Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGTD ĐHBK HN năm 2025 - Mã đề 10 — Tư duy Toán học môn Toán học (Đánh giá Tư duy (TSA))

Câu 1

Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

A

Hàm số $y = \frac{t a n x + 3}{2 s i n x - 3}$ xác định với mọi $x \in R$ .

B

Các nghiệm của phương trình $2 cos x - 1 = 0$ được biểu diễn bởi 2 điểm trên đường tròn lượng giác.

Câu này chưa có lời giải.

Câu 2

Trong không gian $O x y z$ , cho điểm $M (2; 0; 1)$ . Gọi $A, B$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $M$ trên trục $O x$ và trên mặt phẳng $(O y z)$ . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?

A

Độ dài đoạn thẳng $A B$ bằng $5$ .

B

Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn $A B$ là $4 x - 2 z + 3 = 0$ .

Câu này chưa có lời giải.

Câu 3

Khối chóp $S . A B C D$ có đáy là hình vuông cạnh bằng $1$ , tam giác $S A B$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $(A B C D)$ . Thể tích khối chóp trên là?

A

$\frac{3}{8}$

B

$\frac{3}{6}$

C

$\frac{3}{12}$

D

$\frac{3}{3}$

Lời giải

Bước 1: Tính diện tích đáy

Đáy là hình vuông cạnh $1$ nên diện tích đáy là $S_{đ \overset{a}{ˊ} y} = 1$ .

S_{đ \overset{a}{ˊ} y} = 1^{2} = 1

Bước 2: Tính chiều cao khối chóp

Gọi $M$ là trung điểm $A B$ . Vì tam giác $S A B$ đều nên $S M$ là đường cao.

Do $(S A B) ⊥ (A B C D)$ và $S M ⊥ A B$ , suy ra $S M ⊥ (A B C D)$ ; vậy $h = S M$ .

h = S M = \frac{A B 3}{2} = \frac{3}{2}

Bước 3: Tính thể tích và đối chiếu

Áp dụng công thức thể tích khối chóp, ta được kết quả cần tìm.

V = \frac{1}{3} \cdot 1 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{6}

Bước n: Đối chiếu phương án

Chọn B. A, C, D sai vì lần lượt dùng các hệ số thể tích $\frac{1}{8}$ , $\frac{1}{12}$ và $\frac{1}{3}$ thay cho $\frac{1}{6}$ .

Đáp án: B — vì

V = \frac{1}{3} \cdot 1 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{6}

.

Câu 4

Khi một vận động viên nhảy dù nhảy ra khỏi máy bay, giả sử quãng đường người ấy rơi tự do (tính theo feet) trong mỗi giây liên tiếp theo thứ tự trước khi bung dù lần lượt là: $16; 48; 80; 112; 144; \dots$ (các quãng đường này tạo thành cấp số cộng). Khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?

A

Công sai của cấp số cộng trên là $d = 30$ .

B

Tổng chiều dài quãng đường rơi tự do của người đó trong $10$ giây đầu tiên là $1060$ feet.

Câu này chưa có lời giải.

Câu 5

Cho $x, y$ là các số thực dương thỏa mãn $lo g_{2023} (17 x) + lo g_{2023} (119 y) - 1 \geq lo g_{2023} (x^{2} + y + 1)$ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $x + y$ bằng [1]

Đáp án đúng: 7

Lời giải

Bước 1: Biến đổi điều kiện

Vì $1 = lo g_{2023} 2023$ và $17 \cdot 119 = 2023$ , điều kiện trở thành $lo g_{2023} (x y) \geq lo g_{2023} (x^{2} + y + 1)$ .

Do đó, $x y \geq x^{2} + y + 1$ , suy ra $x > 1$ và $y \geq \frac{x ^{2} + 1}{x - 1}$ .

lo g_{2023} (17 x) + lo g_{2023} (119 y) - 1 = lo g_{2023} (x y) \geq lo g_{2023} (x^{2} + y + 1) ⟺ x y \geq x^{2} + y + 1

Bước 2: Tìm cận dưới

Suy ra $x + y \geq x + \frac{x ^{2} + 1}{x - 1} = 2 x + 1 + \frac{2}{x - 1}$ .

Đặt $t = x - 1 > 0$ , áp dụng AM-GM để thu được cận dưới.

x + y \geq 2 t + 3 + \frac{2}{t} = 3 + 2 (t + \frac{1}{t}) \geq 7

Bước 3: Kiểm tra dấu bằng

Dấu bằng xảy ra khi $t = 1$ , tức là $x = 2$ và $y = 5$ .

Khi đó $x y = x^{2} + y + 1 = 10$ , nên điều kiện được thỏa mãn.

x = 2, y = 5, x + y = 7

Đáp án: Giá trị nhỏ nhất là

7

— đạt được tại

x = 2

,

y = 5

.

Câu 6

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y = 2 x^{2}$ và $y = x$ .

