Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGTD ĐHBK HN năm 2025 - Mã đề 15 — Tư duy Toán học môn Toán học (Đánh giá Tư duy (TSA))

Câu 1

Tìm chữ số tận cùng của $3^{2020}$ là [1].

Đáp án đúng: 1

Lời giải

Bước 1: Lập chu kỳ

Các chữ số tận cùng lặp lại theo chu kỳ gồm $4$ giá trị.

3^{1} \equiv 3, 3^{2} \equiv 9, 3^{3} \equiv 7, 3^{4} \equiv 1 (mod 10)

Bước 2: Xét số mũ

Số mũ $2020$ chia hết cho $4$ , nên lấy giá trị thứ $4$ trong chu kỳ.

2020 \equiv 0 (mod 4) \Rightarrow 3^{2020} \equiv 3^{4} \equiv 1 (mod 10)

Đáp án:

1

— vì

2020 \equiv 0 (mod 4)

nên chữ số tận cùng theo chu kỳ là

1

.

Câu 2

Cho đồ thị hàm số $y = a ∣ x ∣$ Khi đó giá trị của $a$ là [1]

Hình minh họa

Đáp án đúng: 2

Lời giải

Bước 1: Lập phương trình

Thay điểm $(1; 2)$ vào $y = a ∣ x ∣$ .

2 = a ∣1∣

Bước 2: Tính hệ số

Vì $∣1∣ = 1$ , suy ra giá trị của $a$ .

2 = a ∣1∣ = a \Rightarrow a = 2

Đáp án:

a = 2

— thay điểm

(1; 2)

vào

y = a ∣ x ∣

được

2 = a ∣1∣

.

Câu 3

Cho hàm số $f (x) = cos x$ . Khi đó $f^{(2017)} (x)$ bằng

A

$s in x$

B

$- cos x$

C

$cos x$

D

$- s in x$

Lời giải

Bước 1: Xác định chu kỳ đạo hàm

Bốn đạo hàm liên tiếp của $cos x$ quay lại $cos x$ .

f^{'} (x) = - sin x, f^{''} (x) = - cos x, f^{'''} (x) = sin x, f^{(4)} (x) = cos x

Bước 2: Xét số dư

Chia $2017$ cho chu kỳ $4$ , được số dư $1$ nên lấy đạo hàm thứ nhất.

2017 = 4 \cdot 504 + 1, f^{(2017)} (x) = f^{'} (x) = - sin x

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $D$ : $- sin x$ ; $A$ , $B$ , $C$ sai vì lần lượt cho $sin x$ , $- cos x$ , $cos x$ .

Đáp án: Đáp án

D

— vì

2017

chia

4

dư

1

, nên

f^{(2017)} (x) = f^{'} (x) = - sin x

.

Câu 4

Cho đa giác lồi có 10 cạnh. Biết rằng không có ba đường chéo nào đồng quy, số giao điểm của các đường chéo là [1].

Đáp án đúng: 210

Lời giải

Nội dung bổ sung

Mỗi giao điểm của hai đường chéo bên trong đa giác được xác định duy nhất bởi 4 đỉnh. Chọn 4 trong 10 đỉnh có C(10,4)=210 cách. Điều kiện không có ba đường chéo đồng quy bảo đảm không bị trùng giao điểm.

Câu 5

Cho dãy số $(u_{n})$ được xác định bởi: ${u_{1} = 1 u_{n + 1} = u_{n} + \frac{1}{2 ^{n}}, (n \geq 1)$ Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?

A

Đặt $v_{n} = u_{n + 1} - u_{n}$ . Khi đó $v_{1} + v_{2} + \dots + v_{n} = 1 - \frac{1}{2 ^{n + 1}}$

B

$u_{n} = 2 - \frac{1}{2 ^{n - 1}}$

C

$lim u_{n} = 3$

Câu này chưa có lời giải.

Câu 6

A, B, C, D, E, F cùng đi xem phim. 6 bạn mua được 3 vé chẵn, 3 vé lẻ. A và F muốn được ngồi ghế chẵn, C và D muốn được ngồi ghế lẻ. B và E không có yêu cầu gì.

