Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGTD ĐHBK HN năm 2025 - Mã đề 05 — Tư duy Toán học môn Toán học (Đánh giá Tư duy (TSA))

Câu 1

Cho hai số phức $z_{1}$ và $z_{2}$ thỏa mãn $∣ z_{1} ∣ = ∣ z_{2} ∣ = 1; ∣ z_{1} + z_{2} ∣ = 3$ . Khi đó $∣ z_{1} - z_{2} ∣ =$ [1].

Đáp án đúng: 1

Lời giải

Bước 1: Áp dụng đẳng thức

Dùng công thức liên hệ giữa môđun tổng và môđun hiệu.

∣ z_{1} - z_{2} ∣^{2} = 2∣ z_{1} ∣^{2} + 2∣ z_{2} ∣^{2} - ∣ z_{1} + z_{2} ∣^{2}

Bước 2: Thay dữ kiện

Thay $∣ z_{1} ∣ = ∣ z_{2} ∣ = 1$ và $∣ z_{1} + z_{2} ∣ = 3$ .

∣ z_{1} - z_{2} ∣^{2} = 2 \cdot 1^{2} + 2 \cdot 1^{2} - (3)^{2} = 1

Bước 3: Kết luận

Vì môđun không âm nên $∣ z_{1} - z_{2} ∣ = 1$ .

∣ z_{1} - z_{2} ∣ = 1 = 1

Đáp án:

1

— áp dụng đẳng thức tổng bình phương môđun tổng và hiệu.

Câu 2

Cho dãy số $u_{n}$ xác định bởi: $u_{1} = 1, u_{n + 1} = 2 u_{n} + 3 (n \geq 1)$ . Các khẳng định sau là đúng hay sai?

A

$u_{n}$ lập thành cấp số nhân.

B

Số hạng tổng quát của dãy là $2^{n + 1} - 3$ .

Câu này chưa có lời giải.

Câu 3

Cho khối chóp $S . A B C D$ có đáy là hình bình hành. Gọi $M, N$ là hai điểm nằm trên hai cạnh $S C, S D$ sao cho $\frac{S M}{S C} = \frac{1}{2}, \frac{S N}{N D} = 2$ , biết $G$ là trọng tâm tam giác $S A B$ . Tỉ số thể tích $\frac{V _{G . M N D}}{V _{S . A B C D}} = \frac{m}{n}$ , $m, n$ là các số nguyên dương và $(m, n) = 1$ . Giá trị của $m + n$ bằng [1].

Đáp án đúng: 19

Lời giải

Bước 1: Biểu diễn các điểm

Đặt $S$ làm gốc, theo hình bình hành có $S C = - S A + S B + S D$ .

S G = \frac{1}{3} S A + \frac{1}{3} S B, S M = - \frac{1}{2} S A + \frac{1}{2} S B + \frac{1}{2} S D, S N = \frac{2}{3} S D

Bước 2: Tính thể tích tứ diện

Gọi $Δ = det (S A, S B, S D)$ . Lập định thức từ các vectơ $GM, GN, G D$ .

6 V_{G . M N D} = ∣Δ∣ det - \frac{5}{6} \frac{1}{6} \frac{1}{2} - \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \frac{2}{3} - \frac{1}{3} - \frac{1}{3} 1 = \frac{∣Δ∣}{9}

Bước 3: Lập tỉ số và kết luận

Thể tích khối chóp đáy hình bình hành là $V_{S . A B C D} = \frac{∣Δ∣}{3}$ .

\frac{V _{G . M N D}}{V _{S . A B C D}} = \frac{∣Δ∣/54}{∣Δ∣/3} = \frac{1}{18} \Rightarrow m + n = 1 + 18 = 19

Đáp án: Đáp án:

19

— vì

\frac{V _{G . M N D}}{V _{S . A B C D}} = \frac{1}{18}

.

