Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGTD ĐHBK HN năm 2025 - Mã đề 13 2025 (Đánh giá Tư duy (TSA))

Câu 1

Kim tự tháp Cheops (có dạng hình chóp) là kim tự tháp cao nhất ở Ai Cập. Chiều cao của kim tự tháp này là 144 m, đáy của kim tự tháp là hình vuông có cạnh dài 230 m. Các lối đi và phòng bên trong chiếm 30% thể tích của kim tự tháp. Để xây dựng kim tự tháp, người Ai Cập cổ đại đã vận chuyển các khối đá qua những lối đi vào phòng bên trong. Biết mỗi lần vận chuyển gồm 10 xe, mỗi xe chở 6 tấn đá, và khối lượng riêng của đá bằng 2,5.10³ kg/m³. Số lần vận chuyển đá để xây dựng kim tự tháp là [1].

Đáp án đúng: 74060

Lời giải

Bước 1: Tính thể tích kim tự tháp

Diện tích đáy là $S_{đ \overset{a}{ˊ} y} = 23 0^{2}$ .

V = \frac{1}{3} \cdot 23 0^{2} \cdot 144 = 2539200 m^{3}

Bước 2: Tính khối lượng đá

Thể tích đá bằng $70%$ thể tích kim tự tháp.

V_{đ \overset{a}{ˊ}} = 0, 7 V = 1777440 m^{3}; m = 2, 5 \cdot 1 0^{3} \cdot 1777440 = 4443600000 kg

Bước 3: Tính số lần vận chuyển

Mỗi lần vận chuyển được $10 \cdot 6 = 60 t \overset{ˊ}{\overset{a}{ˆ}} n = 60000 kg$ đá.

N = \frac{4 443 600 000}{60 000} = 74060

Đáp án:

74060

— vì khối lượng đá cần vận chuyển chia cho tải trọng mỗi lần.

Câu 2

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị $y = x^{2} + 2 x$ , $y = x + 2$ .

A

$\frac{7}{2}$

B

$\frac{9}{2}$

C

$\frac{5}{2}$

D

$\frac{11}{2}$

Lời giải

Bước 1: Tìm giao điểm

Cho hai hàm số bằng nhau để tìm hoành độ giao điểm.

x^{2} + 2 x = x + 2 \Leftrightarrow x^{2} + x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = - 2 hoặc x = 1

Bước 2: Lập tích phân

Tại $x = 0$ , ta có $x + 2 = 2 > x^{2} + 2 x = 0$ , nên đường thẳng nằm trên parabol trên đoạn $[- 2, 1]$ .

S = \int_{- 2}^{1} [(x + 2) - (x^{2} + 2 x)] d x = \int_{- 2}^{1} (- x^{2} - x + 2) d x

Bước 3: Tính diện tích

Tính nguyên hàm rồi thay cận.

S = [- \frac{x ^{3}}{3} - \frac{x ^{2}}{2} + 2 x]_{- 2}^{1} = \frac{7}{6} - (- \frac{10}{3}) = \frac{9}{2}

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $B$ vì $S = \frac{9}{2}$ ; các phương án $A$ , $C$ , $D$ sai do có giá trị khác kết quả tích phân.

Đáp án: Phương án

B

— diện tích tính được là

S = \frac{9}{2}

.

Câu 3

Kéo biểu thức ở các ô vuông thả vào vị trí thích hợp trong các câu sau:

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số $y = 2 cos 2 x + 5, x \in [0; \frac{π}{6}]$ lần lượt là [1] và [2].

A

2

B

6

C

7

D

8

Đáp án đúng: 7 — 6

Lời giải

Bước 1: Đổi miền góc

Đặt $t = 2 x$ ; khi đó miền của $t$ được suy ra từ miền của $x$ .

x \in [0; \frac{π}{6}] \Rightarrow t = 2 x \in [0; \frac{π}{3}]

Bước 2: Tìm miền giá trị

Trên $[0; \frac{π}{3}]$ , ta có $\frac{1}{2} \leq cos t \leq 1$ .

