Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Đồng Tháp năm 2025 môn Toán học 2025 (Thi Tốt nghiệp THPT)

Câu 1

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{2 x + 1}{x}$ trên $(0; + \infty)$ là

A

$\int f (x) d x = 2 x - \frac{1}{x ^{2}} + C$

B

$\int f (x) d x = 2 x - ln x + C$

C

$\int f (x) d x = 2 x + ln x + C$

D

$\int f (x) d x = 2 + \frac{2}{x} + C$

Lời giải

Bước 1: Tách phân thức

Tách tử số theo mẫu số để đưa về các nguyên hàm cơ bản.

\frac{2 x + 1}{x} = 2 + \frac{1}{x}

Bước 2: Tính nguyên hàm

Vì $x > 0$ nên thay $ln ∣ x ∣$ bằng $ln x$ .

\int f (x) d x = \int (2 + \frac{1}{x}) d x = 2 x + ln x + C

Bước 3: Đối chiếu phương án

Phương án $C$ đúng; $A$ , $B$ , $D$ sai lần lượt do sai nguyên hàm, sai dấu $ln x$ , và không phải nguyên hàm.

\int f (x) d x = 2 x + ln x + C

Đáp án: Phương án

C

— vì

\int f (x) d x = 2 x + ln x + C

.

Câu 2

Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ , mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $A (1; 2; 3)$ và có một vectơ pháp tuyến $n = (2; - 2; 3)$ là:

A

$x + 2 y + 3 z - 15 = 0$

B

$x + 2 y + 3 z - 7 = 0$

C

$2 x - 2 y + 3 z - 7 = 0$

D

$2 x - 2 y + 3 z + 7 = 0$

Lời giải

Bước 1: Lập phương trình điểm–pháp tuyến

Gọi $M (x; y; z) \in (P)$ .

n \cdot A M = 0 ⟺ 2 (x - 1) - 2 (y - 2) + 3 (z - 3) = 0

Bước 2: Thu gọn phương trình

Khai triển và thu gọn phương trình vừa lập.

2 x - 2 - 2 y + 4 + 3 z - 9 = 0 ⟺ 2 x - 2 y + 3 z - 7 = 0

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $C$ : $2 x - 2 y + 3 z - 7 = 0$ ; các phương án $A$ , $B$ sai vectơ pháp tuyến, còn $D$ sai hằng số tự do.

Đáp án: Phương án

C

:

2 x - 2 y + 3 z - 7 = 0

— đúng vectơ pháp tuyến và đi qua điểm

A

.

Câu 3

Nguyên hàm của hàm số $f (x) = cos x$ là

A

$- cos x + C$

B

$- sin x + C$

C

$sin x + cos x + C$

D

$sin x + C$

Lời giải

Bước 1: Áp dụng công thức

Vì đạo hàm của $sin x$ bằng $cos x$ , nên một nguyên hàm của $cos x$ là $sin x$ .

Thêm hằng số tùy ý $C$ vào kết quả.

\int cos x d x = sin x + C

Bước 2: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $D$ : $sin x + C$ .

Các phương án $A$ , $B$ , $C$ sai vì đạo hàm tương ứng lần lượt là $sin x$ , $- cos x$ , và $cos x - sin x$ , đều khác $cos x$ .

Đáp án: D.

sin x + C

— vì

(sin x)^{'} = cos x

.

Câu 4

Trong không gian cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình vuông với tâm là $O$ , $S A ⊥ (A B C D)$ . Khoảng cách giữa hai đường thẳng $S A, B D$ bằng độ dài đoạn thẳng nào sau đây?

A

$S D$

B

$A O$

C

$S O$

D

$A B$

Lời giải

Bước 1: Xác định đoạn vuông góc chung

Vì $S A ⊥ (A B C D)$ nên $S A ⊥ A O$ . Trong hình vuông, $A O \subset A C$ và $A C ⊥ B D$ , nên $A O ⊥ B D$ .

Do đó, $A O$ là đoạn vuông góc chung của $S A$ và $B D$ .

d (S A, B D) = A O

Bước 2: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $B$ . Các phương án $A$ , $C$ , $D$ lần lượt là $S D$ , $S O$ , $A B$ , không phải đoạn vuông góc chung của $S A$ và $B D$ .

Đáp án:

B

— khoảng cách giữa

S A

và

B D

bằng

A O

.

Câu 5

Phương trình $lo g_{2} (x^{2} - 1) = 3$ có tập nghiệm là

A

${- 3; 3}$

B

${10}$

C

${3}$

D

${- 10; 10}$

Lời giải

Bước 1: Đặt điều kiện xác định

Biểu thức trong logarit phải dương.

x^{2} - 1 > 0 ⟺ x < - 1 hoặc x > 1

Bước 2: Khử logarit và giải

Áp dụng định nghĩa logarit, rồi giải phương trình bậc hai.

lo g_{2} (x^{2} - 1) = 3 ⟺ x^{2} - 1 = 2^{3} ⟺ x^{2} = 9 ⟺ x = \pm 3

Bước 3: Đối chiếu phương án

Hai nghiệm $x = - 3$ và $x = 3$ đều thỏa điều kiện xác định.

Chọn $A$ ; $B$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt chỉ lấy $10$ , thiếu nghiệm $- 3$ , hoặc dùng sai giá trị nghiệm.

Đáp án: Đáp án

A

— tập nghiệm là

{- 3; 3}

.

Câu 6

Hàm số nào sau đây đồng biến trên tập số thực $R$ ?

