Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGTD ĐHBK HN năm 2025 - Mã đề 12 2025 (Đánh giá Tư duy (TSA))

Câu 1

Hoàng đi lấy bi đem bắn, có 4 màu: xanh, đỏ, tím, vàng. Bị phun hợp với cách chọn, yêu cầu số bi xanh và đỏ phải ít nhất 5 viên, bi tím ít nhất 3 viên và bi vàng bất kì. Tổng số bi Hoàng đem đi không quá 25 viên. Vậy Hoàng có bao nhiêu cách chọn bi? (Gợi nhớ số bi các màu của Hoàng là vô hạn)
Đáp án: [1]

Đáp án đúng: 1820

Lời giải

Bước $1$ : Đặt ẩn

Gọi số bi xanh, đỏ, tím, vàng lần lượt là $x, y, z, t$ .

Đặt $a = x - 5$ , $b = y - 5$ , $c = z - 3$ , khi đó $a, b, c, t \geq 0$ .

x + y + z + t \leq 25 ⟺ a + b + c + t \leq 12

Bước $2$ : Thêm biến phụ

Gọi $u \geq 0$ là số bi còn thiếu để tổng đạt $12$ .

Bài toán trở thành đếm nghiệm không âm của một phương trình.

a + b + c + t + u = 12

Bước $3$ : Áp dụng công thức

Có năm biến không âm và tổng bằng $12$ , nên số nghiệm là tổ hợp lặp.

Vì mỗi nghiệm tương ứng đúng một cách chọn bi, kết quả là:

C_{12 + 5 - 1}^{5 - 1} = C_{16}^{4} = 1820

Đáp án:

1820

— áp dụng công thức chia kẹo cho phương trình

a + b + c + t + u = 12

.

Câu 2

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình vuông cạnh $a$ , tam giác $S A B$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi $J$ là trung điểm $S D$ . Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

A

Thể tích khối chóp $S . A B C D$ bằng $\frac{a ^{3} 3}{6}$ .

B

Thể tích khối tứ diện $A C D J$ bằng $\frac{a ^{3} 3}{36}$ .

C

Khoảng cách từ điểm $D$ đến mặt phẳng $(A C J)$ bằng $\frac{2 a}{21}$ .

Câu này chưa có lời giải.

Câu 3

Trong không gian $O x y z$ , cho ba điểm $A (0; 0; - 1), B (- 1; 1; 0), C (1; 0; 1)$ . Biết $M$ là điểm thỏa mãn $P = 3 M A^{2} + 2 M B^{2} - M C^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P$ bằng [1]

Đáp án đúng: -\dfrac{9}{4}

Lời giải

Bước 1: Xác định trọng tâm

Dùng các trọng số $3, 2, - 1$ để tính trọng tâm $G$ .

3 A + 2 B - C = (- 3; 2; - 4), G = \frac{3 A + 2 B - C}{4} = (- \frac{3}{4}; \frac{1}{2}; - 1)

Bước 2: Tính hằng số của biểu thức

Tính tổng bình phương tọa độ có trọng số và bình phương độ dài tổng vectơ.

3 A^{2} + 2 B^{2} - C^{2} = 3 + 4 - 2 = 5, 3 A + 2 B - C^{2} = 29

Bước 3: Kết luận giá trị nhỏ nhất

Khai triển theo trọng tâm: phần $4 M - G^{2}$ nhỏ nhất bằng $0$ khi $M = G$ .

P_{m i n} = 5 - \frac{29}{4} = - \frac{9}{4}

Đáp án:

- \frac{9}{4}

— vì

P = 4 M - G^{2} + 5 - \frac{29}{4}

đạt nhỏ nhất khi

M = G

.

Câu 4

Cho khối chóp $S A B C$ có $S A$ vuông góc với đáy. Tam giác $A B C$ vuông tại $A$ có trung tuyến $A M = a$ , $S A = A C = a 2$ . Tính thể tích khối chóp đã cho.

A

$\frac{3}{2} a^{3}$

B

$\frac{2}{3} a^{3}$

C

$2 a^{2}$

D

$\frac{1}{3} a^{3}$

Lời giải

Nội dung bổ sung

Câu 5

Cho hai đường thẳng $d_{1} : {x = 3 - t y = 4 + t z = 5 - 2 t, d_{2} : ⎩ ⎨ ⎧ x = 2 - 3 t^{'} y = 5 + 3 t^{'} z = 3 - 6 t^{'}$

Khẳng định nào sau là đúng?

A

$d_{1} c \overset{ˊ}{\overset{a}{˘}} t d_{2}$

B

$d_{1} \equiv d_{2}$

C

$d_{1}, d_{2} ch \overset{e}{ˊ} o nhau$

D

$d_{1} // d_{2}$

Lời giải

Bước 1: So sánh hướng

Vectơ chỉ phương của $d_{1}$ là $u_{1} = (- 1; 1; - 2)$ ; của $d_{2}$ là $u_{2} = (- 3; 3; - 6)$ .