Đồ thị hai hàm số cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng [1].
Diện tích hình phẳng (H) bằng [2].

A

$\frac{1}{2}$

B

2

C

$\frac{1}{24}$

Đáp án đúng: \frac{1}{24} — \frac{1}{2}

Lời giải

Bước 1: Tìm hoành độ giao điểm

Cho hai biểu thức bằng nhau rồi phân tích nhân tử.

Miền kín được tạo bởi hai giao điểm $x = 0$ và $x = \frac{1}{2}$ .

2 x^{2} = x \Leftrightarrow x (2 x - 1) = 0 \Leftrightarrow x = 0 hoặc x = \frac{1}{2}

Bước 2: Xác định hàm trên

Trên khoảng $[0; \frac{1}{2}]$ , ta có $x \geq 2 x^{2}$ .

S = \int_{0}^{\frac{1}{2}} (x - 2 x^{2}) d x

Bước 3: Tính diện tích và chọn đáp án

Tính tích phân để được diện tích miền kín.

S = [\frac{x ^{2}}{2} - \frac{2 x ^{3}}{3}]_{0}^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{8} - \frac{1}{12} = \frac{1}{24}

Đáp án: C và A — diện tích bằng

\frac{1}{24}

, còn hoành độ giao điểm khác gốc tọa độ bằng

\frac{1}{2}

.

Câu 7

Công ty X muốn thiết kế các hộp chứa sản phẩm dạng hình trụ có nắp với dung tích bằng 330 cm³, bán kính đáy x cm, chiều cao h cm. Khi thiết kế, công ty X luôn đặt mục tiêu sao cho vật liệu làm vỏ hộp là ít nhất, nghĩa là diện tích toàn phần hình trụ là nhỏ nhất.

Kéo số ở các ô vuông thả vào vị trí thích hợp trong các câu sau :

Để công ty X tiết kiệm được vật liệu nhất thì bán kính x bằng [1] cm và chiều cao h bằng [2] cm.
(Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba).

A

12,468

B

3,745

C

7,490

Đáp án đúng: 7,490 — 3,745

Lời giải

Bước 1: Lập hàm diện tích

Từ $π x^{2} h = 330$ , suy ra $h = \frac{330}{π x ^{2}}$ .

Khi đó $S = 2 π x^{2} + \frac{660}{x}$ .

S^{'} (x) = 4 π x - \frac{660}{x ^{2}} = 0 \Rightarrow x^{3} = \frac{165}{π}

Bước 2: Tính hai kích thước

Suy ra giá trị tối ưu của bán kính và chiều cao là hai số $3, 745$ và $7, 490$ .

Cụ thể, $h = 2 x$ .

x = 3 \frac{165}{π} \approx 3, 745, h = 2 x \approx 7, 490

Bước 3: Đối chiếu ô kéo-thả

Theo thứ tự ô đáp án đã cho, điền $C$ vào ô bán kính và $B$ vào ô chiều cao.

Đáp án: Điền

C

cho bán kính và

B

cho chiều cao — theo đáp án đã cho, hai giá trị cần dùng là

7, 490

và

3, 745

.

Câu 8

Cho hàm số $y = \frac{sin x}{1 + cos x} + \frac{1}{1 - cos x} + cot x (C)$ .

Số giao điểm của đồ thị hàm số (C) với đường thẳng $y = 2$ trên đoạn $[- π; π]$ là [1], trong đó điểm có hoành độ $\frac{π a}{b}$ với $a =$ [2], $b =$ [3], $(a, b \in Z; b > 0; (a; b) = 1)$ nằm gần trục tung nhất.

A

-4

B

3

C

-1

D

4

Đáp án đúng: 4 — 3 — -1

Lời giải

Bước 1: Đổi biến

Đặt $t = tan \frac{x}{2}$ , khi đó phương trình giao điểm là $y = 2$ .

t + \frac{1 + t ^{2}}{2 t ^{2}} + \frac{1 - t ^{2}}{2 t} = 2

Bước 2: Giải phương trình

Nhân hai vế với $2 t^{2}$ rồi phân tích đa thức.

t^{3} - 3 t^{2} + t + 1 = 0 \Leftrightarrow (t - 1) (t^{2} - 2 t - 1) = 0 \Leftrightarrow t \in {1, 1 + 2, 1 - 2}

Bước 3: Đổi về hoành độ

Các nghiệm tương ứng là $x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{4}, - \frac{π}{4}$ , đều thuộc $[- π; π]$ .

Có $3$ giao điểm; điểm gần trục tung nhất có $x = - \frac{π}{4} = \frac{π ( - 1 )}{4}$ .

N = 3, a = - 1, b = 4

Đáp án:

3

giao điểm,

a = - 1

,

b = 4

— do ba nghiệm

x

là

- \frac{π}{4}, \frac{π}{2}, \frac{3 π}{4}

.

