Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGTD ĐHBK HN năm 2025 - Mã đề 08 — Tư duy Toán học môn Toán học (Đánh giá Tư duy (TSA))

Câu 1

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định và có đạo hàm trên $R$ , biết $f (4) = 5$ và $f^{'} (4) = 2$ . Giới hạn $lim_{x \to 4} \frac{f ^{2} ( x ) + f ( x ) - 30}{x - 2}$ bằng bao nhiêu [1].

Đáp án đúng: 88

Lời giải

Bước 1: Phân tích tử số

Phân tích tử số thành tích chứa $f (x) - 5$ .

f^{2} (x) + f (x) - 30 = (f (x) - 5) (f (x) + 6)

Bước 2: Biến đổi giới hạn

Tách nhân tử đạo hàm và nhân liên hợp mẫu số.

x \to 4 lim \frac{( f ( x ) - 5 ) ( f ( x ) + 6 )}{x - 2} = x \to 4 lim \frac{f ( x ) - f ( 4 )}{x - 4} \cdot (f (x) + 6) \cdot (x + 2)

Bước 3: Thay dữ kiện

Áp dụng các giá trị đã cho để tính giới hạn.

f^{'} (4) \cdot (f (4) + 6) \cdot (4 + 2) = 2 \cdot 11 \cdot 4 = 88

Đáp án:

88

— dùng định nghĩa đạo hàm và nhân liên hợp mẫu số.

Câu 2

Kéo thả vào chỗ trống một cách thích hợp

Giới hạn $I = lim_{x \to + \infty} x^{6} + 5 x - 1$ bằng [1].

A

$+ \infty$

B

$- \infty$

C

$0$

Đáp án đúng: + \infty

Lời giải

Bước 1: Đặt nhân tử chung

Tách $x^{6}$ dưới dấu căn và dùng $x^{3} > 0$ khi $x \to + \infty$ .

x^{6} + 5 x - 1 = x^{3} 1 + \frac{5}{x ^{5}} - \frac{1}{x ^{6}}

Bước 2: Tính giới hạn

Biểu thức trong căn tiến tới $1$ , còn $x^{3}$ tiến tới $+ \infty$ .

1 + \frac{5}{x ^{5}} - \frac{1}{x ^{6}} \to 1, x^{3} \to + \infty \Rightarrow I = + \infty

Bước 3: Chọn phương án

Kết quả trùng với phương án $A$ .

Đáp án: A — Vì

x^{6} + 5 x - 1 = x^{3} 1 + \frac{5}{x ^{5}} - \frac{1}{x ^{6}} \to + \infty

.

Câu 3

Có mười cái ghế (mỗi ghế chỉ ngồi được một người) được xếp trên một hàng ngang. Xếp ngẫu nhiên 7 học sinh ngồi vào, mỗi học sinh ngồi đúng một ghế. Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

A

Có 120 cách xếp 7 học sinh ngồi vào 10 ghế sao cho mỗi học sinh ngồi đúng một ghế

B

Xác suất để không có hai ghế trống nào kề nhau là $\frac{7}{15}$ .

Câu này chưa có lời giải.

Câu 4

Cho khối chóp $S A B C$ có $S A$ vuông góc với đáy. Tam giác $A B C$ vuông tại $A$ có trung tuyến $A M = a$ $S A = A C = a 2$ . Tính thể tích khối chóp đã cho.

A

$\frac{3}{2} a^{3}$

B

$\frac{2}{3} a^{3}$

C

$2 a^{2}$

D

$\frac{1}{3} a^{3}$

Lời giải

Bước 1: Tìm cạnh huyền

Trong tam giác vuông tại $A$ , $B C$ là cạnh huyền; trung tuyến $A M$ bằng nửa $B C$ .

B C = 2 A M = 2 a

Bước 2: Tính diện tích đáy

Áp dụng định lý Pythagore để tìm $A B$ , rồi tính diện tích tam giác $A B C$ .

A B^{2} = B C^{2} - A C^{2} = 4 a^{2} - 2 a^{2} = 2 a^{2} \Rightarrow A B = a 2, S_{A B C} = \frac{1}{2} A B \cdot A C = a^{2}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Vì $S A ⊥ (A B C)$ nên chiều cao khối chóp là $S A = a 2$ , do đó thể tích là $V = \frac{2}{3} a^{3}$ . A, C, D sai vì lần lượt sai hệ số, thiếu bậc $a^{3}$ , và thiếu thừa số $2$ .

V = \frac{1}{3} S_{A B C} \cdot S A = \frac{1}{3} a^{2} \cdot a 2 = \frac{2}{3} a^{3}

Đáp án: B — Vì

V = \frac{1}{3} S_{A B C} \cdot S A = \frac{2}{3} a^{3}

.

Câu 5

Biết tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $∣ z - 1 + 2 i ∣ = 4$ là một đường tròn. Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

A

Đường tròn có bán kính bằng R = 2.

Câu này chưa có lời giải.

Câu 6

Cho hai đường thẳng $d_{1} : ⎩ ⎨ ⎧ x = 1 + t y = 1 - 2 t z = 3 - 3 t$ , $d_{2} : ⎩ ⎨ ⎧ x = 2 + 2 t^{'} y = - 1 - t^{'} z = 3 t^{'}$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A

$d_{1}$ cắt $d_{2}$

B

$d_{1} \equiv d_{2}$

C

$d_{1}, d_{2}$ chéo nhau

D

$d_{1} ∥ d_{2}$

Lời giải

Bước 1: Lập hệ tọa độ

Cho tọa độ hai điểm trên hai đường thẳng bằng nhau, ta được hệ phương trình theo $t, t^{'}$ .

