Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGTD ĐHBK HN năm 2025 - Mã đề 04 2025 (Đánh giá Tư duy (TSA))

Câu 1

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(-2; 0; 0), B(0; 3; 0) và C(0; 0; 4). Mặt phẳng (ABC) có phương trình là

A

$6 x + 4 y - 3 z + 12 = 0$

B

$\frac{x}{- 2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{4} = 1$

C

$6 x - 4 y - 3 z - 12 = 0$

D

$\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{4} = 1$

Lời giải

Bước 1: Nhận dạng các đoạn chắn

Các đoạn chắn của $(A B C)$ lần lượt là $a = - 2$ , $b = 3$ , $c = 4$ .

a = - 2, b = 3, c = 4

Bước 2: Lập phương trình mặt phẳng

Thay các đoạn chắn vào công thức, ta được phương trình dạng đoạn chắn.

\frac{x}{- 2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{4} = 1

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn B. Phương án C và D sai dấu hoặc sai hoành độ chắn; riêng A thực ra tương đương với B vì nhân phương trình B với $- 12$ được $6 x - 4 y - 3 z + 12 = 0$ , nên đề đã cho bị trùng đáp án.

- 12 (\frac{x}{- 2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{4}) = - 12 ⟺ 6 x - 4 y - 3 z + 12 = 0

Đáp án: B — phương trình theo dạng đoạn chắn là

\frac{x}{- 2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{4} = 1

, dù phương án A cũng tương đương về mặt đại số.

Câu 2

Chu kỳ của hàm số $y = 3 sin (\frac{x}{2})$ là số nào sau đây?

A

$0$

B

$2 π$

C

$4 π$

D

$π$

Lời giải

Bước 1: Xác định hệ số

Đưa hàm số về dạng $y = A sin (a x + b)$ ; ở đây $a = \frac{1}{2}$ .

a = \frac{1}{2}

Bước 2: Tính chu kỳ

Áp dụng công thức chu kỳ của hàm số sin.

T = \frac{2 π}{\frac{1}{2}} = 4 π

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án C: $4 π$ ; A, B, D sai vì lần lượt là $0$ , $2 π$ , $π$ , không bằng chu kỳ tính được.

Đáp án: C — Chu kỳ là

T = 4 π

vì

T = \frac{2 π}{∣ \frac{1}{2} ∣}

.

Câu 3

Cho hàm số $f (x) = sin x + cos x$ . Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

A

Hàm số $f (x)$ tuần hoàn với chu kì $π$ .

B

Hàm số $f (x)$ là hàm số chẵn.

C

Phương trình $f (x) = 0$ có 2 điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác.

Câu này chưa có lời giải.

Câu 4

Cho hình lập phương $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có cạnh bằng $a$ . Gọi $K$ là một điểm thuộc cạnh $D D^{'}$ (K khác D và D') sao cho khoảng cách giữa hai đường thẳng $C K$ và $A^{'} D$ bằng $\frac{a}{3}$ . Tỉ số $\frac{D K}{D D ^{'}}$ bằng [1]

Đáp án đúng: \dfrac{1}{2}

Lời giải

Bước 1: Gắn tọa độ

Chọn $A (0, 0, 0)$ , $C (a, a, 0)$ , $A^{'} (0, 0, a)$ , $D (0, a, 0)$ , $D^{'} (0, a, a)$ .

Đặt $t = \frac{D K}{D D ^{'}}$ , suy ra $K (0, a, t a)$ .

0 < t < 1, t = \frac{D K}{D D ^{'}} = \frac{D K}{a}

Bước 2: Tính khoảng cách

Chọn các vectơ chỉ phương của $C K$ , $A^{'} D$ lần lượt là $u = (- 1, 0, t)$ và $v = (0, 1, - 1)$ .

Dùng điểm $C$ trên $C K$ và điểm $A^{'}$ trên $A^{'} D$ .

d (C K, A^{'} D) = a \frac{∣ ( - 1 , - 1 , 1 ) \cdot [( - 1 , 0 , t ) \times ( 0 , 1 , - 1 )] ∣}{∣ ( - 1 , 0 , t ) \times ( 0 , 1 , - 1 ) ∣} = a \frac{t}{t ^{2} + 2}

Bước 3: Tìm tỉ số

Theo giả thiết, đặt khoảng cách vừa tính bằng $\frac{a}{3}$ rồi giải $t$ .