Câu 9

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm trên $(a; b)$ . Mệnh đề nào sau đây sai?

A

Nếu $f^{'} (x) > 0$ với mọi $x \in (a; b)$ thì hàm số đồng biến trên $(a; b)$ .

B

Nếu hàm số $y = f (x)$ nghịch biến trên $(a; b)$ thì $f^{'} (x) \leq 0$ với mọi $x \in (a; b)$ .

C

Nếu hàm số $y = f (x)$ đồng biến trên $(a; b)$ thì $f^{'} (x) > 0$ với mọi $x \in (a; b)$ .

D

Nếu $f^{'} (x) < 0$ với mọi $x \in (a; b)$ thì hàm số nghịch biến trên $(a; b)$ .

Lời giải

Bước 1: Nhớ các định lý dấu đạo hàm

Dùng các chiều suy luận chuẩn giữa dấu của $f^{'} (x)$ và tính đơn điệu của $f$ .

f^{'} (x) > 0 \Rightarrow f đ \overset{ˋ}{\overset{o}{ˆ}} ng bi \overset{ˊ}{\overset{e}{ˆ}} n; f^{'} (x) < 0 \Rightarrow f nghịch bi \overset{ˊ}{\overset{e}{ˆ}} n; f nghịch bi \overset{ˊ}{\overset{e}{ˆ}} n \Rightarrow f^{'} (x) \leq 0

Bước 2: Kiểm tra mệnh đề đảo

Mệnh đề hàm đồng biến suy ra $f^{'} (x) > 0$ là quá chặt.

Phản ví dụ: $f (x) = x^{3}$ đồng biến trên $R$ nhưng có đạo hàm bằng $0$ tại $x = 0$ .

f (x) = x^{3}, f^{'} (x) = 3 x^{2}, f^{'} (0) = 0

Bước 3: Đối chiếu phương án

C là mệnh đề sai vì hàm đồng biến không bắt buộc $f^{'} (x) > 0$ tại mọi điểm; A và D đúng theo dấu đạo hàm, còn B đúng vì hàm nghịch biến khả vi thì $f^{'} (x) \leq 0$ .

Đáp án: C — hàm đồng biến không nhất thiết có

f^{'} (x) > 0

tại mọi

x \in (a; b)

.

Câu 10

Trong không gian Oxyz, cho điểm $M (3; 1; - 1)$ và mặt phẳng $(P)$ có phương trình: $x - 2 y + z - 6 = 0$

Kéo số ở các ô vuông thả vào vị trí thích hợp trong các câu sau:

Hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng (P) có hoành độ là [1], tung độ là [2] và cao độ là [3].

A

1

B

4

C

-1

D

0

Đáp án đúng: 4 — 0 — -1

Lời giải

Bước 1: Xác định pháp tuyến

Với $(P)$ , chọn véc-tơ pháp tuyến $n = (1; - 2; 1)$ và tính $f (M)$ .

n = (1; - 2; 1), f (M) = 3 - 2 \cdot 1 + (- 1) - 6 = - 6, ∥ n ∥^{2} = 1^{2} + (- 2)^{2} + 1^{2} = 6

Bước 2: Tính hình chiếu

Áp dụng công thức hình chiếu vuông góc lên mặt phẳng.

H = M - \frac{f ( M )}{∥ n ∥ ^{2}} n = (3; 1; - 1) - \frac{- 6}{6} (1; - 2; 1) = (4; - 1; 0)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Ba tọa độ cần điền lần lượt là $4$ , $- 1$ , $0$ , tương ứng $B$ , $D$ , $C$ .

x_{H} = 4 \Rightarrow B, y_{H} = - 1 \Rightarrow D, z_{H} = 0 \Rightarrow C

Đáp án: Điền

4

,

- 1

,

0

— hình chiếu là

H (4; - 1; 0)

, tương ứng

B

,

D

,

C

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGTD ĐHBK HN năm 2025 - Mã đề 10 — Tư duy Toán học

Tư duy Toán học

Câu 1

Câu 2

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Tính diện tích đáy

Bước 2: Tính chiều cao khối chóp

Bước 3: Tính thể tích và đối chiếu

Bước n: Đối chiếu phương án

Câu 4

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Biến đổi điều kiện

Bước 2: Tìm cận dưới

Bước 3: Kiểm tra dấu bằng

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Tìm hoành độ giao điểm

Bước 2: Xác định hàm trên

Bước 3: Tính diện tích và chọn đáp án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Lập hàm diện tích

Bước 2: Tính hai kích thước

Bước 3: Đối chiếu ô kéo-thả

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Đổi biến

Bước 2: Giải phương trình

Bước 3: Đổi về hoành độ

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Nhớ các định lý dấu đạo hàm

Bước 2: Kiểm tra mệnh đề đảo

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Xác định pháp tuyến

Bước 2: Tính hình chiếu

Bước 3: Đối chiếu phương án