⎩ ⎨ ⎧ 1 + t = 2 + 2 t^{'} 1 - 2 t = - 1 - t^{'} 3 - 3 t = 3 t^{'}

Bước 2: Tìm tham số và giao điểm

Từ hệ phương trình, thu được $t = 1$ , $t^{'} = 0$ .

Thay vào $d_{1}$ hoặc $d_{2}$ , giao điểm là $M (2; - 1; 0)$ .

t = 1, t^{'} = 0, M (2; - 1; 0)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn A vì hai đường thẳng có điểm chung $M$ ; B sai vì hai vectơ chỉ phương không cùng phương, C sai vì chúng không chéo nhau, D sai vì chúng không song song.

u_{1} = (1, - 2, - 3), u_{2} = (2, - 1, 3), u_{1} \neq = k u_{2} (k \in R)

Đáp án: A —

d_{1}

và

d_{2}

cùng đi qua điểm

M (2; - 1; 0)

nhưng không cùng phương.

Câu 7

Cho hàm số $f (x)$ liên tục trên $R$ và có đạo hàm $f^{'} (x) = x^{2} (x + 2) (x - 3)$ . Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

A

Hàm số $f (x)$ có 3 điểm cực trị.

B

Hàm số $f (x)$ nghịch biến trên $(- 2; 3)$ .

C

Hàm số $f (x)$ có điểm cực đại là x = -2.

Câu này chưa có lời giải.

Câu 8

Để in một quyển tạp chí, người ta cần sử dụng 1 tờ giấy bìa cứng và 25 tờ giấy in cùng với mực in. Một tập giấy in gồm 500 tờ và một tập giấy bìa cứng gồm 60 tờ, có giá gấp đôi giá của một tập giấy in. Mỗi hộp mực in được 130 tờ giấy in hoặc giấy bìa cứng. Một tập giấy in có giá 50 nghìn đồng. Hộp mực có giá 900 nghìn đồng mỗi hộp. Với ngân sách là 60 triệu đồng, có tối đa [1] tạp chí hoàn chỉnh có thể được in.

Đáp án đúng: \boxed{325}

Lời giải

Bước $1$ : Lập chi phí

Đơn vị tính là nghìn đồng. Với $n$ tạp chí, chi phí phải không vượt quá $60000$ .

C (n) = 100 ⌈ \frac{n}{60} ⌉ + 50 ⌈ \frac{25 n}{500} ⌉ + 900 ⌈ \frac{26 n}{130} ⌉ \leq 60000

Bước $2$ : Kiểm tra $325$ tạp chí

Số vật tư cần mua tương ứng là $6$ tập bìa, $17$ tập giấy in và $65$ hộp mực.

C (325) = 100 ⌈ \frac{325}{60} ⌉ + 50 ⌈ \frac{8125}{500} ⌉ + 900 ⌈ \frac{8450}{130} ⌉ = 600 + 850 + 58500 = 59950 \leq 60000

Bước $3$ : Loại khả năng lớn hơn

Với $326$ tạp chí, chi phí đã vượt ngân sách; chi phí tăng theo số tạp chí.

C (326) = 100 ⌈ \frac{326}{60} ⌉ + 50 ⌈ \frac{8150}{500} ⌉ + 900 ⌈ \frac{8476}{130} ⌉ = 600 + 850 + 59400 = 60850 > 60000

Đáp án:

325

— vì

325

tạp chí tốn

59950

nghìn đồng, còn

326

tạp chí vượt ngân sách.

Câu 9

Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = 3 sin x + 4 cos x + 1$ bằng [1]

Đáp án đúng: 2

Lời giải

Bước 1: Tính biên độ

Phần lượng giác có biên độ:

R = 3^{2} + 4^{2} = 5

Bước 2: Xác định hai giá trị

Do đó hàm số nhận giá trị trong khoảng:

- 5 \leq 3 sin x + 4 cos x \leq 5 \Rightarrow - 4 \leq y \leq 6

Bước 3: Tính tổng

Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất là:

6 + (- 4) = 2

Đáp án:

2

— biên độ là

5

, nên giá trị lớn nhất và nhỏ nhất lần lượt là

6

và

- 4

.

Câu 10

Cho hàm số $f (x)$ liên tục trên $R$ thỏa mãn $f (x) = 3 f (\frac{x}{2})$ . Gọi $F (x)$ là nguyên hàm của $f (x)$ trên $R$ thỏa mãn $F (4) = 1$ và $2 F (8) + 5 F (2) = 0$ . Mỗi khẳng định sau đúng hay sai?

A

$F (x) = \frac{3}{2} F (\frac{x}{2})$

B

$F (8) < 0$

C

$0 \int 2 f (3 x + 2) d x = 6$

Câu này chưa có lời giải.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGTD ĐHBK HN năm 2025 - Mã đề 08 — Tư duy Toán học

Tư duy Toán học

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Phân tích tử số

Bước 2: Biến đổi giới hạn

Bước 3: Thay dữ kiện

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Đặt nhân tử chung

Bước 2: Tính giới hạn

Bước 3: Chọn phương án

Câu 3

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Tìm cạnh huyền

Bước 2: Tính diện tích đáy

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 5

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Lập hệ tọa độ

Bước 2: Tìm tham số và giao điểm

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 7

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Lập chi phí

Bước 2: Kiểm tra 325 tạp chí

Bước 3: Loại khả năng lớn hơn

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Tính biên độ

Bước 2: Xác định hai giá trị

Bước 3: Tính tổng

Câu 10

Bước $1$ : Lập chi phí

Bước $2$ : Kiểm tra $325$ tạp chí

Bước $3$ : Loại khả năng lớn hơn