Câu 4

Biết hàm số $y = sin 4 x + cos x + tan x^{2}$ có đạo hàm cấp một là $y^{'} = a cos 4 x + b sin x + \frac{c x}{c o s ^{2} x ^{2}}$ . Khi đó, $a + b + 2 c$ bằng:

A

7

B

5

C

8

D

4

Lời giải

Bước $1$ : Tính đạo hàm từng phần

Áp dụng công thức đạo hàm lượng giác cho từng hạng tử.

y^{'} = 4 cos 4 x - sin x + \frac{2 x}{cos ^{2} ( x ^{2} )}

Bước $2$ : Xác định hệ số

So sánh với dạng đã cho, suy ra các hệ số tương ứng.

a = 4, b = - 1, c = 2

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Tính giá trị cần tìm theo các hệ số vừa xác định.

$A$ đúng; $B$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt cho kết quả $5$ , $8$ , $4$ .

a + b + 2 c = 4 + (- 1) + 2 \cdot 2 = 7

Đáp án: A — Vì

a + b + 2 c = 4 - 1 + 4 = 7

.

Câu 5

Điền số nguyên dương thích hợp vào ô trống.
Trong không gian $O x y z$ , cho mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 4 y - 2 m z + m^{2} - m = 0$ , ở đó $m$ là một tham số thực nhận giá trị dương. Biết mặt cầu (S) có diện tích bằng $100 π$ giá trị của $m$ bằng [1].

Đáp án đúng: 20

Lời giải

Bước 1: Đưa về dạng chuẩn

Hoàn thành bình phương các biến trong phương trình đã cho.

(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - m)^{2} = 5 + m

Bước 2: Tính bán kính

Suy ra bình phương bán kính là $r^{2} = 5 + m$ .

r^{2} = 5 + m

Bước 3: Dùng diện tích mặt cầu

Thay diện tích đã biết vào công thức diện tích mặt cầu.

4 π r^{2} = 100 π \Rightarrow r^{2} = 25 \Rightarrow 5 + m = 25 \Rightarrow m = 20

Đáp án:

20

— vì

4 π (5 + m) = 100 π

nên

m = 20

.

Câu 6

Có bao nhiêu số lẻ có 4 chữ số nhỏ hơn 6000?

A

$2500$

B

$1000$

C

$1001$

D

$998$

Lời giải

Bước 1: Đếm tổng số

Các số cần xét là từ $1000$ đến $5999$ .

5999 - 1000 + 1 = 5000

Bước 2: Đối chiếu phương án

Một nửa trong $5000$ số là số lẻ.

5000 \div 2 = 2500

Đáp án:

A

— Có

2500

số lẻ;

B

,

C

,

D

sai vì lần lượt đếm thiếu, cộng thừa và tính sai số lượng.

Câu 7

Khối chóp $S . A B C$ có $S A ⊥ (A B C)$ , tam giác ABC vuông tại B, $A B = a, B C = a 3, S A = 2 a 3$

Kéo biểu thức ở các ô thả vào vị trí thích hợp:

Độ dài cạnh AC bằng [1].
Góc giữa SC và mặt phẳng (ABC) bằng [2].

A

2a

B

a

C

$3 0^{\circ}$

D

$6 0^{\circ}$

Đáp án đúng: 2a — 60^{\circ}

Lời giải

Bước $1$ : Tính cạnh $A C$

Tam giác $A B C$ vuông tại $B$ , áp dụng định lý Pythagore.

A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} = a^{2} + (a 3)^{2} = 4 a^{2} \Rightarrow A C = 2 a

Bước $2$ : Tính góc giữa $S C$ và $(A B C)$

Hình chiếu vuông góc của $S C$ lên $(A B C)$ là $A C$ , nên góc cần tìm là góc giữa $S C$ và $A C$ .

tan α = \frac{S A}{A C} = \frac{2 a 3}{2 a} = 3 \Rightarrow α = 6 0^{\circ}

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

$A C = 2 a$ ứng với phương án $A$ ; góc bằng $6 0^{\circ}$ ứng với phương án $D$ .

Đáp án:

A C = 2 a

chọn

A

; góc giữa

S C

và

(A B C)

bằng

6 0^{\circ}

chọn

D

.

