Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Bình Phước năm 2025 - Lần 1 môn Toán học 2025 (Thi Tốt nghiệp THPT)

Câu 1

Cho hàm số $f (x) = 1 + cos x$ . Khẳng định nào dưới đây đúng?

A

$\int f (x) d x = x + cos x + C .$

B

$\int f (x) d x = x + sin x + C .$

C

$\int f (x) d x = - sin x + C .$

D

$\int f (x) d x = x - sin x + C .$

Lời giải

Bước 1: Tính nguyên hàm

Sử dụng tính chất tuyến tính của nguyên hàm để tính từng số hạng.

\int (1 + cos x) d x = \int 1 d x + \int cos x d x

Bước 2: Đối chiếu phương án

Kết quả thu được là $x + sin x + C$ , khớp với phương án B. Các phương án A, C, D sai vì lần lượt tính sai nguyên hàm của $1$ , quên nguyên hàm của $1$ , và đổi sai dấu của nguyên hàm $cos x$ .

x + sin x + C

Đáp án: B — Nguyên hàm của

1

là

x

và nguyên hàm của

cos x

là

sin x

.

Câu 2

Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi các đường $y = x^{2} + 3, y = 0, x = 0, x = 2$ . Gọi $V$ là thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay $(H)$ xung quanh trục $O x$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A

$V = π \int_{0}^{2} (x^{2} + 3) d x .$

B

$V = \int_{0}^{2} (x^{2} + 3) d x .$

C

$V = π \int_{0}^{2} (x^{2} + 3)^{2} d x .$

D

$V = \int_{0}^{2} (x^{2} + 3)^{2} d x .$

Lời giải

Bước 1: Xác định bán kính và khoảng xét

Khoảng xét là $[0; 2]$ , bán kính bằng khoảng cách từ $y = x^{2} + 3$ đến $O x$ .

R (x) = x^{2} + 3, a = 0, b = 2

Bước 2: Lập công thức thể tích

Áp dụng công thức đĩa tròn xoay quanh $O x$ .

V = π \int_{0}^{2} (x^{2} + 3)^{2} d x

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $C$ . Các phương án $A$ , $B$ , $D$ lần lượt thiếu bình phương bán kính, thiếu cả $π$ và bình phương, hoặc thiếu $π$ .

Đáp án:

C

— dùng đúng công thức

V = π \int_{0}^{2} (x^{2} + 3)^{2} d x

.

Câu 3

Hai mẫu số liệu ghép nhóm $M_{1}, M_{2}$ có bảng tần số ghép nhóm như sau. Gọi $s_{1}^{2}, s_{2}^{2}$ lần lượt là phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm $M_{1}, M_{2}$ . Phát biểu nào sau đây là đúng?

Hình minh họa

A

$s_{1}^{2} = 2 s_{2}^{2} .$

B

$s_{1}^{2} = \frac{15}{8} s_{2}^{2} .$

C

$s_{1}^{2} = \frac{9}{5} s_{2}^{2} .$

D

$3 s_{1}^{2} = s_{2}^{2} .$

Lời giải

Bước 1: Xác định điểm giữa và cỡ mẫu

Điểm giữa các lớp lần lượt là $1, 3, 5, 7, 9$ .

Hai mẫu có cùng cỡ mẫu $n_{1} = n_{2} = 30$ .

x_{i} \in {1, 3, 5, 7, 9}, n_{1} = n_{2} = 30

Bước 2: Tính phương sai

Tính các tổng theo tần số rồi áp dụng công thức phương sai.

\sum f_{i} x_{i} (M_{1}) = 180, \sum f_{i} x_{i}^{2} (M_{1}) = 1166, \sum f_{i} x_{i} (M_{2}) = 178, \sum f_{i} x_{i}^{2} (M_{2}) = 1102, s_{1}^{2} = \frac{1166}{30} - (\frac{180}{30})^{2} = \frac{43}{15}, s_{2}^{2} = \frac{1102}{30} - (\frac{178}{30})^{2} = \frac{344}{225} .

Bước 3: Đối chiếu phương án

Tỉ số phương sai là $\frac{s _{1}^{2}}{s _{2}^{2}} = \frac{43}{15} \cdot \frac{225}{344} = \frac{15}{8}$ , nên chọn $B$ .

$A$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt cho tỉ số $2$ , $\frac{9}{5}$ và $\frac{1}{3}$ .

\frac{s _{1}^{2}}{s _{2}^{2}} = \frac{\frac{43}{15}}{\frac{344}{225}} = \frac{15}{8}

Đáp án:

B

— Vì

\frac{s _{1}^{2}}{s _{2}^{2}} = \frac{15}{8}

.

