Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Bắc Ninh năm 2025 - Đề 01 môn Toán học 2025 (Thi Tốt nghiệp THPT)

Câu 1

Tất cả các nghiệm của phương trình $sin x = 0$ là

A

$x = \frac{π}{2} + k π, k \in Z$

B

$x = k 2 π, k \in Z$

C

$x = π + k 2 π, k \in Z$

D

$x = k π, k \in Z$

Lời giải

Bước 1: Xác định nghiệm cơ bản

Trong khoảng $[0, 2 π)$ , các nghiệm là $x = 0$ và $x = π$ .

x = 0, x = π

Bước 2: Viết nghiệm tổng quát

Cộng thêm chu kỳ $2 π$ vào mỗi nghiệm cơ bản rồi gộp hai dãy nghiệm.

x = 2 k π hoặc x = π + 2 k π ⟺ x = k π, k \in Z

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn D: $x = k π$ , $k \in Z$ . A là nghiệm của $cos x = 0$ ; B và C lần lượt chỉ chứa một trong hai dãy nghiệm.

Đáp án: D:

x = k π

,

k \in Z

— vì

sin x = 0

tại mọi bội nguyên của

π

.

Câu 2

Trong không gian $O x y z,$ cho hai điểm $A (1; 2; 3), B (- 2; 4; 0) .$ Trung điểm của đoạn thẳng $A B$ có tung độ bằng

A

$1$

B

$3$

C

$0$

D

$- 1$

Lời giải

Bước 1: Xác định công thức

Tung độ trung điểm bằng trung bình cộng tung độ của hai đầu mút.

y_{M} = \frac{y _{A} + y _{B}}{2}

Bước 2: Tính tung độ

Thay $y_{A} = 2$ và $y_{B} = 4$ vào công thức.

y_{M} = \frac{2 + 4}{2} = 3

Bước 3: Đối chiếu phương án

Giá trị $3$ tương ứng phương án B; A, C, D lần lượt là $1, 0, - 1$ , đều khác $3$ .

Đáp án: B — vì tung độ trung điểm là

3

.

Câu 3

Giá trị của $lim_{n \to + \infty} \frac{2 n - 3}{n + 1}$ bằng

A

$2$

B

$- 3$

C

$1$

D

$+ \infty$

Lời giải

Bước 1: Chia cho lũy thừa cao nhất

Tử và mẫu đều bậc $1$ , nên chia cả hai cho $n$ .

\frac{2 n - 3}{n + 1} = \frac{2 - \frac{3}{n}}{1 + \frac{1}{n}}

Bước 2: Tính giới hạn

Khi $n \to + \infty$ , ta có $\frac{3}{n} \to 0$ và $\frac{1}{n} \to 0$ .

n \to + \infty lim \frac{2 - \frac{3}{n}}{1 + \frac{1}{n}} = \frac{2 - 0}{1 + 0} = 2

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án A: $2$ ; B, C, D sai vì các giá trị $- 3$ , $1$ , $+ \infty$ không bằng giới hạn đã tính.

Đáp án: A — Vì tử và mẫu cùng bậc nên giới hạn bằng tỉ số hệ số dẫn đầu:

\frac{2}{1} = 2

.

Câu 4

Người ta thống kê tốc độ của một số xe ôtô đi chuyển qua một trạm kiểm soát trên đường cao tốc trong một khoảng thời gian ở bảng sau. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên bằng:

Hình minh họa

A

$100 k m / h$

B

$25 k m / h$

C

$5 k m / h$

D

$75 k m / h$

Lời giải

Bước 1: Xác định hai cận

Cận dưới lớp đầu là $75 km/h$ ; cận trên lớp cuối là $100 km/h$ .

x_{m i n} = 75, x_{m a x} = 100

Bước 2: Tính khoảng biến thiên

Áp dụng công thức khoảng biến thiên.

R = x_{m a x} - x_{m i n} = 100 - 75 = 25 km/h

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án B. A, C, D sai vì lần lượt là giá trị lớn nhất, độ rộng lớp và giá trị nhỏ nhất.

