Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT An Giang năm 2025 môn Toán học 2025 (Thi Tốt nghiệp THPT)

Câu 1

Thống kê thu nhập theo tháng (đơn vị: triệu đồng) của một nhóm người chạy xe điện chở khách được cho trong bảng sau. Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm trên là

A

8,2.

B

8,1.

C

7,5.

D

7,6.

Lời giải

Bước 1: Tính tổng và vị trí

Tổng số người là $n = 22$ , vị trí của $Q_{3}$ là $\frac{3 n}{4} = 16, 5$ .

n = 5 + 10 + 5 + 2 = 22, \frac{3 n}{4} = \frac{3 \cdot 22}{4} = 16, 5

Bước 2: Xác định nhóm chứa $Q_{3}$

Tần số tích lũy là $5, 15, 20, 22$ ; vì $15 < 16, 5 \leq 20$ , $Q_{3}$ thuộc nhóm $[7; 9)$ .

Q_{3} = 7 + \frac{16 , 5 - 15}{5} (9 - 7) = 7, 6

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án D. Các phương án A, B, C sai do lần lượt chọn sai nhóm, tính sai tỉ lệ nội suy hoặc làm tròn sai.

Đáp án: D.

7, 6

— nội suy trong nhóm

[7; 9)

cho kết quả

Q_{3} = 7, 6

.

Câu 2

Mệnh đề nào SAI trong các mệnh đề sau?

A

$\int \frac{1}{cos ^{2} x} d x = tan x + C .$

B

$\int \frac{1}{sin ^{2} x} d x = - cot x + C .$

C

$\int sin x d x = cos x + C .$

D

$\int cos x d x = sin x + C .$

Lời giải

Bước 1: Nhớ các công thức

Áp dụng trực tiếp các công thức nguyên hàm lượng giác cơ bản.

\int sin x d x = - cos x + C; \int cos x d x = sin x + C; \int \frac{1}{cos ^{2} x} d x = tan x + C; \int \frac{1}{sin ^{2} x} d x = - cot x + C

Bước 2: Đối chiếu phương án

Chọn $C$ vì $\int sin x d x = - cos x + C$ , không phải $cos x + C$ ; $A$ , $B$ , $D$ đều đúng theo các công thức tương ứng.

Đáp án:

C

— sai vì nguyên hàm của

sin x

là

- cos x + C

.

Câu 3

Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đường cong $y = x + 1$ , trục hoành và các đường thẳng $x = - 1, x = 2$ . Thể tích $V$ của khối tròn xoay tạo thành khi quay $(H)$ quanh trục hoành được tính bởi công thức nào dưới đây?

A

$V = π \int_{- 1}^{2} (x + 1) d x .$

B

$V = π \int_{- 1}^{2} x + 1 d x .$

C

$V = (π)^{2} \int_{- 1}^{2} x + 1 d x .$

D

$V = (π)^{2} \int_{- 1}^{2} (x + 1) d x .$

Lời giải

Bước 1: Xác định bán kính

Tại vị trí $x$ , bán kính mặt cắt là giá trị của hàm số.

R (x) = x + 1

Bước 2: Lập công thức thể tích

Diện tích mặt cắt là $π R^{2} (x)$ ; lấy tích phân trên $[- 1; 2]$ .

V = \int_{- 1}^{2} π (x + 1)^{2} d x = π \int_{- 1}^{2} (x + 1) d x

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án A. Các phương án B, C, D sai vì lần lượt thiếu bình phương bán kính, dùng sai hệ số $π^{2}$ và đồng thời mắc cả hai lỗi.

Đáp án: A — Bán kính là

x + 1

nên diện tích mặt cắt là

π (x + 1)

.

Câu 4

Cho hàm số $y = \frac{a x + b}{c x + d} (c \neq = 0, a d - b c \neq = 0)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là

A

$x = \frac{1}{2} .$

B

$y = 1.$

C

$x = 1.$

D

$y = \frac{1}{2} .$

Lời giải

Bước 1: Nhận dạng tiệm cận đứng

Trên đồ thị, tiệm cận đứng là đường thẳng dọc có dạng $x = x_{0}$ .

x = x_{0}

Bước 2: Đọc giá trị trên đồ thị

Đường tiệm cận đứng được đánh dấu tại $x = \frac{1}{2}$ .

x = \frac{1}{2}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn A. Các phương án B và D có dạng $y = k$ nên là tiệm cận ngang; C không đúng vị trí trên đồ thị.

Đáp án: A.

x = \frac{1}{2}

— đây là đường tiệm cận đứng đọc được từ đồ thị.