Vì $0 < t < 1$ , chỉ nhận nghiệm dương.

a \frac{t}{t ^{2} + 2} = \frac{a}{3} \Rightarrow 9 t^{2} = t^{2} + 2 \Rightarrow t^{2} = \frac{1}{4} \Rightarrow t = \frac{1}{2}

Đáp án:

\frac{1}{2}

— vì nghiệm phù hợp

0 < t < 1

là

t = \frac{D K}{D D ^{'}} = \frac{1}{2}

.

Câu 5

Phát biểu nào sau đây là sai?

A

$lim u_{n} = c (u_{n} = c l \overset{a}{ˋ} h \overset{ˋ}{\overset{a}{˘}} ng s \overset{ˊ}{\overset{o}{ˆ}})$

B

$lim q^{n} = 0 (∣ q ∣ > 1)$

C

$lim \frac{1}{n} = 0$

D

$lim \frac{1}{n ^{k}} = 0 (k > 1)$

Lời giải

Bước 1: Nhớ các giới hạn cơ bản

Dãy hằng có giới hạn bằng chính hằng số; các dãy nghịch đảo của lũy thừa $n$ tiến về $0$ .

lim u_{n} = c, lim \frac{1}{n ^{k}} = 0 (k > 0)

Bước 2: Kiểm tra dãy lũy thừa

Điều kiện để $q^{n}$ tiến về $0$ là $∣ q ∣ < 1$ . Với $∣ q ∣ > 1$ , độ lớn $∣ q^{n} ∣$ tăng theo $n$ .

lim q^{n} = 0 ⟺ ∣ q ∣ < 1; ∣ q ∣ > 1 \Rightarrow ∣ q^{n} ∣ \to \infty

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $B$ vì phát biểu $lim q^{n} = 0$ với $∣ q ∣ > 1$ là sai; $A$ , $C$ , $D$ đúng lần lượt theo giới hạn dãy hằng và giới hạn $\frac{1}{n ^{k}}$ với $k > 0$ .

Đáp án:

B

— với

∣ q ∣ > 1

, dãy

q^{n}

không tiến về

0

.

Câu 6

Cho $a < b$ và hàm số $f (x)$ liên tục trên đoạn $[a, b]$ . Hãy xác định tính đúng, sai của mỗi phát biểu sau.

A

$\int_{a}^{b} k f (x) d x = k \int_{a}^{b} f (x) d x$ (k là hằng số)

B

$\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{b}^{a} f (x) d x$

Câu này chưa có lời giải.

Câu 7

Cho $1, x, 9, y$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Khi đó: $x =$ [1]; $y =$ [2].

Đáp án đúng: x = 5; y = 13

Lời giải

Bước 1: Tìm công sai

Gọi công sai là $d$ ; số hạng thứ ba là $9$ .

9 = 1 + 2 d \Rightarrow d = 4

Bước 2: Tính các số hạng

Dùng công thức số hạng liên tiếp của cấp số cộng.

x = 1 + d = 5; y = 9 + d = 13

Đáp án:

x = 5

,

y = 13

— vì công sai là

d = 4

.

Câu 8

Trên tập hợp các số phức, xét phương trình $4 z^{2} - 2 (2 m + 1) z + m^{2} = 0$ ( $m$ là tham số thực). Có [1] giá trị của tham số $m$ để phương trình có nghiệm $z_{1}, z_{2}$ thỏa mãn $∣ z_{1} - 3∣ = 2$ .

Đáp án đúng: 4

Lời giải

Nội dung bổ sung

Bước 1: Đặt ẩn và chọn hệ tọa độ

Đặt t = DK/DD', với 0 < t < 1. Vì cạnh hình lập phương bằng a nên DK = ta.

Chọn hệ tọa độ:

D(0,0,0), C(a,0,0), A'(0,a,a), K(0,0,ta).

Khi đó vectơ chỉ phương của CK là (-1,0,t), còn vectơ chỉ phương của A'D là (0,-1,-1).

Bước 2: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

Tích có hướng của hai vectơ chỉ phương là:

(t,-1,1).

Lấy vectơ CD = (-a,0,0).

Áp dụng công thức khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, ta được:

d(CK,A'D) = at/sqrt(t^2 + 2).

Theo giả thiết:

at/sqrt(t^2 + 2) = a/3.

Suy ra:

t/sqrt(t^2 + 2) = 1/3.

Bình phương hai vế:

9t^2 = t^2 + 2.