\frac{1}{2} \leq cos t \leq 1 \Rightarrow 6 \leq 2 cos t + 5 \leq 7

Bước 3: Đối chiếu phương án

Giá trị lớn nhất là $7$ tại $x = 0$ ; giá trị nhỏ nhất là $6$ tại $x = \frac{π}{6}$ .

y_{m a x} = 7 \Rightarrow C; y_{m i n} = 6 \Rightarrow B

Đáp án:

7

(phương án C) và

6

(phương án B) — do

6 \leq y \leq 7

.

Câu 4

Một người muốn mua một thanh gỗ đủ để cắt ra làm các thanh ngang của một cái thang. Biết rằng chiều dài các thanh ngang của cái thang đó (từ bậc dưới cùng) lần lượt là 45 cm, 43 cm, 41 cm, ..., 31 cm. Khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?

Hình minh họa

A

Cái thang đó có 8 bậc.

B

Chiều dài thanh gỗ mà người đó cần mua là 304 cm, giả sử chiều dài các mối nối (phần gỗ bị cắt thành mùn cưa) là không đáng kể.

Câu này chưa có lời giải.

Câu 5

Cho hình nón tròn xoay ngoại tiếp tứ đều cạnh a. Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

A

Bán kính đáy của hình nón bằng $\frac{a 3}{2}$

B

Diện tích xung quanh hình nón đã cho bằng $\frac{π a ^{2} 3}{3}$

C

Thể tích của khối nón đã cho bằng $\frac{a ^{3} 6}{9}$

Câu này chưa có lời giải.

Câu 6

Có bao nhiêu số lẻ có $4$ chữ số nhỏ hơn $6000$ ?

A

$2500$

B

$1000$

C

$1001$

D

$998$

Lời giải

Bước 1: Chọn chữ số hàng nghìn

Để số có $4$ chữ số và nhỏ hơn $6000$ , chữ số hàng nghìn có $5$ cách chọn: $1, 2, 3, 4, 5$ .

5

Bước 2: Chọn các chữ số còn lại

Hàng trăm và hàng chục mỗi vị trí có $10$ cách chọn; hàng đơn vị phải là số lẻ nên có $5$ cách chọn.

5 \times 10 \times 10 \times 5 = 2500

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $A$ : $2500$ ; các phương án $B$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt đếm thiếu hoặc nhầm số trường hợp.

2500

Đáp án: A.

2500

— Có

5 \times 10 \times 10 \times 5 = 2500

số thỏa mãn.

Câu 7

Cho biểu thức $A = 2^{2023} \cdot 5^{2025}$ . Tính tổng các chữ số thập phân của biểu thức $A$

A

$4028$

B

$14$

C

$1$

D

$7$

Lời giải

Bước 1: Đưa về dạng lũy thừa $10$

Tách $5^{2025} = 5^{2023} \cdot 5^{2}$ để ghép với $2^{2023}$ .

A = 2^{2023} \cdot 5^{2025} = 2^{2023} \cdot 5^{2023} \cdot 5^{2} = 1 0^{2023} \cdot 25

Bước 2: Tính tổng chữ số

Số $A$ gồm các chữ số $2$ , $5$ và $2023$ chữ số $0$ .

S = 2 + 5 + 2023 \cdot 0 = 7

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án D. Các phương án A, B, C sai do không đưa biểu thức về dạng $25 \cdot 1 0^{2023}$ hoặc tính sai tổng chữ số.

Đáp án: D — Vì tổng các chữ số của

A = 25 \cdot 1 0^{2023}

bằng

7

.

Câu 8

Cho các số tự nhiên: 0, 1, 2, 3, 4.

Lập được bao nhiêu số có 5 chữ số mà chữ số ở trên là [1].
Lập được số các số tự nhiên gồm cả năm chữ số trên và chữ số 3 đứng ở chính giữa [2].

A

18

B

12

C

24

D

96

E

120

Đáp án đúng: 96 — 18

Lời giải

Bước 1: Đếm tất cả số

Sắp xếp $5$ chữ số có $5!$ cách; loại các cách bắt đầu bằng $0$ , có $4!$ cách.

5! - 4! = 120 - 24 = 96

Bước 2: Cố định chữ số giữa

Đặt $3$ ở chính giữa, bốn chữ số còn lại có $4!$ cách sắp xếp.

Loại các cách bắt đầu bằng $0$ : cố định $0$ đầu tiên, còn $3$ chữ số có $3!$ cách.

