Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán cụm chuyên môn số 3 sở GD&ĐT Đắk Lắk năm 2025 - Lần 2 môn Toán học 2025 (Thi Tốt nghiệp THPT)

Câu 1

Bạn Chi rất thích nhảy hiện đại. Thời gian tập nhảy mỗi ngày trong thời gian gần đây của bạn Chi được thống kê lại ở bảng sau. Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là

Hình minh họa

A

$23, 75$

B

$8, 125$

C

$27, 5$

D

$31, 88$

Lời giải

Bước 1: Lập tần số tích lũy

Tần số tích lũy lần lượt là $6, 12, 16, 17, 18$ .

F_{i} = 6; 6 + 6 = 12; 12 + 4 = 16; 16 + 1 = 17; 17 + 1 = 18

Bước 2: Tính các tứ phân vị

Vị trí $Q_{1}$ là $\frac{n}{4} = 4, 5$ , thuộc lớp $[20; 25)$ ; vị trí $Q_{3}$ là $\frac{3 n}{4} = 13, 5$ , thuộc lớp $[30; 35)$ .

Q_{1} = 20 + \frac{4 , 5}{6} \cdot 5 = 23, 75; Q_{3} = 30 + \frac{13 , 5 - 12}{4} \cdot 5 = 31, 875

Bước 3: Tính khoảng tứ phân vị

Lấy hiệu giữa tứ phân vị thứ ba và thứ nhất.

Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1} = 31, 875 - 23, 75 = 8, 125

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $B$ . Các phương án $A$ và $D$ lần lượt là $Q_{1}$ và $Q_{3}$ ; $C$ không phải khoảng tứ phân vị.

Đáp án: B.

8, 125

— vì khoảng tứ phân vị bằng

Q_{3} - Q_{1} = 8, 125

.

Câu 2

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định, liên tục trên R và có bảng biến thiên như sau. Điểm cực đại của hàm số là

Hình minh họa

A

$x = 2$

B

$x = 5$

C

$x = 1$

D

$y = 5$

Lời giải

Bước 1: Nhận diện cực đại

Bảng biến thiên cho biết hàm số tăng trên $(- \infty, 1)$ rồi giảm trên $(1, 2)$ .

Vì vậy, hàm số đạt cực đại tại $x = 1$ .

t \overset{a}{˘} ng \to giảm tại x = 1

Bước n: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $C$ : $x = 1$ . Các phương án $A$ , $B$ , $D$ sai vì lần lượt chỉ điểm cực tiểu $x = 2$ , giá trị không có trong bảng $x = 5$ , và tung độ $y = 5$ thay vì hoành độ.

Đáp án: C.

x = 1

— hàm số chuyển từ đồng biến sang nghịch biến tại

x = 1

.

Câu 3

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên đoạn $[a; b]$ . Gọi $D$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $(C) : y = f (x),$ trụchoành, hai đường thẳng $x = a, x = b$ (như hình vẽ dưới đây). Chọn khẳng định đúng?

Hình minh họa

A

$S_{D} = \int_{a}^{0} f (x) d x + \int_{0}^{b} f (x) d x$

B

$S_{D} = - \int_{a}^{0} f (x) d x + \int_{0}^{b} f (x) d x$

C

$S_{D} = - \int_{a}^{0} f (x) d x - \int_{0}^{b} f (x) d x$

D

$S_{D} = \int_{a}^{0} f (x) d x - \int_{0}^{b} f (x) d x$

Lời giải

Bước 1: Lập công thức diện tích

Diện tích hình phẳng được tính bằng tích phân của giá trị tuyệt đối.

S_{D} = \int_{a}^{b} ∣ f (x) ∣ d x

Bước 2: Tách theo dấu của hàm số

Trên $[a; 0]$ , hàm số âm; trên $[0; b]$ , hàm số dương.

\int_{a}^{b} ∣ f (x) ∣ d x = - \int_{a}^{0} f (x) d x + \int_{0}^{b} f (x) d x

Bước 3: Kết luận công thức

Suy ra công thức diện tích cần tìm là biểu thức vừa thu được.

S_{D} = - \int_{a}^{0} f (x) d x + \int_{0}^{b} f (x) d x

Bước 4: Đối chiếu phương án

$B$ đúng; $A$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt quên đổi dấu phần âm, đổi sai dấu phần dương và sai cả hai dấu.

Đáp án:

B

— Phần dưới trục hoành đổi dấu, phần trên trục hoành giữ nguyên dấu.

