Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGTD ĐHBK HN năm 2025 - Mã đề 11 — Tư duy Toán học môn Toán học (Đánh giá Tư duy (TSA))

Câu 1

Cho hàm số $f (x) = - 2 sin^{2} x - 6 cos x + 6$ xác định trên $R$ .

Giá trị lớn nhất của $f (x)$ là [1].
Cho $x \in (0; 20)$ , số nghiệm của phương trình $f (x) = 0$ là [2].
Số điểm biểu diễn nghiệm của bất phương trình $f (x) \geq 12$ trên đường tròn lượng giác là [3].

A

1

B

2

C

3

D

12

Đáp án đúng: 12 — 1 — 3

Lời giải

Bước 1: Tìm giá trị lớn nhất

Đặt $t = cos x \in [- 1; 1]$ , biến đổi hàm số về dạng bậc hai.

Vì hàm số giảm trên $[- 1; 1]$ , giá trị lớn nhất tại $t = - 1$ .

f (x) = - 2 (1 - t^{2}) - 6 t + 6 = 2 t^{2} - 6 t + 4; f (- 1) = 12

Bước 2: Đếm nghiệm $f (x) = 0$

Giải phương trình theo $t = cos x$ , rồi xét các nghiệm trong $(0; 20)$ .

2 t^{2} - 6 t + 4 = 0 ⟺ t = 1 hoặc t = 2 ⟺ cos x = 1 ⟺ x = 2 k π; 0 < 2 k π < 20 ⟹ k = 1, 2, 3

Bước 3: Đếm điểm trên đường tròn

Do giá trị lớn nhất là $12$ , bất phương trình $f (x) \geq 12$ chỉ xảy ra khi đạt cực đại.

f (x) \geq 12 ⟺ f (x) = 12 ⟺ cos x = - 1 ⟺ x \equiv π (mod 2 π)

Bước 4: Đối chiếu phương án

Các kết quả lần lượt là $12$ , $3$ , $1$ , tương ứng các phương án $D$ , $C$ , $A$ .

12 \to D; 3 \to C; 1 \to A

Đáp án:

D

,

C

,

A

— lần lượt là giá trị lớn nhất, số nghiệm trong

(0; 20)

và số điểm trên đường tròn.

Câu 2

Cho khối chóp $S A B C$ có $S A$ vuông góc với đáy, $S A = 6$ . $A B, A C, B C$ lần lượt có độ dài là 5,9,10. Tính thể tích khối chóp $S A B C$

A

$3614$

B

$1214$

C

$314$

D

$266$

Lời giải

Bước $1$ : Tính diện tích đáy

Nửa chu vi đáy là $p = 12$ .

p = \frac{5 + 9 + 10}{2} = 12, S_{A B C} = 12 (12 - 5) (12 - 9) (12 - 10) = 614

Bước $2$ : Tính thể tích

Vì $S A ⊥ (A B C)$ nên chiều cao khối chóp là $h = S A = 6$ .

V = \frac{1}{3} S_{A B C} \cdot S A = \frac{1}{3} \cdot 614 \cdot 6 = 1214

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Chọn phương án $B$ ; $A$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt gấp $3$ lần, bằng $\frac{1}{4}$ và không cùng giá trị.

Đáp án:

B

— vì thể tích khối chóp bằng

1214

.

Câu 3

Mùa hè năm 2023, một công ty thời trang sản xuất ba dáng áo dáng áo phông mới, mỗi dáng áo đều được sản xuất với các màu: cam, đỏ, trắng, vàng, và xanh và với các cỡ: S, M, L, XL, XXL, XXXL. Có tất cả bao nhiêu loại áo phông khác nhau mà công ty sản xuất cho dịp hè năm 2023?

A

$90$

B

$14$

C

$72$

D

$30$

Lời giải

Bước 1: Xác định các lựa chọn

Mỗi loại áo được xác định bởi dáng áo, màu sắc và cỡ áo.

Bước 2: Áp dụng quy tắc nhân

Chọn độc lập $1$ dáng, $1$ màu và $1$ cỡ.

N = 3 \times 5 \times 6 = 90

Bước 3: Đối chiếu phương án

Phương án đúng là $A$ . $B$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt không áp dụng đúng quy tắc nhân hoặc tính sai tích.

Đáp án: A — Có

3

lựa chọn dáng,

5

lựa chọn màu và

6

lựa chọn cỡ nên số loại áo là

3 \times 5 \times 6 = 90

.

Câu 4

Cho hàm số $f (x)$ liên tục trên $R$ , có đồ thị như hình vẽ. Gọi $S$ là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $f (x)$ , trục hoành và trục tung. Khẳng định nào sau đây đúng?

