Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGTD ĐHBK HN năm 2025 - Mã đề 14 — Tư duy Toán học môn Toán học (Đánh giá Tư duy (TSA))

Câu 1

Cho hàm số $f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{x ^{2} - 3 x + 2}{∣ x - 1∣} a khi x \neq = 1 khi x = 1$

A

Với $a = 1$ hàm số liên tục trái tại $x = 1$ .

B

Với $a = 1$ hàm số liên tục phải tại $x = 1$ .

C

Với $a = \pm 1$ hàm số liên tục tại $x = 1$ .

Câu này chưa có lời giải.

Câu 2

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị $y = x^{2} + 2 x$ , $y = x + 2$ .

A

$\frac{7}{2}$

B

$\frac{9}{2}$

C

$\frac{5}{2}$

D

$\frac{11}{2}$

Lời giải

Bước 1: Tìm giao điểm

Giải phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị.

x^{2} + 2 x = x + 2 ⟺ x^{2} + x - 2 = 0 ⟺ (x + 2) (x - 1) = 0 ⟺ x = - 2, x = 1

Bước 2: Lập và tính diện tích

Trên đoạn $[- 2; 1]$ , đường thẳng nằm trên parabol vì $x + 2 - (x^{2} + 2 x) = - x^{2} - x + 2 \geq 0$ .

S = \int_{- 2}^{1} [(x + 2) - (x^{2} + 2 x)] d x = \int_{- 2}^{1} (- x^{2} - x + 2) d x = [- \frac{x ^{3}}{3} - \frac{x ^{2}}{2} + 2 x]_{- 2}^{1} = \frac{9}{2}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $B$ . Các phương án $A$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt cho kết quả $\frac{7}{2}$ , $\frac{5}{2}$ , $\frac{11}{2}$ thay vì $\frac{9}{2}$ .

Đáp án: B — Diện tích hình phẳng là

\frac{9}{2}

.

Câu 3

Xét các số thực $a, b$ thỏa mãn điều kiện $lo g_{5} (5^{a} \cdot 12 5^{b}) = lo g_{25} 5$ . Kéo và thả các đáp án vào vị trí thích hợp

Nếu $b = \frac{1}{2}$ thì giá trị của số thực $a$ bằng [1].
Mỗi liên hệ giữa a và b là $2 a + 6 b =$ [2].
Nếu a là số nguyên âm thuộc [-10; -5]. Có [3] giá trị nguyên dương của b.

A

6

B

-1

C

0

D

1

Đáp án đúng: 0 — 1 — -1

Lời giải

Bước $1$ : Lập hệ thức

Đổi các lũy thừa về cơ số $5$ rồi so sánh hai vế.

a + 3 b = \frac{1}{2} ⟹ 2 a + 6 b = 1

Bước $2$ : Tìm $a$ khi biết $b$

Thay $b = \frac{1}{2}$ vào hệ thức đã lập.

a + 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} ⟹ a = - 1

Bước $3$ : Đếm giá trị nguyên dương

Từ hệ thức, suy ra $b = \frac{1 - 2 a}{6}$ . Với $a \in {- 10, - 9, - 8, - 7, - 6, - 5}$ , không giá trị nào cho $b$ là số nguyên.

b \in {\frac{21}{6}, \frac{19}{6}, \frac{17}{6}, \frac{15}{6}, \frac{13}{6}, \frac{11}{6}} ⟹ 0

Đáp án:

[1] \to B

,

[2] \to D

,

[3] \to C

vì lần lượt nhận được

a = - 1

,

2 a + 6 b = 1

và

0

.

Câu 4

Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại B, trong đó BC = 6 và AB = 8. Quay tam giác ABC xung quanh trục AB tạo thành một hình nón ( $π$ ghi trong đáp án là pi):

Diện tích đáy của hình nón được tạo ra bằng [1].
Diện tích toàn phần của hình nón được tạo ra bằng [2].

Hình minh họa

A

$6 π$

B

$60 π$

C

$96 π$

D

$64 π$

E

$36 π$

Đáp án đúng: 36\pi — 96\pi

Lời giải

Bước 1: Tính đường sinh

Đường sinh của hình nón là cạnh huyền $A C$ .

A C = A B^{2} + B C^{2} = 8^{2} + 6^{2} = 10

Bước 2: Xác định các yếu tố

Khi quay quanh $A B$ , ta có $h = 8$ , $r = 6$ , $l = 10$ .

h = A B = 8, r = B C = 6, l = A C = 10

Bước 3: Tính và đối chiếu

Diện tích đáy ứng với $E$ ; diện tích toàn phần ứng với $C$ .

S_{đ \overset{a}{ˊ} y} = π \cdot 6^{2} = 36 π, S_{tp} = 36 π + π \cdot 6 \cdot 10 = 96 π

Đáp án: Ô thứ nhất chọn

E

, ô thứ hai chọn

C

— vì

S_{đ \overset{a}{ˊ} y} = 36 π

và

S_{tp} = 96 π

.