Câu 8

Hai thí sinh A và B tham gia một buổi thi vấn đáp. Cán bộ hỏi thi đưa cho mỗi thí sinh một bộ câu hỏi thi gồm 10 câu hỏi khác nhau, được đựng trong 10 phong bì dán kín, có hình thức giống hệt nhau, mỗi phong bì đựng 1 câu hỏi; thí sinh chọn 3 phong bì trong đó để xác định câu hỏi thi của mình. Biết rằng bộ 10 câu hỏi thi dành cho các thí sinh là như nhau, xác suất để 3 câu hỏi A chọn và 3 câu hỏi B chọn có ít nhất 1 câu hỏi giống nhau là [1].

Đáp án đúng: \boxed{\dfrac{17}{24}}

Lời giải

Bước 1: Tính xác suất không trùng

Cố định $3$ câu của A. Để không trùng, B phải chọn $3$ câu trong $7$ câu còn lại.

P (kh \overset{o}{ˆ} ng tr \overset{u}{ˋ} ng) = \frac{C _{7}^{3}}{C _{10}^{3}} = \frac{35}{120} = \frac{7}{24}

Bước 2: Dùng biến cố đối

Xác suất có ít nhất một câu hỏi giống nhau là phần bù của xác suất không trùng.

P (\overset{ı}{ˊ} t nh \overset{ˊ}{\overset{a}{ˆ}} t một c \overset{a}{ˆ} u tr \overset{u}{ˋ} ng) = 1 - \frac{7}{24} = \frac{17}{24}

Đáp án:

\frac{17}{24}

— bằng

1

trừ xác suất hai thí sinh không chọn trùng câu nào.

Câu 9

Cho dãy số $(u_{n})$ có số hạng tổng quát là $u_{n} = 4. 2^{n - 1} - 3^{n}$ . Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

A

Số hạng $u_{1}$ là số nguyên.

B

Số hạng $u_{n}$ là số âm.

Câu này chưa có lời giải.

Câu 10

Cho cặp số tự nhiên $(x, y)$ thỏa mãn $x^{2} - y^{2} = 91$ . Với mỗi cặp số $(x, y)$ thỏa mãn điều kiện trên thì $x \cdot y$ có thể bằng:

A

30

B

101

C

2071

D

1980

Lời giải

Bước 1: Chọn hai thừa số

Chọn $x - y = 7$ và $x + y = 13$ vì $7 \cdot 13 = 91$ .

(x - y) (x + y) = 91 = 7 \cdot 13

Bước 2: Tìm $x, y$

Cộng, trừ hai phương trình để xác định $x$ và $y$ .

2 x = 7 + 13 \Rightarrow x = 10, 2 y = 13 - 7 \Rightarrow y = 3

Bước 3: Tính tích

Tính tích của cặp số vừa tìm được.

x \cdot y = 10 \cdot 3 = 30

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn $30$ , tương ứng phương án A; các phương án B, C, D lần lượt không bằng tích $10 \cdot 3$ vừa tính.

Đáp án: A — chọn

x - y = 7

,

x + y = 13

nên

x = 10

,

y = 3

và

x \cdot y = 30

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGTD ĐHBK HN năm 2025 - Mã đề 05 — Tư duy Toán học

Tư duy Toán học

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Áp dụng đẳng thức

Bước 2: Thay dữ kiện

Bước 3: Kết luận

Câu 2

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Biểu diễn các điểm

Bước 2: Tính thể tích tứ diện

Bước 3: Lập tỉ số và kết luận

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Tính đạo hàm từng phần

Bước 2: Xác định hệ số

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Đưa về dạng chuẩn

Bước 2: Tính bán kính

Bước 3: Dùng diện tích mặt cầu

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Đếm tổng số

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Tính cạnh AC

Bước 2: Tính góc giữa SC và (ABC)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Tính xác suất không trùng

Bước 2: Dùng biến cố đối

Câu 9

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Chọn hai thừa số

Bước 2: Tìm x,y

Bước 3: Tính tích

Bước 4: Đối chiếu phương án

Bước $1$ : Tính đạo hàm từng phần

Bước $2$ : Xác định hệ số

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Bước $1$ : Tính cạnh $A C$

Bước $2$ : Tính góc giữa $S C$ và $(A B C)$

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Bước 2: Tìm $x, y$