Câu 4

Trong không gian $O x y z$ , cho đường thẳng $d : \frac{x - 2}{1} = \frac{y - 1}{- 2} = \frac{z + 1}{3}$ . Điểm nào dưới đây thuộc $d$ ?

A

$M (1; 2; 3)$

B

$P (2; 1; - 1)$

C

$N (1; - 2; 3)$

D

$Q (2; 1; 1)$

Lời giải

Bước 1: Viết dạng tham số

Đặt giá trị chung bằng $t$ , suy ra phương trình tham số của $d$ .

⎩ ⎨ ⎧ x = 2 + t y = 1 - 2 t z = - 1 + 3 t

Bước 2: Kiểm tra các điểm

Thay tọa độ vào hệ tham số: $P$ cho $t = 0$ và thỏa cả ba phương trình; $M, N$ cho $t = - 1$ nhưng $y = 3$ ; $Q$ cho $t = 0$ nhưng $z = - 1$ .

P (2; 1; - 1) M (1; 2; 3), N (1; - 2; 3) Q (2; 1; 1) : t = 0 \Rightarrow (x, y, z) = (2, 1, - 1) : t = - 1 \Rightarrow y = 3 : t = 0 \Rightarrow z = - 1

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $B . P (2; 1; - 1)$ ; các phương án $A$ , $C$ sai vì không đúng tọa độ $y$ , còn $D$ sai vì không đúng tọa độ $z$ .

Đáp án: B.

P (2; 1; - 1)

— điểm này ứng với

t = 0

và thỏa cả ba phương trình.

Câu 5

Cho hàm số $y = f (x) = \frac{a x + b}{c x + d}$ ( $c \neq = 0, a d - b c \neq = 0$ ) có bảng biến thiên như sau. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là

Hình minh họa

A

$x = - 2$

B

$y = - 1$

C

$x = - 1$

D

$y = - 2$

Lời giải

Bước 1: Đọc giới hạn tại điểm gián đoạn

Tại $x = - 2$ , bảng biến thiên cho hai giới hạn một phía vô cực.

x \to - 2^{-} lim f (x) = - \infty, x \to - 2^{+} lim f (x) = + \infty

Bước 2: Đối chiếu phương án

Suy ra tiệm cận đứng là $x = - 2$ , chọn phương án A.

B và D sai vì có dạng $y = ...$ ; C sai vì tại $x = - 1$ không có giới hạn vô cực.

x = - 2

Đáp án: A.

x = - 2

— vì khi

x \to - 2^{\pm}

,

f (x) \to \pm \infty

.

Câu 6

Tập nghiệm của bất phương trình $2^{x} \geq 8$ là

A

$[3; + \infty)$

B

$(3; + \infty)$

C

$[- 3; + \infty)$

D

$(- 3; + \infty)$

Lời giải

Bước 1: Đưa về cùng cơ số

Cơ số $2 > 1$ , nên hàm số mũ đồng biến.

8 = 2^{3}

Bước 2: Giải bất phương trình

Áp dụng tính đồng biến của hàm số mũ.

2^{x} \geq 2^{3} ⟺ x \geq 3 ⟺ x \in [3; + \infty)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án A: $[3; + \infty)$ . B, C, D sai lần lượt vì bỏ điểm biên, đổi $3$ thành $- 3$ , và vừa sai dấu vừa bỏ điểm biên.

Đáp án: A:

[3; + \infty)

— vì nghiệm tương đương

x \geq 3

.

Câu 7

Trong không gian $O x y z$ , cho mặt cầu $(S)$ có tâm $I (1; 2; - 1)$ và bán kính $R = 3$ . Phương trình mặt cầu $(S)$ là

A

$(x + 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 1)^{2} = 9$

B

$(x + 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 1)^{2} = 3$

C

$(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 1)^{2} = 9$

D

$(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 1)^{2} = 3$

Lời giải

Bước 1: Ghi công thức

Với tâm $I (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ và bán kính $R$ , dùng công thức mặt cầu chuẩn.

(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} + (z - z_{0})^{2} = R^{2}

Bước 2: Thay dữ kiện

Thay $x_{0} = 1$ , $y_{0} = 2$ , $z_{0} = - 1$ , $R = 3$ vào công thức.

(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 1)^{2} = 3^{2} = 9

Bước 3: Đối chiếu phương án

Phương án $C$ đúng; $A$ sai dấu tọa độ tâm, còn $B$ và $D$ dùng $3$ thay vì $R^{2} = 9$ .

Đáp án: Phương án

C

—

(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 1)^{2} = 9

.