Câu 5

Cho tam giác $A B C$ đều cạnh bằng 4. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm $A B, A C$ . Diện tích đa giác thu được khi lấy đối xứng tam giác $A B C$ qua trục $M N$ là $a b$ ( $a, b \in N$ ). Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng?

A

$a$ chia hết cho $b$ .

B

$a - 2 b = 1$ .

C

$a + 2 b$ chia hết cho $5$ .

D

$a + b$ là số nguyên tố.

Lời giải

Bước 1: Tính các độ dài cần thiết

Tam giác đều cạnh $4$ có đường cao $23$ ; vì $M N$ là đường trung bình nên $M N = 2$ .

Khoảng cách từ $M N$ đến $B C$ bằng một nửa đường cao, tức là $3$ .

h = \frac{4 3}{2} = 23, M N = \frac{B C}{2} = 2, d = \frac{h}{2} = 3

Bước 2: Tính diện tích đa giác

Hợp của tam giác ban đầu và ảnh đối xứng gồm hai hình thang bằng nhau, mỗi hình có hai đáy $2, 4$ và chiều cao $3$ .

S = 2 \cdot \frac{( 2 + 4 ) 3}{2} = 63 \Rightarrow a = 6, b = 3

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $A$ vì $6$ chia hết cho $3$ ; $B$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt $a - 2 b = 0 \neq = 1$ , $a + 2 b = 12$ không chia hết cho $5$ , và $a + b = 9$ không phải số nguyên tố.

6 ⋮ 3

Đáp án: A — Vì diện tích là

63

nên

a = 6

,

b = 3

và

a

chia hết cho

b

.

Câu 6

Cho tập $S = {1; 2; 3; ...; 200}$ . Hỏi có bao nhiêu số trong tập $S$ chia hết cho ít nhất một trong 3 số $5; 6; 8$ ?

A

$60$

B

$70$

C

$50$

D

$80$

Lời giải

Bước $1$ : Đếm các bội riêng

Số bội của $5$ , $6$ , $8$ trong $S$ lần lượt là $⌊ \frac{200}{5} ⌋$ , $⌊ \frac{200}{6} ⌋$ , $⌊ \frac{200}{8} ⌋$ .

\frac{200}{5} = 40, ⌊ \frac{200}{6} ⌋ = 33, \frac{200}{8} = 25

Bước $2$ : Áp dụng nguyên tắc bù trừ

Các giao đôi ứng với bội chung nhỏ nhất của từng cặp; giao ba ứng với $lcm (5, 6, 8) = 120$ .

40 + 33 + 25 - ⌊ \frac{200}{30} ⌋ - \frac{200}{40} - ⌊ \frac{200}{24} ⌋ + \frac{200}{120} = 40 + 33 + 25 - 6 - 5 - 8 + 1 = 80

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Chọn $D$ vì kết quả là $80$ .

$A$ , $B$ , $C$ sai vì lần lượt cho kết quả $60$ , $70$ , $50$ , không đúng với phép đếm bù trừ.

Đáp án:

D

— Có

80

số chia hết cho ít nhất một trong các số

5

,

6

,

8

.

Câu 7

Cho hai đường thẳng $d_{1} : ⎩ ⎨ ⎧ x = 1 - t y = t z = - t$ , $d_{2} : ⎩ ⎨ ⎧ x = 2 k y = - 1 + k z = k$ . Khẳng định nào sau là đúng?

A

$d_{1}$ cắt $d_{2}$

B

$d_{1} \equiv d_{2}$

C

$d_{1}, d_{2}$ chéo nhau

D

$d_{1} // d_{2}$

Lời giải

Bước $1$ : So sánh vectơ chỉ phương

Từ phương trình tham số, lấy được các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng.

u_{1} = (- 1, 1, - 1), u_{2} = (2, 1, 1)

Bước $2$ : Kiểm tra giao điểm

Cho hai biểu diễn tọa độ bằng nhau và giải theo $t, k$ .

1 - t = 2 k, t = - 1 + k, - t = k \Rightarrow t = - \frac{1}{2}, k = \frac{1}{2}; 1 - t = \frac{3}{2} \neq = 1 = 2 k

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Hai vectơ chỉ phương không cùng phương, đồng thời hai đường thẳng không có giao điểm nên $d_{1}, d_{2}$ chéo nhau.

Chọn C; A, B, D sai lần lượt vì không cắt nhau, không trùng nhau và không song song.

Đáp án: C —

d_{1}

và

d_{2}

không song song, không trùng nhau và không có giao điểm nên chéo nhau.

Câu 8

Điền số nguyên dương thích hợp vào chỗ trống:
Trong không gian $O x y z$ , cho hai đường thẳng $d$ : $⎩ ⎨ ⎧ x = 1 + t y = 3 - 2 t z = 5 - 2 t$ và $d^{'}$ : $⎩ ⎨ ⎧ x = 4 + 3 t y = 4 + 4 t z = 2$ . Gọi $φ$ là góc giữa hai đường thẳng $d$ và $d^{'}$ . Giá trị của $36 cos φ$ bằng [1].