Ta có $u_{2} = 3 u_{1}$ , nên hai đường thẳng cùng phương.

u_{1} = (- 1; 1; - 2), u_{2} = (- 3; 3; - 6) = 3 u_{1}

Bước 2: Kiểm tra điểm chung

Lấy điểm $M (2; 5; 3) \in d_{2}$ . Kiểm tra trên $d_{1}$ : chọn $t = 1$ .

Khi đó $d_{1}$ cho $x = 2$ , $y = 5$ , $z = 3$ , nên $M \in d_{1}$ .

t = 1 \Rightarrow (x; y; z) = (3 - 1; 4 + 1; 5 - 2) = (2; 5; 3)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $B$ : $d_{1} \equiv d_{2}$ vì hai đường thẳng cùng phương và có điểm chung. $A$ sai vì không cắt tại một điểm, $C$ sai vì không chéo nhau, $D$ sai vì không phải hai đường thẳng song song phân biệt.

Đáp án: B —

d_{1}

và

d_{2}

cùng phương, đồng thời có điểm chung nên trùng nhau.

Câu 6

Cho hàm số $y = - x^{3} + 3 x^{2} - 8 x + 5$ . Giá trị lớn nhất của đạo hàm của hàm số là [1]

Đáp án đúng: -5

Lời giải

Bước 1: Tính đạo hàm

Lấy đạo hàm từng hạng tử của hàm số.

y^{'} = - 3 x^{2} + 6 x - 8

Bước 2: Tìm giá trị lớn nhất

Hoàn thành bình phương để nhận dạng tam thức đạt cực đại.

y^{'} = - 3 (x^{2} - 2 x) - 8 = - 3 (x - 1)^{2} - 5 \leq - 5

Đáp án:

- 5

— vì

y^{'} = - 3 (x - 1)^{2} - 5

đạt lớn nhất khi

x = 1

.

Câu 7

Một vật chuyển động theo quy luật $s = \frac{1}{2} t^{2} + 3 t^{2} + 20 = \frac{7}{2} t^{2} + 20$ với $t$ (giây) là khoảng thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và $s$ (mét) là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó.

Quãng đường vật đi được tính từ lúc xuất phát đến lúc vật đạt vận tốc lớn nhất bằng [1].
Quãng đường vật đi được từ lúc xuất phát đến lúc vật dừng hẳn bằng [2].

A

36

B

48

C

24

D

28

Đáp án đúng: 36 — 28

Lời giải

Nội dung bổ sung

v=-3/2 t^2+6t. Vận tốc cực đại khi v'= -3t+6=0, tức t=2, suy ra s(2)=28. Vật dừng trở lại khi v=0 với t=4, suy ra s(4)=36.

Câu 8

Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

A

Hàm số $y = \frac{t a n x + 3}{2 s i n x - 3}$ xác định với mọi $x \in R$ .

B

Các nghiệm của phương trình $2 cos x - 1 = 0$ được biểu diễn bởi 2 điểm trên đường tròn lượng giác.

Câu này chưa có lời giải.

Câu 9

Cho hàm số bậc ba $y = f (x)$ liên tục trên $R$ và có đồ thị như hình vẽ.

Kéo số ở các ô vuông thả vào vị trí thích hợp trong các câu sau :

Đồ thị hàm số $y = f (x + a)$ luôn có [1] điểm cực trị.
Đồ thị hàm số $y = f (∣ x ∣)$ có [2] điểm cực trị.
Có [3] giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $f (cos x) = m$ có 3 nghiệm phân biệt thuộc khoảng $(0; \frac{3 π}{2})$ .

Hình minh họa

A

2

B

1

C

3

D

4

Đáp án đúng: 3 — 1 — 2

Lời giải

📃 Thông tin đề bài cho

Hàm số: $y = f (x)$ bậc ba, liên tục trên $R$ .
Đồ thị: hình dạng dùng để đếm cực trị và mức ngang.
Khoảng xét: $x \in (0; \frac{3 π}{2})$ .

❓ Hiểu câu hỏi

Yêu cầu: Xác định số cực trị và số giá trị nguyên của $m$ .
Kiến thức cần dùng: Tịnh tiến đồ thị, đối xứng qua trục tung, đếm nghiệm theo đồ thị.

📖 Kiến thức trọng tâm

Tịnh tiến ngang không làm thay đổi số điểm cực trị.
Đồ thị $y = f (∣ x ∣)$ được tạo bằng cách lấy phần $x \geq 0$ rồi đối xứng qua trục tung.
Với $t = cos x$ , cần xét số nghiệm của $f (t) = m$ trên $[- 1; 1]$ .