Câu 8

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình vuông và $S A ⊥ (A B C D)$ . Mặt phẳng nào sau đây vuông góc với đường thẳng $B D$ ?

A

$(S B C)$

B

$(S A B)$

C

$(S C D)$

D

$(S A C)$

Lời giải

Bước 1: Tạo hai đường trong mặt phẳng

Gọi $O = A C \cap B D$ . Qua $O$ kẻ đường thẳng $k ∥ S A$ ; vì $O \in A C$ nên $k \subset (S A C)$ .

O = A C \cap B D, k ∥ S A, k \subset (S A C)

Bước 2: Chứng minh vuông góc

Do $S A ⊥ (A B C D)$ và $B D \subset (A B C D)$ nên $B D ⊥ k$ . Trong hình vuông, $B D ⊥ A C$ .

Hai đường $A C$ và $k$ cắt nhau tại $O$ , cùng nằm trong $(S A C)$ .

B D ⊥ A C, B D ⊥ k ⟹ B D ⊥ (S A C)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $D$ : $(S A C) ⊥ B D$ . Các phương án $A$ , $B$ , $C$ sai vì các mặt phẳng tương ứng chứa lần lượt $B C$ , $A B$ , $C D$ , đều không vuông góc với $B D$ .

B C \neq ⊥ B D, A B \neq ⊥ B D, C D \neq ⊥ B D

Đáp án:

D

—

B D

vuông góc với hai đường

A C

và

k

cắt nhau trong

(S A C)

.

Câu 9

Nghiệm của phương trình $lo g_{\frac{1}{2}} (2 x - 1) = 0$ là

A

$x = 1$

B

$x = \frac{2}{3}$

C

$x = \frac{3}{4}$

D

$x = \frac{1}{2}$

Lời giải

Bước 1: Đặt điều kiện xác định

Điều kiện của logarit là $2 x - 1 > 0$ , nên $x > \frac{1}{2}$ .

2 x - 1 > 0 ⟺ x > \frac{1}{2}

Bước 2: Áp dụng tính chất logarit

Áp dụng $lo g_{a} M = 0 ⟺ M = 1$ .

2 x - 1 = 1 ⟹ 2 x = 2 ⟹ x = 1

Bước 3: Đối chiếu phương án

$x = 1$ thỏa điều kiện $x > \frac{1}{2}$ . A đúng; B, C, D sai vì lần lượt cho đối số $\frac{1}{3}$ , $\frac{1}{2}$ và $0$ , không bằng $1$ hoặc không xác định.

1 > \frac{1}{2}

Đáp án: A.

x = 1

— vì đối số logarit bằng

1

và thỏa điều kiện xác định.

Câu 10

Cho cấp số nhân $(u_{n})$ với $u_{1} = - 8$ và $u_{4} = 1$ . Công bội của cấp số nhân đã cho bằng

A

$\frac{1}{2}$

B

$- 2$

C

$2$

D

$- \frac{1}{2}$

Lời giải

Bước 1: Lập phương trình

Với $n = 4$ , thay dữ kiện vào công thức số hạng tổng quát.

u_{4} = u_{1} q^{4 - 1} ⟹ 1 = - 8 q^{3}

Bước 2: Tìm công bội

Chia hai vế cho $- 8$ , rồi lấy căn bậc ba.

q^{3} = - \frac{1}{8} ⟹ q = 3 - \frac{1}{8} = - \frac{1}{2}

Bước n: Đối chiếu phương án

Phương án $D$ đúng. Các phương án $A, B, C$ sai vì lần lượt cho $u_{4} = - 1, 64, - 64$ .

u_{4} = - 8 (- \frac{1}{2})^{3} = 1

Đáp án:

D

— công bội là

q = - \frac{1}{2}

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Bình Phước năm 2025 - Lần 1

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chọn một phương án .

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Tính nguyên hàm

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Xác định bán kính và khoảng xét

Bước 2: Lập công thức thể tích

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Xác định điểm giữa và cỡ mẫu

Bước 2: Tính phương sai

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Viết dạng tham số

Bước 2: Kiểm tra các điểm

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Đọc giới hạn tại điểm gián đoạn

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Đưa về cùng cơ số

Bước 2: Giải bất phương trình

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Ghi công thức

Bước 2: Thay dữ kiện

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Tạo hai đường trong mặt phẳng

Bước 2: Chứng minh vuông góc

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Đặt điều kiện xác định

Bước 2: Áp dụng tính chất logarit

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Lập phương trình

Bước 2: Tìm công bội

Bước n: Đối chiếu phương án