Câu 4

Tìm khẳng định sai

A

$\int [f (x) + g (x)] d x = \int f (x) d x + \int g (x) d x$

B

$\int f^{'} (x) d x = f (x) + c$

C

$\int f (x) g (x) d x = \int f (x) d x \cdot \int g (x) d x$

D

$\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{c} f (x) d x + \int_{c}^{b} f (x) d x, a < c < b .$

Lời giải

Bước 1: Nhận diện tính chất đúng

Tính chất tuyến tính, nguyên hàm của đạo hàm và phân chia khoảng lần lượt cho các khẳng định $A$ , $B$ , $D$ .

\int [f (x) + g (x)] d x = \int f (x) d x + \int g (x) d x; \int f^{'} (x) d x = f (x) + C

Bước 2: Kiểm tra khẳng định về tích

Không có công thức tổng quát biến tích phân của tích thành tích hai nguyên hàm riêng.

Chẳng hạn, với $f (x) = g (x) = 1$ , hai vế lần lượt có dạng $x + C$ và $(x + C_{1}) (x + C_{2})$ .

\int f (x) g (x) d x \neq = (\int f (x) d x) (\int g (x) d x)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $C$ vì khẳng định này sai; các phương án $A$ , $B$ , $D$ đúng lần lượt do tính tuyến tính, định nghĩa nguyên hàm và tính chất phân chia khoảng.

C

Đáp án:

C

— Tích phân của tích hai hàm không bằng tích các nguyên hàm riêng.

Câu 5

Tập nghiệm của bất phương trình $2^{x} > 6$ là

A

$(3; + \infty)$

B

$(- \infty; lo g_{2} 6)$

C

$(lo g_{2} 6; + \infty)$

D

$(- \infty; 3)$

Lời giải

Bước 1: Đưa về dạng logarit

Vì $2 > 1$ , hàm số $y = 2^{x}$ đồng biến.

2^{x} > 6 ⟺ x > lo g_{2} 6

Bước 2: Viết tập nghiệm

Các giá trị $x$ lớn hơn $lo g_{2} 6$ tạo thành tập nghiệm.

S = (lo g_{2} 6; + \infty)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Phương án $C$ đúng; $A$ sai mốc, còn $B$ và $D$ sai chiều hoặc mốc.

Đáp án: C — Tập nghiệm là

(lo g_{2} 6; + \infty)

.

Câu 6

Hàm số $y = x^{3} - 3 x + 2$ đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A

$(- 1; 1)$

B

$(- \infty; 1)$

C

$(- 1; + \infty)$

D

$(1; + \infty)$

Lời giải

Bước 1: Tính đạo hàm

Tính đạo hàm và phân tích thành nhân tử.

y^{'} = 3 x^{2} - 3 = 3 (x - 1) (x + 1)

Bước 2: Xét dấu đạo hàm

Giải điều kiện đồng biến $y^{'} > 0$ .

3 (x - 1) (x + 1) > 0 ⟺ x < - 1 hoặc x > 1

Bước 3: Đối chiếu phương án

Hàm số đồng biến trên $(- \infty; - 1)$ và $(1; + \infty)$ ; chọn phương án D. A sai vì hàm số nghịch biến trên $(- 1; 1)$ , còn B và C chứa khoảng mà $y^{'} < 0$ .

Đáp án: Phương án D,

(1; + \infty)

— vì

y^{'} > 0

trên khoảng này.

Câu 7

Cho hình chóp $S . A B C$ có đáy $A B C$ là tam giác vuông tại $B$ , cạnh bên $S A$ vuông góc với đáy. Khẳng định nào sau đây đúng?

A

$B C ⊥ (S A C)$

B

$B C ⊥ (S A B)$

C

$A B ⊥ (S B C)$

D

$A C ⊥ (S B C)$

Lời giải

Bước 1: Tìm hai đường vuông góc

Từ tam giác $A B C$ vuông tại $B$ , suy ra $A B ⊥ B C$ .

Vì $S A ⊥ (A B C)$ và $B C \subset (A B C)$ nên $S A ⊥ B C$ .

A B ⊥ B C, S A ⊥ B C

Bước 2: Suy ra mặt phẳng

Hai đường $S A$ và $A B$ cắt nhau tại $A$ , cùng thuộc $(S A B)$ và cùng vuông góc với $B C$ .

Theo định lý, $B C$ vuông góc với mặt phẳng $(S A B)$ .

B C ⊥ S A, B C ⊥ A B \Rightarrow B C ⊥ (S A B)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $B$ . Các phương án $A$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt không chứng minh được $B C ⊥ A C$ , $A B ⊥ S B$ và $A C ⊥ S B$ .

