bằng

0

.

Câu 5

Cho mẫu số liệu ghép nhóm có tứ phân vị thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt là $Q_{1}, Q_{2}, Q_{3}$ . Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đó bằng:

A

$Δ_{Q} = Q_{1} - Q_{2} .$

B

$Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1} .$

C

$Δ_{Q} = Q_{2} - Q_{1} .$

D

$Δ_{Q} = Q_{1} - Q_{3} .$

Lời giải

Bước 1: Áp dụng công thức

Theo định nghĩa, khoảng tứ phân vị được tính bởi hiệu giữa $Q_{3}$ và $Q_{1}$ .

Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1}

Bước 2: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $B$ ; các phương án $A$ , $C$ , $D$ lần lượt trừ sai tứ phân vị hoặc đảo ngược thứ tự.

Đáp án: Phương án

B

—

Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1}

theo định nghĩa khoảng tứ phân vị.

Câu 6

Cho hàm số $f (x) = cos x + 2$ . Tìm mệnh đề đúng?

A

$\int f (x) d x = sin x + 2 + C .$

B

$\int f (x) d x = cos x + 2 x + C .$

C

$\int f (x) d x = - sin x + 2 x + C .$

D

$\int f (x) d x = sin x + 2 x + C .$

Lời giải

Bước 1: Lập tích phân

Thay $f (x) = cos x + 2$ vào biểu thức cần tính.

\int f (x) d x = \int (cos x + 2) d x

Bước 2: Tính nguyên hàm

Tách tổng và áp dụng các công thức nguyên hàm cơ bản.

\int (cos x + 2) d x = \int cos x d x + \int 2 d x = sin x + 2 x + C

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $D$ : $\int f (x) d x = sin x + 2 x + C$ ; $A$ , $B$ , $C$ sai lần lượt vì nguyên hàm của $2$ không phải $2$ , của $cos x$ không phải $cos x$ , và dấu nguyên hàm của $cos x$ không âm.

Đáp án:

D

— Vì

\int (cos x + 2) d x = sin x + 2 x + C

.

Câu 7

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình bình hành và $S A ⊥ (A B C D)$ . Đường thẳng nào sau đây vuông góc với $S A$ ?

A

$S C .$

B

$B D .$

C

$S B .$

D

$S D .$

Lời giải

Bước 1: Xác định mặt phẳng vuông góc

Đã cho $S A ⊥ (A B C D)$ , nên $S A$ vuông góc với mọi đường thẳng thuộc $(A B C D)$ .

S A ⊥ (A B C D)

Bước 2: Chọn đường thẳng phù hợp

Đường chéo $B D$ nằm trong mặt phẳng đáy $(A B C D)$ .

B D \subset (A B C D) ⟹ S A ⊥ B D

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $B$ . Các phương án $A$ , $C$ , $D$ không nằm trong mặt phẳng đáy nên không được suy ra vuông góc với $S A$ từ dữ kiện đã cho.

Đáp án:

B

— Vì

B D \subset (A B C D)

và

S A ⊥ (A B C D)

nên

S A ⊥ B D

.

Câu 8

Nghiệm của phương trình $lo g_{2} (x - 1) = 1$ là

A

$x = 3.$

B

$x = 4.$

C

$x = 2.$

D

$x = 1.$

Lời giải

Bước 1: Xác định điều kiện

Điều kiện xác định là $x - 1 > 0$ .

x - 1 > 0 ⟺ x > 1

Bước 2: Đổi sang dạng mũ

Áp dụng định nghĩa logarit, phương trình trở thành dạng lũy thừa.

lo g_{2} (x - 1) = 1 ⟺ x - 1 = 2^{1} = 2 ⟺ x = 3

Bước 3: Đối chiếu phương án

Vì $x = 3 > 1$ , nghiệm thỏa điều kiện. Chọn phương án A; B, C, D sai vì lần lượt cho $lo g_{2} 3 \neq = 1$ , $lo g_{2} 1 = 0 \neq = 1$ , và $lo g_{2} 0$ không xác định.

Đáp án: A.

x = 3

— đổi phương trình thành

x - 1 = 2^{1}

rồi suy ra

x = 3

.

Câu 9

Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên trên đoạn $[0; 3]$ như sau. Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f (x)$ trên đoạn $[0; 3]$ là

A

$- 4.$

B

$1.$

C

$4.$

D

$0.$

Lời giải

Bước 1: Liệt kê giá trị cần xét

Các giá trị tại đầu mút và điểm cực trị là $f (0)$ , $f (1)$ và $f (3)$ .

f (0) = - 3, f (1) = - 4, f (3) = 0

Bước 2: So sánh các giá trị

Hàm số giảm trên $(0; 1)$ rồi tăng trên $(1; 3)$ , nên điểm $x = 1$ đạt giá trị nhỏ nhất.

min {- 3, - 4, 0} = - 4

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn A. $- 4$ ; B, C, D sai vì lần lượt không phải giá trị nhỏ nhất, là giá trị lớn hơn và là giá trị lớn nhất.

Đáp án: A.

- 4

— giá trị nhỏ nhất của hàm số trên

[0; 3]

đạt tại

x = 1

.

Câu 10

Tập nghiệm của bất phương trình $3^{x} < 81$ là

A

$S = (3; 81) .$

B

$S = (- \infty; 4) .$

C

$S = (4; + \infty) .$

D

$S = (3; + \infty) .$

Lời giải

Bước 1: Đưa về cùng cơ số

Viết $81$ dưới dạng lũy thừa cơ số $3$ .

81 = 3^{4}

Bước 2: So sánh số mũ

Vì $3 > 1$ , bất phương trình tương đương với so sánh hai số mũ.

3^{x} < 3^{4} ⟺ x < 4

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $B$ : $S = (- \infty; 4)$ . Các phương án $A$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt cho sai dạng tập nghiệm, ngược chiều bất phương trình và sai cả cận lẫn chiều.

S = (- \infty; 4)

Đáp án:

B

— vì

3^{x} < 81 = 3^{4}

tương đương với

x < 4

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Hà Tĩnh năm 2025 - Mã đề 01

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chọn một phương án .

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Viết công thức

Bước 2: Thay số

Bước n: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Xác định tiệm cận đứng

Bước 2: Xác định tiệm cận ngang

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Lấy hệ số của tham số

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Tách tích phân

Bước 2: Tính tích phân hàm lẻ

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Áp dụng công thức

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Lập tích phân

Bước 2: Tính nguyên hàm

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Xác định mặt phẳng vuông góc

Bước 2: Chọn đường thẳng phù hợp

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Xác định điều kiện

Bước 2: Đổi sang dạng mũ

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Liệt kê giá trị cần xét

Bước 2: So sánh các giá trị

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Đưa về cùng cơ số

Bước 2: So sánh số mũ

Bước 3: Đối chiếu phương án

Bước $1$ : Viết công thức

Bước $2$ : Thay số

Bước $n$ : Đối chiếu phương án