💡 Mẹo ghi nhớ

Khi gặp $f (∣ x ∣)$ , hãy gấp phần đồ thị bên phải qua trục tung rồi đếm lại cực trị.

Bước $1$ : Xét phép tịnh tiến

Đồ thị $y = f (x + a)$ là đồ thị $y = f (x)$ tịnh tiến theo phương ngang.

Số điểm cực trị được giữ nguyên; đọc trên hình được $3$ điểm.

f^{'} (x + a) = 0 ⟺ f^{'} (u) = 0, u = x + a

Bước $2$ : Xét hàm $f (∣ x ∣)$

Lấy phần đồ thị của $f (x)$ với $x \geq 0$ rồi đối xứng qua trục tung.

Theo hình, đồ thị mới chỉ có $1$ điểm cực trị.

y = f (∣ x ∣)

Bước $3$ : Đếm giá trị nguyên của $m$

Đặt $t = cos x$ . Trên khoảng đã cho, mỗi nghiệm thích hợp của $f (t) = m$ được đếm theo số giá trị $x$ tương ứng.

Đối chiếu các đường thẳng ngang với đồ thị trên $[- 1; 1]$ , có đúng $2$ mức nguyên cho $3$ nghiệm phân biệt.

\#≤ft\m∈Z:f( x)=m có 3 nghiệm\ \=2

Đáp án:

3

;

1

;

2

— lần lượt do tịnh tiến bảo toàn cực trị, phép đối xứng tạo

1

cực trị và đồ thị cho đúng

2

mức nguyên.

Câu 10

Khảo sát 30 mẫu vải dùng để may một loại áo người ta đo được lượng cotton (tính theo %) trong từng mẫu vải

Tần số của lượng cotton trong khoảng $[36; 37)$ là [1].
Tần số của lượng cotton trong khoảng $[37; 38)$ là [2].

Hình minh họa

A

5

B

2

C

4

D

1

Đáp án đúng: 2 — 4

Lời giải

Bước 1: Xác định tần số thứ nhất

Đối chiếu khoảng $[36; 37)$ với bảng tần số, được giá trị $2$ .

f_{[36; 37)} = 2

Bước 2: Xác định tần số thứ hai

Đối chiếu khoảng $[37; 38)$ với bảng tần số, được giá trị $4$ .

f_{[37; 38)} = 4

Bước 3: Chọn phương án

Khoảng thứ nhất chọn $B$ ; khoảng thứ hai chọn $C$ .

Đáp án:

[36; 37)

: chọn

B = 2

;

[37; 38)

: chọn

C = 4

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGTD ĐHBK HN năm 2025 - Mã đề 12

Tư duy Toán học

Câu 1

Lời giải

Bước $1$ : Đặt ẩn

Bước $2$ : Thêm biến phụ

Bước $3$ : Áp dụng công thức

Câu 2

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Xác định trọng tâm

Bước 2: Tính hằng số của biểu thức

Bước 3: Kết luận giá trị nhỏ nhất

Câu 4

Lời giải

Nội dung bổ sung

Câu 5

Lời giải

Bước 1: So sánh hướng

Bước 2: Kiểm tra điểm chung

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Tính đạo hàm

Bước 2: Tìm giá trị lớn nhất

Câu 7

Lời giải

Nội dung bổ sung

Câu 8

Câu 9

Lời giải

Bước $1$ : Xét phép tịnh tiến

Bước $2$ : Xét hàm $f (∣ x ∣)$

Bước $3$ : Đếm giá trị nguyên của $m$

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Xác định tần số thứ nhất

Bước 2: Xác định tần số thứ hai

Bước 3: Chọn phương án

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGTD ĐHBK HN năm 2025 - Mã đề 12

Tư duy Toán học

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Đặt ẩn

Bước 2: Thêm biến phụ

Bước 3: Áp dụng công thức

Câu 2

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Xác định trọng tâm

Bước 2: Tính hằng số của biểu thức

Bước 3: Kết luận giá trị nhỏ nhất

Câu 4

Lời giải

Nội dung bổ sung

Câu 5

Lời giải

Bước 1: So sánh hướng

Bước 2: Kiểm tra điểm chung

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Tính đạo hàm

Bước 2: Tìm giá trị lớn nhất

Câu 7

Lời giải

Nội dung bổ sung

Câu 8

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Xét phép tịnh tiến

Bước 2: Xét hàm f(∣x∣)

Bước 3: Đếm giá trị nguyên của m

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Xác định tần số thứ nhất

Bước 2: Xác định tần số thứ hai

Bước 3: Chọn phương án

Bước $1$ : Đặt ẩn

Bước $2$ : Thêm biến phụ

Bước $3$ : Áp dụng công thức

Bước $1$ : Xét phép tịnh tiến

Bước $2$ : Xét hàm $f (∣ x ∣)$

Bước $3$ : Đếm giá trị nguyên của $m$