Đáp án đúng: 12

Lời giải

Bước $1$ : Tính các đại lượng cần thiết

Từ hai vectơ chỉ phương, tính tích vô hướng và độ dài.

u \cdot v = 1 \cdot 3 + (- 2) \cdot 4 + (- 2) \cdot 0 = - 5, ∣ u ∣ = 3, ∣ v ∣ = 5

Bước $2$ : Tính giá trị cần điền

Áp dụng công thức góc giữa hai đường thẳng.

cos φ = \frac{∣ - 5∣}{3 \cdot 5} = \frac{1}{3}, 36 cos φ = 36 \cdot \frac{1}{3} = 12

Đáp án:

12

— vì

cos φ = \frac{1}{3}

nên

36 cos φ = 12

.

Câu 9

Tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn $∣ z + 2 - 3 i ∣ \leq 3$ là

A

một hình tròn.

B

một mặt phẳng.

C

một đường thẳng.

D

một đường tròn.

Lời giải

Bước 1: Đưa về dạng chuẩn

Viết $z + 2 - 3 i = z - (- 2 + 3 i)$ để nhận dạng môđun khoảng cách.

∣ z - (- 2 + 3 i) ∣ \leq 3

Bước 2: Xác định hình biểu diễn

Tập hợp có tâm biểu diễn bởi $- 2 + 3 i$ và bán kính $3$ .

Do có dấu $\leq$ , tập hợp gồm cả miền bên trong và đường biên.

I = {z \in C : ∣ z - (- 2 + 3 i) ∣ \leq 3}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn A — một hình tròn. B, C, D sai vì lần lượt là mặt phẳng, đường thẳng và chỉ đường biên.

Đáp án: A —

∣ z - (- 2 + 3 i) ∣ \leq 3

biểu diễn một hình tròn gồm cả phần bên trong và đường biên.

Câu 10

Cho tập hợp $A = {1; 2; 3; 4; 5}$ . Gọi $S$ là tập hợp tất cả các số tự nhiên có ít nhất $3$ chữ số, các chữ số đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số thuộc tập $A$ . Chọn ngẫu nhiên một số từ tập $S$ , xác suất để số được chọn có tổng các chữ số bằng $10$ được viết dưới dạng phân số tối giản $\frac{a}{b} (a, b \in N)$ . Tổng a + b [1]

Đáp án đúng: 28

Lời giải

Bước $1$ : Đếm số phần tử của $S$

Số phần tử của $S$ là tổng số cách lập số có $3$ , $4$ , hoặc $5$ chữ số.

Áp dụng quy tắc nhân cho từng độ dài.

5 \cdot 4 \cdot 3 + 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 + 5! = 300

Bước $2$ : Đếm trường hợp tổng bằng $10$

Các bộ $3$ chữ số có tổng $10$ là ${1, 4, 5}$ và ${2, 3, 5}$ ; có $2 \cdot 3!$ số.

Bộ $4$ chữ số duy nhất là ${1, 2, 3, 4}$ ; có $4!$ số.

2 \cdot 3! + 4! = 36

Bước $3$ : Tính xác suất và kết quả

Xác suất cần tìm là tỉ số giữa số trường hợp thuận lợi và tổng số trường hợp.

Suy ra tổng $a + b$ .

P = \frac{36}{300} = \frac{3}{25}, a + b = 3 + 25 = 28

Đáp án:

28

— có

36

trường hợp thuận lợi trên tổng số

300

số.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGTD ĐHBK HN năm 2025 - Mã đề 14 — Tư duy Toán học

Tư duy Toán học

Câu 1

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Tìm giao điểm

Bước 2: Lập và tính diện tích

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Lập hệ thức

Bước 2: Tìm a khi biết b

Bước 3: Đếm giá trị nguyên dương

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Tính đường sinh

Bước 2: Xác định các yếu tố

Bước 3: Tính và đối chiếu

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Tính các độ dài cần thiết

Bước 2: Tính diện tích đa giác

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Đếm các bội riêng

Bước 2: Áp dụng nguyên tắc bù trừ

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: So sánh vectơ chỉ phương

Bước 2: Kiểm tra giao điểm

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Tính các đại lượng cần thiết

Bước 2: Tính giá trị cần điền

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Đưa về dạng chuẩn

Bước 2: Xác định hình biểu diễn

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Đếm số phần tử của S

Bước 2: Đếm trường hợp tổng bằng 10

Bước 3: Tính xác suất và kết quả

Bước $1$ : Lập hệ thức

Bước $2$ : Tìm $a$ khi biết $b$

Bước $3$ : Đếm giá trị nguyên dương

Bước $1$ : Đếm các bội riêng

Bước $2$ : Áp dụng nguyên tắc bù trừ

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Bước $1$ : So sánh vectơ chỉ phương

Bước $2$ : Kiểm tra giao điểm

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Bước $1$ : Tính các đại lượng cần thiết

Bước $2$ : Tính giá trị cần điền

Bước $1$ : Đếm số phần tử của $S$

Bước $2$ : Đếm trường hợp tổng bằng $10$

Bước $3$ : Tính xác suất và kết quả