Hình minh họa

A

$S = \int_{c}^{d} f (x) d x - \int_{d}^{0} f (x) d x$

B

$S = - \int_{c}^{d} f (x) d x - \int_{d}^{0} f (x) d x$

C

$S = - \int_{c}^{d} f (x) d x + \int_{d}^{0} f (x) d x$

D

$S = \int_{c}^{d} f (x) d x + \int_{d}^{0} f (x) d x$

Lời giải

Bước 1: Xác định dấu của hàm số

Trên đoạn $[c, d]$ , đồ thị nằm phía trên trục hoành; trên đoạn $[d, 0]$ , đồ thị nằm phía dưới trục hoành.

f (x) \geq 0 (x \in [c, d]), f (x) \leq 0 (x \in [d, 0])

Bước 2: Lập biểu thức diện tích

Phần trên trục hoành lấy tích phân; phần dưới trục hoành lấy đối của tích phân.

S = \int_{c}^{d} f (x) d x - \int_{d}^{0} f (x) d x

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn A. B, C, D sai vì lần lượt đổi sai dấu phần trên, đổi sai dấu cả hai phần hoặc cộng trực tiếp phần dưới trục hoành.

Đáp án: A — Vì

S = \int_{c}^{d} f (x) d x - \int_{d}^{0} f (x) d x

, phần dưới trục hoành phải đổi dấu.

Câu 5

Cho hàm số $x \to 2 lim \frac{f ( x ) - 15}{x - 2} = 3$ . Tính $x \to 2 lim \frac{f ( x ) - 15}{( x ^{2} - 4 ) [ 2 f ( x ) + 6 + 4 ]}$ = [1].

Đáp án đúng: 3/40

Lời giải

Bước $1$ : Tìm giới hạn của $f (x)$

Vì $x - 2 \to 0$ và giới hạn thương hữu hạn, suy ra $f (x) - 15 \to 0$ .

x \to 2 lim f (x) = 15

Bước $2$ : Tách nhân tử mẫu số

Dùng $x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$ để triệt tiêu nhân tử tương ứng với giới hạn đã cho.

\frac{f ( x ) - 15}{( x ^{2} - 4 ) [ 2 f ( x ) + 6 + 4 ]} = \frac{1}{x + 2} \cdot \frac{f ( x ) - 15}{x - 2} \cdot \frac{1}{2 f ( x ) + 6 + 4}

Bước $3$ : Tính giới hạn

Thay các giới hạn thành phần vào biểu thức đã tách.

x \to 2 lim \frac{f ( x ) - 15}{( x ^{2} - 4 ) [ 2 f ( x ) + 6 + 4 ]} = \frac{3}{( 2 + 2 ) ( 2 \cdot 15 + 6 + 4 )} = \frac{3}{40}

Đáp án:

\frac{3}{40}

— tách

x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)

rồi thay các giới hạn thành phần.

Câu 6

Trong không gian $O x y z$ , cho $M (3; 1; 1), N (4; 3; 4)$ và đường thẳng $d : \frac{x - 7}{1} = \frac{y - 3}{- 2} = \frac{z - 9}{1}$

A

$M N$ và $d$ là hai đường thẳng song song với nhau.

B

Điểm $I \in d$ để độ dài $I M + I N$ nhỏ nhất có tọa độ $I (\frac{17}{3}; \frac{17}{3}; \frac{23}{3})$ .

Câu này chưa có lời giải.

Câu 7

Cho hình chóp $S . A B C$ . Gọi $M, N$ lần lượt là các điểm trên các cạnh $S A, S B$ sao cho $S A = 2 S M, 2 N S = 3 N B$ . Giá trị của biểu thức $t = \frac{V _{S . M N C}}{V _{S . A B C}}$ bằng [1].

Đáp án đúng: $\frac{3}{10}$

Lời giải

Bước 1: Tính các tỉ số cạnh

Từ $S A = 2 S M$ , suy ra $\frac{S M}{S A} = \frac{1}{2}$ .

Vì $2 N S = 3 N B$ nên $N S : N B = 3 : 2$ , do đó $\frac{S N}{S B} = \frac{3}{5}$ .

\frac{S M}{S A} = \frac{1}{2}, \frac{S N}{S B} = \frac{3}{3 + 2} = \frac{3}{5}

Bước 2: Tính tỉ số thể tích

Áp dụng công thức tỉ số thể tích theo hai cạnh xuất phát từ $S$ .

t = \frac{V _{S . M N C}}{V _{S . A B C}} = \frac{S M}{S A} \cdot \frac{S N}{S B} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{10}

Đáp án:

t = \frac{3}{10}

— vì tỉ số thể tích bằng tích

\frac{S M}{S A} \cdot \frac{S N}{S B}

.

Câu 8

Cho khai triển $(1 + 2 x)^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n}$ thỏa mãn $a_{0} + 8 a_{1} = 2 a_{2} + 1$

Giá trị của $n$ bằng [1].
Hệ số của số hạng chứa $x^{3}$ là [2].