Đáp án:

B

— Vì

B C

vuông góc với hai đường cắt nhau

S A

,

A B

thuộc

(S A B)

.

Câu 8

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ , biết $u_{2} = 3$ và $u_{4} = 7$ . Giá trị của $u_{15}$ bằng

A

$27$

B

$31$

C

$35$

D

$29$

Lời giải

Bước 1: Tìm công sai

Hai số hạng $u_{2}$ và $u_{4}$ cách nhau $2$ vị trí.

u_{4} - u_{2} = 2 d \Rightarrow 7 - 3 = 2 d \Rightarrow d = 2

Bước 2: Tính số hạng cần tìm

Từ $u_{2} = u_{1} + d = 3$ , suy ra $u_{1} = 1$ .

u_{15} = u_{1} + 14 d = 1 + 14 \cdot 2 = 29

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $D$ ; các phương án $A$ , $B$ , $C$ sai vì lần lượt cho $27$ , $31$ , $35$ , không đúng với $u_{15} = 29$ .

Đáp án:

D . 29

— Vì

u_{15} = 29

.

Câu 9

Cho hình hộp chữ nhật $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A

$A C^{'} = A B + A C + A B$

B

$A C^{'} = A B^{'} + A C + A D^{'}$

C

$A C^{'} = A B + A D + A A^{'}$

D

$ A C^{'} = A B^{'} + A D^{'} + A A^{'}$

Lời giải

Bước 1: Chọn đường đi

Đi theo đường gấp khúc $A \to B \to C \to C^{'}$ .

A C^{'} = A B + B C + C C^{'}

Bước 2: Thay vectơ song song

Các cạnh đối và cạnh bên tương ứng bằng nhau, cùng hướng.

B C = A D, C C^{'} = A A^{'}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Suy ra biểu thức cần tìm là $A B + A D + A A^{'}$ . Các phương án $A$ , $B$ , $D$ sai vì dùng thừa hoặc thay sai các vectơ cạnh.

Đối chiếu, chọn phương án $C$ .

A C^{'} = A B + A D + A A^{'}

Đáp án: C — Vì

A C^{'} = A B + A D + A A^{'}

.

Câu 10

Trong không gian $O x y z$ , cho mặt phẳng $(α) : x + y + 2 z + 2 = 0$ . Mặt phẳng nào sau đây song song với $(α)$ ?

A

$x + y + 2 z - 1 = 0$

B

$x + y - 2 z - 2 = 0$

C

$x - y + 2 z - 2 = 0$

D

$x + y - 2 z + 1 = 0$

Lời giải

Bước 1: Xác định pháp tuyến

Từ $(α) : x + y + 2 z + 2 = 0$ , suy ra vectơ pháp tuyến.

n_{α} = (1, 1, 2)

Bước 2: So sánh hệ số

Mặt phẳng song song với $(α)$ phải có vectơ pháp tuyến tỉ lệ với $n_{α}$ .

n_{A} = (1, 1, 2), n_{B} = (1, 1, - 2), n_{C} = (1, - 1, 2), n_{D} = (1, 1, - 2)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn A vì $n_{A} = n_{α}$ ; B, C, D sai vì các vectơ pháp tuyến tương ứng không tỉ lệ với $(1, 1, 2)$ .

n_{A} = (1, 1, 2) ∥ n_{α} = (1, 1, 2)

Đáp án: A.

x + y + 2 z - 1 = 0

— có vectơ pháp tuyến

(1, 1, 2)

tỉ lệ với vectơ pháp tuyến của

(α)

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán cụm chuyên môn số 3 sở GD&ĐT Đắk Lắk năm 2025 - Lần 2

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chọn một phương án .

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Lập tần số tích lũy

Bước 2: Tính các tứ phân vị

Bước 3: Tính khoảng tứ phân vị

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Nhận diện cực đại

Bước n: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Lập công thức diện tích

Bước 2: Tách theo dấu của hàm số

Bước 3: Kết luận công thức

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Nhận diện tính chất đúng

Bước 2: Kiểm tra khẳng định về tích

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Đưa về dạng logarit

Bước 2: Viết tập nghiệm

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Tính đạo hàm

Bước 2: Xét dấu đạo hàm

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Tìm hai đường vuông góc

Bước 2: Suy ra mặt phẳng

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Tìm công sai

Bước 2: Tính số hạng cần tìm

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Chọn đường đi

Bước 2: Thay vectơ song song

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Xác định pháp tuyến

Bước 2: So sánh hệ số

Bước 3: Đối chiếu phương án