Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT BRVT năm 2025 - Lần 2 môn Toán học 2025 (Thi Tốt nghiệp THPT)

Câu 1

Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA ⟂ (ABCD). Đường thẳng nào sau đây vuông góc với mặt phẳng (SAC)?

A

AC.

B

BC.

C

DC.

D

BD.

Lời giải

Bước 1: Xác định hai quan hệ vuông góc

Từ $S A ⊥ (A B C D)$ , suy ra $S A ⊥ B D$ . Hình vuông có hai đường chéo vuông góc.

S A ⊥ B D, A C ⊥ B D

Bước 2: Kết luận vuông góc mặt phẳng

Hai đường $S A$ và $A C$ cắt nhau tại $A$ , cùng thuộc $(S A C)$ . Vì $B D$ vuông góc cả hai đường đó nên $B D ⊥ (S A C)$ .

B D ⊥ S A, B D ⊥ A C \Rightarrow B D ⊥ (S A C)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn D. $A C$ nằm trong $(S A C)$ ; $B C$ và $D C$ không vuông góc với $A C$ , nên không thỏa điều kiện.

Đáp án: Đáp án D —

B D

vuông góc với

S A

và

A C

, hai đường cắt nhau thuộc

(S A C)

.

Câu 2

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A

4.

B

3.

C

2.

D

1.

Lời giải

Bước 1: Xác định các điểm cực trị

Tại $x = - 1$ , $f^{'} (x)$ đổi từ $+$ sang $-$ ; tại $x = 2$ , đổi từ $-$ sang $+$ .

x = - 1 : + \to - \Rightarrow cực đ ại; x = 2 : - \to + \Rightarrow cực tiểu

Bước 2: Đối chiếu phương án

Có $1$ cực đại và $1$ cực tiểu nên tổng số điểm cực trị là $2$ .

Chọn C; A, B, D sai vì lần lượt nêu $4$ , $3$ , $1$ , không đúng kết quả.

1 + 1 = 2

Đáp án: C.

2

— hàm số có một cực đại và một cực tiểu.

Câu 3

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(4;1;2) và có một vectơ pháp tuyến n = (2;3;1) là

A

$2 x + 3 y - z - 13 = 0$

B

$2 x - 3 y + z - 11 = 0$

C

$2 x + 3 y + z - 11 = 0$

D

$2 x + 3 y + z - 13 = 0$

Lời giải

Bước 1: Lập phương trình điểm–pháp tuyến

Thay $n = (2; 3; 1)$ và $A (4; 1; 2)$ vào công thức.

2 (x - 4) + 3 (y - 1) + (z - 2) = 0

Bước 2: Thu gọn phương trình

Khai triển và thu gọn các hạng tử đồng dạng.

2 x - 8 + 3 y - 3 + z - 2 = 0 ⟺ 2 x + 3 y + z - 13 = 0

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $D$ . Các phương án $A$ , $B$ , $C$ lần lượt sai dấu hệ số $z$ , sai dấu hệ số $y$ và sai hằng số tự do.

Đáp án: D — phương trình mặt phẳng là

2 x + 3 y + z - 13 = 0

.

Câu 4

Cho mẫu số liệu ghép nhóm như sau. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên bằng

A

2.

B

16.

C

8.

D

26.

Lời giải

Bước $1$ : Xác định hai đầu mút

Giá trị nhỏ nhất: $x_{m i n} = 18$ ; giá trị lớn nhất: $x_{m a x} = 26$ .

x_{m i n} = 18, x_{m a x} = 26

Bước $2$ : Đối chiếu phương án

Tính $R = x_{m a x} - x_{m i n} = 26 - 18 = 8$ .

Chọn $C$ . Các phương án $A, B, D$ sai vì lần lượt lấy hiệu trong một nhóm, trừ sai mốc hoặc lấy giá trị lớn nhất thay cho khoảng biến thiên.

R = 26 - 18 = 8

Đáp án:

C . 8

— khoảng biến thiên bằng hiệu giữa hai đầu mút ngoài cùng.

Câu 5

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho phương trình đường thẳng $\frac{x - 1}{3} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z}{- 4} .$ Vectơ nào sau đây là một vectơ chỉ phương của d?

A

$u_{4} = (3; 1; - 4)$

B

$u_{3} = (1; - 1; 0)$

C

$u_{1} = (- 3; 1; 4)$

D

$u_{2} = (3; 1; 4)$

Lời giải

Bước 1: Lấy vectơ chỉ phương

Các mẫu số trong phương trình đối xứng lần lượt là $3$ , $1$ , $- 4$ .

u = (3; 1; - 4)

Bước 2: Đối chiếu phương án

Phương án A đúng vì có đúng vectơ $u = (3; 1; - 4)$ ; B, C, D sai vì lần lượt không cùng phương, sai dấu thành phần thứ hai và sai dấu thành phần thứ ba.

Đáp án: Phương án A — vectơ

u_{4} = (3; 1; - 4)

là một vectơ chỉ phương của

d

.

Câu 6

Phương trình đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{x ^{2} + 3 x - 1}{x - 1}$ là

A

$x = 1$ .

B

$y = - 1$ .

C

$x = - 1$ .

D

$y = 1$ .