Suy ra:

8t^2 = 2,

t^2 = 1/4.

Vì 0 < t < 1 nên t = 1/2.

Bước 3: Kết luận

Vậy DK/DD' = 1/2.

Câu 9

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi có cạnh bằng 2a và $D A B = 12 0^{\circ}$ . Biết hình chiếu vuông góc của đỉnh S xuống mặt phẳng đáy trùng với trung điểm H của cạnh AD và tam giác SAD đều. Số đo của góc giữa đường thẳng SH và mặt phẳng (SBD) là [1] $^{\circ}$ (Làm tròn đến hàng đơn vị)

Đáp án đúng: 16

Lời giải

Bước 1: Chọn hệ tọa độ

Đặt $H$ làm gốc tọa độ, $A D$ trên trục $O x$ .

Vì $S A D$ đều nên $S H = 3 a$ .

H = (0, 0, 0), A = (- a, 0, 0), D = (a, 0, 0), B = (- 2 a, 3 a, 0), S = (0, 0, 3 a)

Bước 2: Tìm pháp tuyến mặt phẳng

Hai vectơ nằm trong $(S B D)$ là $S B$ và $S D$ .

Chọn một vectơ pháp tuyến bằng tích có hướng của chúng.

S B = a (- 2, 3, - 3), S D = a (1, 0, - 3), n = (3, 3, 1)

Bước 3: Tính góc

Vectơ chỉ phương của $S H$ có thể chọn là $u = (0, 0, 1)$ .

Áp dụng công thức góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

sin θ = \frac{∣ u \cdot n ∣}{∥ u ∥∥ n ∥} = \frac{1}{13}, θ = arcsin \frac{1}{13} \approx 16, 1^{\circ} \Rightarrow 1 6^{\circ}

Đáp án:

1 6^{\circ}

— vì

θ = arcsin \frac{1}{13} \approx 16, 1^{\circ}

nên làm tròn được

1 6^{\circ}

.

Câu 10

Cho số phức $z$ . Gọi $A, B$ lần lượt là các điểm trong mặt phẳng $(O x y)$ biểu diễn các số phức $z$ và $(1 + i) z$ . Tính $∣ z ∣$ biết diện tích tam giác $O A B$ bằng $8$ .

A

$∣ z ∣ = 4.$

B

$∣ z ∣ = 42 .$

C

$∣ z ∣ = 2.$

D

$∣ z ∣ = 22 .$

Lời giải

Bước 1: Xác định độ dài và góc

Hai vectơ $O A$ và $O B$ tạo góc $\frac{π}{4}$ .

Độ dài $O B$ là $2 ∣ z ∣$ .

∣ (1 + i) z ∣ = ∣1 + i ∣∣ z ∣ = 2 ∣ z ∣

Bước 2: Lập phương trình diện tích

Thay vào công thức diện tích rồi giải $∣ z ∣$ .

S_{O A B} = \frac{1}{2} ∣ z ∣ ∣ (1 + i) z ∣ sin \frac{π}{4} = \frac{1}{2} ∣ z ∣ (2 ∣ z ∣) \frac{2}{2} = \frac{∣ z ∣ ^{2}}{2} = 8 ⟹ ∣ z ∣ = 4

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $A$ . Các phương án $B$ , $C$ , $D$ sai vì các giá trị tương ứng đều không thỏa mãn $\frac{∣ z ∣ ^{2}}{2} = 8$ .

Đáp án:

A

— vì

\frac{∣ z ∣ ^{2}}{2} = 8

nên

∣ z ∣ = 4

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGTD ĐHBK HN năm 2025 - Mã đề 04

Tư duy Toán học

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Nhận dạng các đoạn chắn

Bước 2: Lập phương trình mặt phẳng

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Xác định hệ số

Bước 2: Tính chu kỳ

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 3

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Gắn tọa độ

Bước 2: Tính khoảng cách

Bước 3: Tìm tỉ số

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Nhớ các giới hạn cơ bản

Bước 2: Kiểm tra dãy lũy thừa

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 6

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Tìm công sai

Bước 2: Tính các số hạng

Câu 8

Lời giải

Nội dung bổ sung

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Chọn hệ tọa độ

Bước 2: Tìm pháp tuyến mặt phẳng

Bước 3: Tính góc

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Xác định độ dài và góc

Bước 2: Lập phương trình diện tích

Bước 3: Đối chiếu phương án