A

$y = \frac{1}{x + 1}$

B

$y = x^{5} + 1$

C

$y = x^{2} + 1$

D

$y = x + 1$

Lời giải

Bước 1: Kiểm tra từng hàm số

Với $A$ , tập xác định là $R ∖ {- 1}$ và $y^{'} = - \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}} < 0$ .

Với $B$ , tập xác định là $R$ và $y^{'} = 5 x^{4} \geq 0$ với mọi $x \in R$ . Với $C$ , $y^{'} = 2 x < 0$ khi $x < 0$ ; còn $D$ chỉ xác định trên $[- 1, + \infty)$ .

A : B : C : D : D = R ∖ {- 1}, y^{'} = - \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}} < 0 D = R, y^{'} = 5 x^{4} \geq 0 y^{'} = 2 x < 0 khi x < 0 D = [- 1, + \infty)

Bước 2: Đối chiếu phương án

Chọn $B$ vì hàm xác định trên $R$ và có $y^{'} \geq 0$ trên $R$ .

Các phương án $A$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt không xác định tại $x = - 1$ và nghịch biến, không đồng biến khi $x < 0$ , hoặc không xác định trên toàn $R$ .

Đáp án:

B

— Vì

y = x^{5} + 1

xác định trên

R

và có

y^{'} = 5 x^{4} \geq 0

với mọi

x \in R

.

Câu 7

Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ cho hai điểm $A (- 1; 1; - 2)$ , $B (1; 3; 0)$ . Khi đó

A

$A B = (- 2; - 2; - 2)$

B

$A B = (0; 4; - 2)$

C

$A B = (0; 2; - 1)$

D

$A B = (2; 2; 2)$

Lời giải

Bước 1: Tính tọa độ véc-tơ

Áp dụng công thức điểm cuối trừ điểm đầu.

A B = (1 - (- 1); 3 - 1; 0 - (- 2)) = (2; 2; 2)

Bước 2: Đối chiếu phương án

Phương án $D$ đúng vì trùng với kết quả tính được; $A$ là véc-tơ ngược hướng, còn $B$ , $C$ sai tọa độ.

A B = (2; 2; 2)

Đáp án: Đáp án

D

— vì

A B = (2; 2; 2)

.

Câu 8

Tập nghiệm của bất phương trình $ln (x + 1) \leq 0$ là

A

$S = (- 1; 0)$

B

$S = (- 1; 0]$

C

$S = (- 1; + \infty)$

D

$S = [- 1; 0)$

Lời giải

Bước 1: Tìm điều kiện xác định

Biểu thức $ln (x + 1)$ xác định khi đối số dương.

x + 1 > 0 ⟺ x > - 1

Bước 2: Giải bất phương trình

Dùng tính đồng biến của hàm $ln$ trên miền xác định.

ln (x + 1) \leq 0 ⟺ x + 1 \leq e^{0} = 1 ⟺ x \leq 0

Bước 3: Kết hợp điều kiện

Kết hợp $x > - 1$ và $x \leq 0$ .

S = (- 1; 0]

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn $B$ ; $A$ loại $x = 0$ , $C$ nhận $x > 0$ , còn $D$ nhận $x = - 1$ khiến $ln 0$ không xác định.

Đáp án:

B

— Vì

S = (- 1; 0]

.

Câu 9

Cấp số cộng $(u_{n})$ có $u_{2} = 8$ và $u_{3} = 14$ . Công sai $d$ của cấp số cộng là:

A

6

B

10

C

2

D

8

Lời giải

Bước 1: Tính công sai

Hai số hạng $u_{2}$ và $u_{3}$ liên tiếp nên áp dụng $d = u_{3} - u_{2}$ .

d = u_{3} - u_{2} = 14 - 8 = 6

Bước 2: Đối chiếu phương án

Chọn phương án A. $6$ ; B, C, D sai vì lần lượt không đúng với giá trị công sai vừa tính.

Đáp án: A.

6

— công sai là

d = u_{3} - u_{2} = 6

.

Câu 10

Hàng ngày ông Thắng đều đi xe buýt từ nhà đến cơ quan. Dưới đây là bảng thống kê thời gian của 100 lần ông Thắng đi xe buýt từ nhà đến cơ quan.
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên bằng

A

18

B

15

C

21

D

12

Lời giải

Bước 1: Xác định hai cận ngoài cùng

Cận dưới lớp đầu là $x_{m i n} = 15$ ; cận trên lớp cuối là $x_{m a x} = 33$ .

x_{m i n} = 15, x_{m a x} = 33

Bước 2: Tính khoảng biến thiên

Áp dụng công thức khoảng biến thiên.

R = x_{m a x} - x_{m i n} = 33 - 15 = 18

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án A: $18$ ; B, C, D sai vì lần lượt không lấy hiệu hai cận ngoài cùng, tính sai hiệu hoặc lấy nhầm khoảng lớp.

Đáp án: A — Khoảng biến thiên bằng

33 - 15 = 18

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Đồng Tháp năm 2025

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chọn một phương án .

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Tách phân thức

Bước 2: Tính nguyên hàm

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Lập phương trình điểm–pháp tuyến

Bước 2: Thu gọn phương trình

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Áp dụng công thức

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Xác định đoạn vuông góc chung

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Đặt điều kiện xác định

Bước 2: Khử logarit và giải

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Kiểm tra từng hàm số

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Tính tọa độ véc-tơ

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Tìm điều kiện xác định

Bước 2: Giải bất phương trình

Bước 3: Kết hợp điều kiện

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Tính công sai

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Xác định hai cận ngoài cùng

Bước 2: Tính khoảng biến thiên

Bước 3: Đối chiếu phương án