Lời giải

Bước 1: Tìm nghiệm mẫu số

Cho mẫu số bằng $0$ để tìm vị trí có thể là tiệm cận đứng.

x - 1 = 0 ⟹ x = 1

Bước 2: Kiểm tra tử số

Tử số tại $x = 1$ khác $0$ , nên không xảy ra khử nhân tử.

(x^{2} + 3 x - 1)_{x = 1} = 3 \neq = 0

Bước 3: Đối chiếu phương án

Phương án $A$ đúng. Các phương án $B$ , $D$ là đường thẳng ngang; $C$ không phải nghiệm của mẫu số.

Đáp án: A.

x = 1

— mẫu số bằng

0

và tử số tại

x = 1

khác

0

.

Câu 7

Cấp số nhân $(u_{n})$ có $u_{1} = 2$ và $u_{2} = 10$ . Công bội $q$ của cấp số nhân đó bằng

A

$q = - 5$ .

B

$q = 5$ .

C

$q = \frac{- 1}{5}$ .

D

$q = \frac{1}{5}$ .

Lời giải

Bước 1: Lập công thức

Áp dụng công thức công bội cho hai số hạng đầu.

q = \frac{u _{2}}{u _{1}}

Bước 2: Tính công bội

Thay các giá trị đã cho vào công thức.

q = \frac{10}{2} = 5

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $B$ : $q = 5$ ; các phương án $A$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt khác dấu hoặc đảo ngược tỉ số.

Đáp án: Phương án

B

— công bội là

q = 5

.

Câu 8

Tập nghiệm của bất phương trình $3^{x} \geq 3$ là

A

$[1; + \infty)$

B

$(- \infty; - 1]$

C

$(- 1; + \infty)$

D

$(- \infty; 1]$

Lời giải

Bước 1: Đưa về cùng cơ số

Viết số $3$ dưới dạng lũy thừa cơ số $3$ .

3 = 3^{1} \Rightarrow 3^{x} \geq 3^{1}

Bước 2: So sánh số mũ

Vì cơ số $3 > 1$ , hàm số mũ đồng biến nên so sánh số mũ.

x \geq 1 \Rightarrow S = [1; + \infty)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Phương án $A$ đúng; $B$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt chọn sai chiều hoặc sai mốc nghiệm.

Đáp án:

A . [1; + \infty)

— cơ số

3 > 1

nên

3^{x} \geq 3^{1} \Leftrightarrow x \geq 1

.

Câu 9

Nếu $\int_{0}^{1} f (x) d x = 2$ thì $\int_{0}^{1} 2 f (x) d x$ bằng

A

16.

B

8.

C

4.

D

2.

Lời giải

Bước 1: Đưa hệ số ra ngoài

Áp dụng tính tuyến tính với hệ số $2$ .

\int_{0}^{1} 2 f (x) d x = 2 \int_{0}^{1} f (x) d x = 2 \cdot 2 = 4

Bước 2: Đối chiếu phương án

Chọn phương án C. $4$ ; A và B sai do nhân sai hệ số, D sai vì bỏ hệ số $2$ .

Đáp án: C.

4

— đưa hệ số

2

ra ngoài tích phân rồi nhân với giá trị đã cho.

Câu 10

Cho hàm số $y = 3^{x}$ và $y = x$ có đồ thị như hình bên. Diện tích hình phẳng (phần gạch sọc) được tính bởi công thức

A

$S = \int_{0}^{1} (3^{x} - x) d x$ .

B

$S = \int_{0}^{1} (3^{x} + x) d x$ .

C

$S = \int_{1}^{3} (3^{x} - x) d x$ .

D

$S = \int_{1}^{3} (3^{x} + x) d x$ .

Lời giải

Bước 1: Xác định cận tích phân

Miền gạch sọc bị giới hạn bởi $x = 0$ và $x = 1$ .

0 \leq x \leq 1

Bước 2: Xác định hàm trên, hàm dưới

Trên đoạn $[0; 1]$ , đồ thị $y = 3^{x}$ nằm trên $y = x$ .

S = \int_{0}^{1} (3^{x} - x) d x

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $A$ ; $B$ và $D$ sai vì cộng hai hàm, còn $C$ và $D$ sai vì dùng cận $[1; 3]$ .

Đáp án: Đáp án

A

— diện tích là

S = \int_{0}^{1} (3^{x} - x) d x

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT BRVT năm 2025 - Lần 2

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chọn một phương án .

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Xác định hai quan hệ vuông góc

Bước 2: Kết luận vuông góc mặt phẳng

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Xác định các điểm cực trị

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Lập phương trình điểm–pháp tuyến

Bước 2: Thu gọn phương trình

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Xác định hai đầu mút

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Lấy vectơ chỉ phương

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Tìm nghiệm mẫu số

Bước 2: Kiểm tra tử số

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Lập công thức

Bước 2: Tính công bội

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Đưa về cùng cơ số

Bước 2: So sánh số mũ

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Đưa hệ số ra ngoài

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Xác định cận tích phân

Bước 2: Xác định hàm trên, hàm dưới

Bước 3: Đối chiếu phương án

Bước $1$ : Xác định hai đầu mút

Bước $2$ : Đối chiếu phương án