Câu 5

Chọn ngẫu nhiên ba đỉnh của một hình lập phương để tạo thành một tam giác. Xác suất để ba đỉnh được chọn tạo thành một tam giác có ba góc đều nhọn là

A

$\frac{1}{7}$

B

$\frac{3}{56}$

C

$\frac{3}{8}$

D

$\frac{1}{8}$

Lời giải

Bước 1: Đếm số bộ đỉnh

Mỗi bộ $3$ đỉnh được chọn có khả năng như nhau.

C_{8}^{3} = 56

Bước 2: Xác định tam giác nhọn

Các loại cạnh tương ứng là $(1, 1, 2)$ , $(1, 2, 3)$ và $(2, 2, 2)$ .

Hai loại đầu là tam giác vuông; loại cuối là tam giác đều, nên chỉ loại cuối tạo tam giác nhọn.

1^{2} + 1^{2} = (2)^{2}, 1^{2} + (2)^{2} = (3)^{2}, (2)^{2} + (2)^{2} > (2)^{2}

Bước 3: Đếm và tính xác suất

Chia các đỉnh theo tổng tọa độ chẵn hoặc lẻ, mỗi nhóm có $4$ đỉnh; mọi bộ $3$ trong cùng nhóm tạo tam giác đều.

2 C_{4}^{3} = 8, P = \frac{8}{56} = \frac{1}{7}

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn phương án A; B, C, D sai vì lần lượt đếm thiếu, tính sai tỉ lệ và đếm thiếu một tam giác.

Đáp án: A.

\frac{1}{7}

— có

8

tam giác nhọn trong tổng số

56

bộ ba đỉnh.

Câu 6

Trong không gian $O x y z$ , cho mặt phẳng $(P) : 2 x - 3 y + 6 z - 5 = 0$ và điểm $A (2; - 3; 1)$ . Đường thẳng $(d)$ đi qua điểm $(A)$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$ có phương trình tham số là

A

$⎩ ⎨ ⎧ x = 2 + 2 t y = - 3 - 3 t z = 1 + 6 t$

B

$⎩ ⎨ ⎧ x = 2 + 2 t y = - 3 - 3 t z = 1 - 5 t$

C

$⎩ ⎨ ⎧ x = - 2 + 2 t y = 3 - 3 t z = - 1 + 6 t$

D

$⎩ ⎨ ⎧ x = 2 + 2 t y = - 3 - 3 t z = 6 + t$

Lời giải

Bước 1: Xác định véc-tơ chỉ phương

Lấy véc-tơ pháp tuyến của $(P)$ làm véc-tơ chỉ phương của $(d)$ .

v ec n = (2; - 3; 6), v ec v_{d} = v ec n = (2; - 3; 6)

Bước 2: Lập phương trình tham số

Thay điểm $A (2; - 3; 1)$ và véc-tơ chỉ phương vào công thức; $t \in R$ .

b e g in c a ses x = 2 + 2 t y = - 3 - 3 t z = 1 + 6 t e n d c a ses, t in ma t hbb R

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $A$ . $B$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt sai thành phần $z$ , sai điểm đi qua và sai hệ số của $z$ .

Đáp án: Phương án

A

— véc-tơ chỉ phương

(2; - 3; 6)

và đi qua

A (2; - 3; 1)

.

Câu 7

Số $n$ nào trong các số đây để $lo g 2; lo g 3; lo g n$ là độ dài ba cạnh của một tam giác

A

7

B

1

C

6

D

5

Lời giải

Bước 1: Lập điều kiện tam giác

Áp dụng điều kiện tổng hai cạnh lớn hơn cạnh còn lại.

⎩ ⎨ ⎧ lo g 2 + lo g 3 > lo g n lo g 2 + lo g n > lo g 3 lo g 3 + lo g n > lo g 2

Bước 2: Biến đổi theo $n$

Dùng tính chất cộng logarit và tính đồng biến của hàm logarit.

⎩ ⎨ ⎧ lo g 6 > lo g n \Rightarrow n < 6 lo g (2 n) > lo g 3 \Rightarrow n > \frac{3}{2} lo g (3 n) > lo g 2 \Rightarrow n > \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{3}{2} < n < 6

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chỉ có $n = 5$ thỏa mãn $\frac{3}{2} < n < 6$ ; các phương án $n = 7$ , $n = 1$ , $n = 6$ lần lượt vi phạm $n < 6$ , $n > \frac{3}{2}$ và $n < 6$ .

\frac{3}{2} < 5 < 6

Đáp án:

D

— chọn

n = 5

vì

\frac{3}{2} < 5 < 6

.