Đáp án: B — Khoảng biến thiên bằng

25 km/h

.

Câu 5

Trong không gian $O x y z,$ điểm $M (1; - 3; 2)$ thuộc mặt phẳng có phương trình nào sau đây?

A

$2 x + y - z + 3 = 0$

B

$3 x - y + z - 2 = 0$

C

$2 x + y - z + 4 = 0$

D

$x - 2 y - z + 1 = 0$

Lời giải

Bước 1: Lập điều kiện kiểm tra

Với mỗi phương án, thay tọa độ $M (1; - 3; 2)$ vào vế trái của phương trình.

a x_{0} + b y_{0} + c z_{0} + d = 0

Bước 2: Đối chiếu phương án

Kết quả thay lần lượt vào $A, B, C, D$ là các giá trị $0, 6, 1, 6$ .

Vì chỉ $A$ cho giá trị bằng $0$ , chọn $A$ ; $B, C, D$ sai vì lần lượt cho $6, 1, 6 \neq = 0$ .

A : B : C : D : 2 \cdot 1 + (- 3) - 2 + 3 = 0 3 \cdot 1 - (- 3) + 2 - 2 = 6 2 \cdot 1 + (- 3) - 2 + 4 = 1 1 - 2 (- 3) - 2 + 1 = 6

Đáp án:

A

— vì thay

M (1; - 3; 2)

vào phương trình

A

được

0

.

Câu 6

Trong không gian $O x y z,$ cho hai vectơ $u = (2; 0; - 2), v = (- 1; - 1; 6) .$ Tích vô hướng $u \cdot v$ bằng

A

$- 14$

B

$1$

C

$0$

D

$4$

Lời giải

Bước 1: Tính tích vô hướng

Nhân các tọa độ tương ứng và cộng các tích.

u \cdot v = 2 \cdot (- 1) + 0 \cdot (- 1) + (- 2) \cdot 6 = - 2 + 0 - 12 = - 14

Bước 2: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $A$ ; các phương án $B$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt không đúng với kết quả $- 14$ .

Đáp án:

A

— Vì

u \cdot v = - 14

.

Câu 7

Hàm số nào sau đây đồng biến trên $R$ ?

A

$y = x^{3} + 3 x$

B

$y = x^{3} - 3 x$

C

$y = \frac{x - 1}{x + 1}$

D

$y = x^{4} - 3 x^{2} + 1$

Lời giải

Bước $1$ : Tính các đạo hàm

Tính đạo hàm của từng hàm số để xét dấu.

A : B : C : D : y^{'} = 3 x^{2} + 3 = 3 (x^{2} + 1) y^{'} = 3 x^{2} - 3 = 3 (x^{2} - 1) y^{'} = \frac{2}{( x + 1 ) ^{2}} y^{'} = 4 x^{3} - 6 x = 2 x (2 x^{2} - 3)

Bước $2$ : Xét dấu và tập xác định

Với $A$ , đạo hàm dương trên $R$ . Các đạo hàm của $B$ và $D$ đổi dấu; $C$ không xác định tại $x = - 1$ .

A : B : C : D : y^{'} = 3 (x^{2} + 1) > 0 \forall x \in R y^{'} < 0 khi ∣ x ∣ < 1, y^{'} > 0 khi ∣ x ∣ > 1 D_{C} = R ∖ {- 1} y^{'} = 2 x (2 x^{2} - 3) đ ổi d \overset{ˊ}{\overset{a}{ˆ}} u

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Chọn $A$ vì $y^{'} = 3 (x^{2} + 1) > 0$ với mọi $x \in R$ ; $B$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt có đạo hàm đổi dấu, không xác định tại $x = - 1$ , và đạo hàm đổi dấu.

Đáp án: Đáp án

A

—

y^{'} = 3 (x^{2} + 1) > 0

với mọi

x \in R

.