Các nhận định sau Đúng hay Sai?

A

Số cách để sắp xếp vị trí cho 6 bạn là 72 cách.

B

B và E có thể cùng chẵn hoặc cùng lẻ.

C

Số cách để sắp xếp vị trí cho 6 bạn là 720 cách.

Câu này chưa có lời giải.

Câu 7

Cho hai đường thẳng $d_{1}$ : $⎩ ⎨ ⎧ x = 1 - t y = t z = - t$ , $d_{2}$ : $⎩ ⎨ ⎧ x = 2 k y = - 1 + k z = k$ . Khẳng định nào sau là đúng?

A

$d_{1}$ cắt $d_{2}$ .

B

$d_{1} t r \overset{u}{ˋ} n g d_{2}$ .

C

$d_{1}, d_{2}$ chéo nhau.

D

$d_{1} // d_{2}$ .

Lời giải

Bước 1: Tìm vectơ chỉ phương

Từ phương trình tham số, chọn vectơ chỉ phương của $d_{1}$ và $d_{2}$ .

u_{1} = (- 1, 1, - 1), u_{2} = (2, 1, 1), u_{1} \neq ∥ u_{2}

Bước 2: Kiểm tra giao điểm

Nếu hai đường thẳng cắt nhau, ba tọa độ tương ứng phải bằng nhau với cùng cặp tham số $t, k$ .

Từ tọa độ $y, z$ suy ra $t = - \frac{1}{2}, k = \frac{1}{2}$ , nhưng tọa độ $x$ không thỏa mãn.

⎩ ⎨ ⎧ 1 - t = 2 k t = - 1 + k - t = k \Rightarrow t = - \frac{1}{2}, k = \frac{1}{2}; 1 - t = \frac{3}{2} \neq = 1 = 2 k

Bước 3: Đối chiếu phương án

$d_{1}$ và $d_{2}$ không cùng phương, đồng thời không có giao điểm nên chúng chéo nhau.

A, B, D sai vì lần lượt không cắt nhau, không trùng nhau và không song song.

Đáp án: C —

d_{1}

và

d_{2}

không song song, không cắt nhau nên chéo nhau.

Câu 8

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để bất phương trình $lo g_{\frac{1}{2}} (x - 1) > lo g_{\frac{1}{2}} (x^{3} + x - m)$ có nghiệm.

A

$m \leq 2$

B

$m \in R$

C

$m < 2$

D

Không tồn tại $m$

Lời giải

Bước 1: Tìm điều kiện xác định

Hai đối số logarit phải dương.

x - 1 > 0, x^{3} + x - m > 0 ⟹ x > 1

Bước 2: Đổi chiều bất phương trình

Vì $0 < \frac{1}{2} < 1$ , hàm logarit nghịch biến nên bất phương trình đổi chiều.

lo g_{\frac{1}{2}} (x - 1) > lo g_{\frac{1}{2}} (x^{3} + x - m) ⟺ x - 1 < x^{3} + x - m ⟺ m < x^{3} + 1

Bước 3: Xét sự tồn tại nghiệm

Với mọi $m \in R$ , chọn $x$ đủ lớn để đồng thời thỏa mãn các điều kiện.

\forall m \in R, \exists x > max {1, 3 m - 1} : m < x^{3} + 1, x^{3} + x - m > x - 1 > 0

Bước 4: Đối chiếu phương án

Vậy mọi $m \in R$ đều cho bất phương trình có nghiệm, nên chọn $B$ ; $A$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt loại bỏ các giá trị $m > 2$ , loại bỏ $m = 2$ và các giá trị lớn hơn, đồng thời phủ nhận sự tồn tại của nghiệm.

Đáp án:

B

— với mọi

m \in R

, luôn chọn được

x

đủ lớn để bất phương trình có nghiệm.