Câu 8

Trong không gian $O x y z$ , mặt phẳng $(P) : 2 x - 3 y + 4 z - 1 = 0$ có một vectơ pháp tuyến $n$ có tọa độ là

A

$n = (2; 3; 4)$

B

$n = (- 1; 2; - 3)$

C

$n = (- 3; 4; - 1)$

D

$n = (2; - 3; 4)$

Lời giải

Bước 1: Nhận dạng hệ số

Đối chiếu phương trình đã cho với dạng $a x + b y + cz + d = 0$ .

a = 2, b = - 3, c = 4

Bước 2: Lập vectơ pháp tuyến

Lấy ba hệ số của $x$ , $y$ , $z$ làm tọa độ vectơ pháp tuyến.

n = (a; b; c) = (2; - 3; 4)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $D$ ; các phương án $A$ , $B$ , $C$ sai vì dấu hoặc thứ tự các hệ số không khớp.

Đáp án:

D

— Vì một vectơ pháp tuyến là

n = (2; - 3; 4)

.

Câu 9

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x - 3 + \frac{9}{x + 2}$ trên đoạn $[- 1; 3]$ bằng

A

0

B

5

C

1

D

$\frac{9}{5}$

Lời giải

Bước 1: Tính đạo hàm

Trên $[- 1; 3]$ , hàm số xác định vì $x + 2 \neq = 0$ .

y^{'} = 1 - \frac{9}{( x + 2 ) ^{2}}

Bước 2: Tìm điểm cần xét

Giải $y^{'} = 0$ , chọn nghiệm thuộc đoạn $[- 1; 3]$ .

1 - \frac{9}{( x + 2 ) ^{2}} = 0 ⟺ (x + 2)^{2} = 9 ⟺ x = 1 hoặc x = - 5; x = 1 \in [- 1; 3]

Bước 3: Đối chiếu phương án

Tính tại các điểm cần xét và so sánh: $y (- 1) = 5$ , $y (1) = 1$ , $y (3) = \frac{9}{5}$ ; giá trị nhỏ nhất là $1$ .

Chọn C; A, B, D sai vì lần lượt không phải giá trị đạt được, là giá trị lớn hơn, và lớn hơn $1$ .

min {5, 1, \frac{9}{5}} = 1

Đáp án: C.

1

— đây là giá trị nhỏ nhất trong

y (- 1) = 5

,

y (1) = 1

,

y (3) = \frac{9}{5}

.

Câu 10

Hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm $f^{'} (x) = x (x - 3)$ với mọi $x \in R$ . Khẳng định nào sau đây là đúng.

A

$f (1) > f (3)$

B

$f (- 1) > f (0)$

C

$f (3) > f (5)$

D

$f (5) > f (0)$

Lời giải

Bước 1: Xét dấu đạo hàm

Các nghiệm của $f^{'} (x)$ là $x = 0, 3$ .

Suy ra hàm số đồng biến trên $(- \infty, 0)$ và $(3, + \infty)$ , nghịch biến trên $(0, 3)$ .

f^{'} (x) = x (x - 3) {> 0, < 0, x < 0 hoặc x > 3 0 < x < 3

Bước 2: So sánh trong từng khoảng

Vì $1 < 3$ và hàm số nghịch biến trên $(0, 3)$ nên $f (1) > f (3)$ .

Vì $- 1 < 0$ và hàm số đồng biến trên $(- \infty, 0)$ nên $f (- 1) < f (0)$ ; trên $(3, + \infty)$ , $f (3) < f (5)$ .

f (1) > f (3), f (- 1) < f (0), f (3) < f (5)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn A: $f (1) > f (3)$ .

B và C sai theo các so sánh trên; D không kết luận trực tiếp bằng tính đơn điệu vì $0$ và $5$ nằm ở hai khoảng biến thiên khác nhau.

Đáp án: A — Vì hàm số nghịch biến trên

(0, 3)

nên

1 < 3 \Rightarrow f (1) > f (3)

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT An Giang năm 2025

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chọn một phương án .

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Tính tổng và vị trí

Bước 2: Xác định nhóm chứa Q3​

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Nhớ các công thức

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Xác định bán kính

Bước 2: Lập công thức thể tích

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Nhận dạng tiệm cận đứng

Bước 2: Đọc giá trị trên đồ thị

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Đếm số bộ đỉnh

Bước 2: Xác định tam giác nhọn

Bước 3: Đếm và tính xác suất

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Xác định véc-tơ chỉ phương

Bước 2: Lập phương trình tham số

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Lập điều kiện tam giác

Bước 2: Biến đổi theo n

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Nhận dạng hệ số

Bước 2: Lập vectơ pháp tuyến

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Tính đạo hàm

Bước 2: Tìm điểm cần xét

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Xét dấu đạo hàm

Bước 2: So sánh trong từng khoảng

Bước 3: Đối chiếu phương án

Bước 2: Xác định nhóm chứa $Q_{3}$

Bước 2: Biến đổi theo $n$