Câu 8

Cho hàm số $f (x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $[a; b]$ và $f (a) = - 2, f (b) = - 4.$ Giá trị của $\int_{a}^{b} f^{'} (x) d x$ bằng

A

$2$

B

$- 2$

C

$- 6$

D

$6$

Lời giải

Bước 1: Áp dụng định lý

Theo định lý cơ bản của giải tích, tích phân của $f^{'} (x)$ bằng hiệu giá trị cuối và đầu.

\int_{a}^{b} f^{'} (x) d x = f (b) - f (a)

Bước 2: Thay số

Thay $f (a) = - 2$ và $f (b) = - 4$ vào công thức.

- 4 - (- 2) = - 2

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $B$ . Các phương án $A$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt đổi thứ tự hiệu, tính nhầm kết quả và sai cả giá trị lẫn dấu.

Đáp án:

B

— vì

\int_{a}^{b} f^{'} (x) d x = f (b) - f (a) = - 2

.

Câu 9

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = sin x + 2$ là

A

$- cos x + 2 x + C$

B

$cos x + 2 x + C$

C

$sin x + 2 x + C$

D

$cos x + C$

Lời giải

Bước 1: Tách nguyên hàm

Áp dụng tính tuyến tính của nguyên hàm.

\int (sin x + 2) d x = \int sin x d x + \int 2 d x

Bước 2: Tính và gộp hằng số

Dùng các công thức nguyên hàm cơ bản rồi gộp các hằng số vào $C$ .

F (x) = - cos x + 2 x + C

Bước n: Đối chiếu phương án

Chọn A. $- cos x + 2 x + C$ ; B, C, D sai vì lần lượt sai dấu, sai hàm nguyên hàm và thiếu thành phần $2 x$ .

Đáp án: A.

- cos x + 2 x + C

— vì

(- cos x + 2 x + C)^{'} = sin x + 2

.

Câu 10

Bạn Chi rất thích nhảy hiện đại. Thời gian tập nhảy trong một số ngày gần đây của bạn Chi được thống kê lại ở bảng sau. Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên có giá trị gần nhất với giá trị nào dưới đây?

Hình minh họa

A

$33$

B

$34, 77$

C

$32$

D

$31, 24$

Lời giải

Bước 1: Tìm trung điểm các lớp

Các trung điểm lần lượt là $22, 5; 27, 5; 32, 5; 37, 5; 42, 5$ .

x_{i} = \frac{a _{i} + b _{i}}{2}

Bước 2: Tính trung bình và phương sai

Tính trung bình theo tần số, sau đó thay vào công thức phương sai mẫu.

\overline{x} = \frac{6 \cdot 22 , 5 + 6 \cdot 27 , 5 + 4 \cdot 32 , 5 + 37 , 5 + 42 , 5}{18} \approx 28, 33; s^{2} \approx 31, 24

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $D$ ; các phương án $A, B, C$ sai vì không cho giá trị phương sai gần nhất theo kết quả tính được.

s^{2} \approx 31, 24

Đáp án: D — Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm gần bằng

31, 24

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Bắc Ninh năm 2025 - Đề 01

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chọn một phương án .

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Xác định nghiệm cơ bản

Bước 2: Viết nghiệm tổng quát

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Xác định công thức

Bước 2: Tính tung độ

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Chia cho lũy thừa cao nhất

Bước 2: Tính giới hạn

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Xác định hai cận

Bước 2: Tính khoảng biến thiên

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Lập điều kiện kiểm tra

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Tính tích vô hướng

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Tính các đạo hàm

Bước 2: Xét dấu và tập xác định

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Áp dụng định lý

Bước 2: Thay số

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Tách nguyên hàm

Bước 2: Tính và gộp hằng số

Bước n: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Tìm trung điểm các lớp

Bước 2: Tính trung bình và phương sai

Bước 3: Đối chiếu phương án

Bước $1$ : Tính các đạo hàm

Bước $2$ : Xét dấu và tập xác định

Bước $3$ : Đối chiếu phương án