Câu 9

Bác B gửi tiết kiệm số tiền ban đầu là 50 triệu đồng theo kỳ hạn 3 tháng với lãi suất 0,72%/tháng. Sau một năm bác B rút cả vốn lẫn lãi và gửi theo kỳ hạn 6 tháng với lãi suất 0,78%/tháng. Sau khi gửi đúng một kỳ hạn 6 tháng do gia đình có việc bác gửi thêm 3 tháng nữa thì phải rút tiền trước hạn cả gốc lẫn lãi được số tiền là 57.694.945,55 đồng (chưa làm tròn). Biết rằng khi rút tiền trước hạn cả gốc lẫn lãi suất được tính theo lãi suất không kỳ hạn, tức tính theo hàng tháng. Trong số 3 tháng bác gửi thêm lãi suất là

A

$0, 55%$

B

$0, 3%$

C

$0, 4%$

D

$0, 5%$

Lời giải

Bước 1: Tính tiền sau một năm

Một năm có $4$ kỳ hạn $3$ tháng.

A_{1} = 50000000 (1 + 3 \cdot 0, 0072)^{4} = 54461994, 42311168

Bước 2: Tính tiền sau kỳ hạn $6$ tháng

Lãi suất cả kỳ hạn $6$ tháng là $6 \cdot 0, 0078$ .

A_{2} = A_{1} (1 + 6 \cdot 0, 0078) = 54461994, 42311168 \cdot 1, 0468 = 57010815, 76211331

Bước 3: Đối chiếu phương án

Gọi $r$ là lãi suất không kỳ hạn mỗi tháng, ta có $r \approx 0, 004 = 0, 4%$ .

Chọn $C$ . $A$ , $B$ , $D$ sai vì lần lượt cho kết quả $0, 55%$ , $0, 3%$ , $0, 5%$ , đều không phù hợp với phép tính.

r = \frac{\frac{57 694 945 , 55}{57 010 815 , 76211331} - 1}{3} \approx 0, 004 = 0, 4%

Đáp án:

C

— Lãi suất không kỳ hạn trong

3

tháng cuối là

0, 4%

/tháng.

Câu 10

Khi viết các số tự nhiên tăng dần từ 1, 2, 3,… liên tiếp nhau, ta nhận được một dãy các chữ số 1234567891011121314151617181920…
Chữ số thứ 191 là [1]
Chữ số thứ 263 là [2]
Chữ số thứ 334 là [3]

Đáp án đúng: 0; 2; 1

Lời giải

Bước 1: Tính số chữ số đầu

Các số từ $1$ đến $9$ tạo $9$ chữ số; các số từ $10$ đến $99$ tạo $180$ chữ số.

9 + 90 \cdot 2 = 189

Bước 2: Tìm vị trí trong khối ba chữ số

Cả ba vị trí đều nằm sau $189$ chữ số đầu.

191 - 189 263 - 189 334 - 189 = 2 = 74 = 145

Bước 3: Xác định chữ số

Mỗi số trong khối này có ba chữ số; dùng vị trí dư để chọn chữ số tương ứng.

274145 \to 100, chữ s \overset{ˊ}{\overset{o}{ˆ}} thứ 2 : 0 \to 124, chữ s \overset{ˊ}{\overset{o}{ˆ}} thứ 2 : 2 \to 148, chữ s \overset{ˊ}{\overset{o}{ˆ}} thứ 1 : 1

Đáp án:

0

,

2

và

1

— vì các vị trí tương ứng trong dãy là chữ số thứ hai của

100

, chữ số thứ hai của

124

và chữ số thứ nhất của

148

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGTD ĐHBK HN năm 2025 - Mã đề 15 — Tư duy Toán học

Tư duy Toán học

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Lập chu kỳ

Bước 2: Xét số mũ

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Lập phương trình

Bước 2: Tính hệ số

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Xác định chu kỳ đạo hàm

Bước 2: Xét số dư

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Nội dung bổ sung

Câu 5

Câu 6

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Tìm vectơ chỉ phương

Bước 2: Kiểm tra giao điểm

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Tìm điều kiện xác định

Bước 2: Đổi chiều bất phương trình

Bước 3: Xét sự tồn tại nghiệm

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Tính tiền sau một năm

Bước 2: Tính tiền sau kỳ hạn 6 tháng

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Tính số chữ số đầu

Bước 2: Tìm vị trí trong khối ba chữ số

Bước 3: Xác định chữ số

Bước 2: Tính tiền sau kỳ hạn $6$ tháng