4! - 3! = 24 - 6 = 18

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu thứ nhất chọn phương án $D$ ; câu thứ hai chọn phương án $A$ .

Đáp án: Câu

1

:

D

(

96

); câu

2

:

A

(

18

) — đã loại các cách có chữ số đầu là

0

.

Câu 9

Bất phương trình $lo g_{2} (lo g_{\frac{1}{3}} (\frac{3 x - 7}{x + 3})) \geq 0$ có tập nghiệm là $(a; b] (với a; b \in R)$ . Giá trị $P = 3 a - b$ bằng [1]

Đáp án đúng: P = 4

Lời giải

Bước 1: Khử logarit ngoài

Điều kiện xác định là $\frac{3 x - 7}{x + 3} > 0$ .

Vì cơ số ngoài lớn hơn $1$ , suy ra bất phương trình tương đương với điều kiện dưới đây.

lo g_{2} (lo g_{\frac{1}{3}} (\frac{3 x - 7}{x + 3})) \geq 0 ⟺ lo g_{\frac{1}{3}} (\frac{3 x - 7}{x + 3}) \geq 1 ⟺ 0 < \frac{3 x - 7}{x + 3} \leq \frac{1}{3}

Bước 2: Giải điều kiện

Giải đồng thời điều kiện dương và bất phương trình phân thức.

Các mốc cần xét là $x = - 3$ , $x = \frac{7}{3}$ và $x = 3$ .

\frac{3 x - 7}{x + 3} - \frac{1}{3} = \frac{8 ( x - 3 )}{3 ( x + 3 )} \leq 0, \frac{3 x - 7}{x + 3} > 0 ⟹ x \in (\frac{7}{3}; 3]

Bước 3: Tính giá trị cần tìm

Suy ra $a = \frac{7}{3}$ và $b = 3$ .

P = 3 a - b = 3 \cdot \frac{7}{3} - 3 = 4

Đáp án:

P = 4

— do tập nghiệm là

(\frac{7}{3}; 3]

.

Câu 10

Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y = 2 x^{2}$ và $y = x$ .

Đồ thị hai hàm số cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng [1].
Diện tích hình phẳng $(H)$ bằng [2].

A

$\frac{1}{2}$

B

$\frac{2}{3}$

C

$\frac{1}{24}$

Đáp án đúng: \frac{1}{24} — \frac{1}{2}

Lời giải

Bước 1: Tìm giao điểm

Giải phương trình hoành độ giao điểm.

2 x^{2} = x \Leftrightarrow x (2 x - 1) = 0 \Leftrightarrow x = 0, x = \frac{1}{2}

Bước 2: Lập tích phân

Trên đoạn $[0; \frac{1}{2}]$ , đồ thị $y = x$ nằm trên $y = 2 x^{2}$ .

S = \int_{0}^{\frac{1}{2}} (x - 2 x^{2}) d x

Bước 3: Tính diện tích

Đối chiếu kết quả với các phương án.

S = [\frac{x ^{2}}{2} - \frac{2 x ^{3}}{3}]_{0}^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{8} - \frac{1}{12} = \frac{1}{24}

Đáp án: Hoành độ:

A = \frac{1}{2}

; diện tích:

C = \frac{1}{24}

— tính từ phương trình giao điểm và tích phân hiệu hai hàm.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGTD ĐHBK HN năm 2025 - Mã đề 13

Tư duy Toán học

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Tính thể tích kim tự tháp

Bước 2: Tính khối lượng đá

Bước 3: Tính số lần vận chuyển

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Tìm giao điểm

Bước 2: Lập tích phân

Bước 3: Tính diện tích

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Đổi miền góc

Bước 2: Tìm miền giá trị

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 4

Câu 5

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Chọn chữ số hàng nghìn

Bước 2: Chọn các chữ số còn lại

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Đưa về dạng lũy thừa 10

Bước 2: Tính tổng chữ số

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Đếm tất cả số

Bước 2: Cố định chữ số giữa

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Khử logarit ngoài

Bước 2: Giải điều kiện

Bước 3: Tính giá trị cần tìm

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Tìm giao điểm

Bước 2: Lập tích phân

Bước 3: Tính diện tích

Bước 1: Đưa về dạng lũy thừa $10$