A

5

B

4

C

32

D

80

Đáp án đúng: 5 — 80

Lời giải

Bước 1: Xác định các hệ số

Áp dụng công thức nhị thức Newton.

a_{k} = C_{n}^{k} 2^{k}, a_{0} = 1, a_{1} = 2 n, a_{2} = 2 n (n - 1)

Bước 2: Tìm $n$

Thay các hệ số vào điều kiện đã cho.

1 + 8 (2 n) = 2 [2 n (n - 1)] + 1 \Rightarrow 16 n = 4 n (n - 1) \Rightarrow n = 5

Bước 3: Tính hệ số $x^{3}$

Với $n = 5$ , hệ số của $x^{3}$ là $a_{3}$ .

a_{3} = C_{5}^{3} 2^{3} = 10 \cdot 8 = 80

Bước 4: Đối chiếu đáp án

$n = 5$ ứng với A; hệ số $80$ ứng với D.

Đáp án: A và D — vì

n = 5

và hệ số của

x^{3}

bằng

80

.

Câu 9

Có [1] số có 5 chữ số đôi một khác nhau và trong đó có đúng một chữ số lẻ

Đáp án đúng: $2520$

Lời giải

Bước $1$ : Chọn các chữ số

Chọn $1$ chữ số lẻ và $4$ chữ số chẵn.

C_{5}^{1} C_{5}^{4} 5! = 3000

Bước $2$ : Loại trường hợp đầu bằng $0$

Để chữ số đầu bằng $0$ , phải chọn thêm $3$ chữ số chẵn khác $0$ và sắp xếp phần còn lại.

C_{5}^{1} C_{4}^{3} 4! = 480

Bước $3$ : Tính kết quả

Số cần tìm bằng tổng số cách trừ số cách bắt đầu bằng $0$ .

3000 - 480 = 2520

Đáp án:

2520

— chọn

1

chữ số lẻ,

4

chữ số chẵn rồi loại trường hợp bắt đầu bằng

0

.

Câu 10

Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức $f (x) = 0, 025 x^{2} (30 - x)$ , trong đó $x$ (miligam) là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân. Khi đó, liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất là

A

$30$ miligam

B

$10$ miligam

C

$15$ miligam

D

$20$ miligam

Lời giải

Bước 1: Tính đạo hàm

Xét hàm số trên đoạn $[0; 30]$ và tìm điểm tới hạn.

f^{'} (x) = 0, 025 (60 x - 3 x^{2}) = 0, 075 x (20 - x)

Bước 2: Tìm và xét điểm tới hạn

Các điểm cần xét là $x = 0$ , $x = 20$ , $x = 30$ .

f (0) = 0, f (20) = 0, 025 \cdot 2 0^{2} \cdot 10 = 100, f (30) = 0

Bước 3: Đối chiếu phương án

$D$ đúng vì $f (x)$ đạt giá trị lớn nhất tại $x = 20$ ; $A$ , $B$ , $C$ sai vì lần lượt là biên $x = 30$ , điểm chưa tối ưu $x = 10$ , và giá trị không làm cực đại $x = 15$ .

Đáp án:

D

— liều thuốc tối ưu là

x = 20

miligam, khi đó độ giảm huyết áp lớn nhất.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGTD ĐHBK HN năm 2025 - Mã đề 11 — Tư duy Toán học

Tư duy Toán học

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Tìm giá trị lớn nhất

Bước 2: Đếm nghiệm f(x)=0

Bước 3: Đếm điểm trên đường tròn

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Tính diện tích đáy

Bước 2: Tính thể tích

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Xác định các lựa chọn

Bước 2: Áp dụng quy tắc nhân

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Xác định dấu của hàm số

Bước 2: Lập biểu thức diện tích

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Tìm giới hạn của f(x)

Bước 2: Tách nhân tử mẫu số

Bước 3: Tính giới hạn

Câu 6

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Tính các tỉ số cạnh

Bước 2: Tính tỉ số thể tích

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Xác định các hệ số

Bước 2: Tìm n

Bước 3: Tính hệ số x3

Bước 4: Đối chiếu đáp án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Chọn các chữ số

Bước 2: Loại trường hợp đầu bằng 0

Bước 3: Tính kết quả

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Tính đạo hàm

Bước 2: Tìm và xét điểm tới hạn

Bước 3: Đối chiếu phương án

Bước 2: Đếm nghiệm $f (x) = 0$

Bước $1$ : Tính diện tích đáy

Bước $2$ : Tính thể tích

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Bước $1$ : Tìm giới hạn của $f (x)$

Bước $2$ : Tách nhân tử mẫu số

Bước $3$ : Tính giới hạn

Bước 2: Tìm $n$

Bước 3: Tính hệ số $x^{3}$

Bước $1$ : Chọn các chữ số

Bước $2$ : Loại trường hợp đầu bằng $0$

Bước $3$ : Tính kết quả