Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGTD ĐHBK HN năm 2025 - Mã đề 03 — Tư duy Toán học môn Toán học (Đánh giá Tư duy (TSA))

Câu 1

Cho hàm số $f (x) = x (x - 1) (x - 2) ..... (x - 1000)$ . Tính $f^{'} (0) =$ [1]

Đáp án đúng: \boxed{1000!}

Lời giải

Bước 1: Tách nhân tử chứa nghiệm $0$

Viết $f (x) = x \prod_{k = 1}^{1000} (x - k)$ .

Suy ra $f^{'} (0)$ bằng tích các nhân tử còn lại tại $x = 0$ .

f^{'} (0) = k = 1 \prod 1000 (0 - k)

Bước 2: Tính tích

Có $1000$ thừa số âm nên dấu tích dương.

k = 1 \prod 1000 (0 - k) = (- 1)^{1000} k = 1 \prod 1000 k = 1000!

Đáp án:

1000!

— vì

f^{'} (0) = \prod_{k = 1}^{1000} (0 - k) = 1000!

.

Câu 2

Minh và Thành đang chơi một trò chơi. Trong trò chơi, mỗi người chơi bắt đầu với 0 điểm và sau khi kết thúc trò chơi, người có nhiều điểm nhất sẽ giành chiến thắng. Biết Minh có ba lần được 5 điểm, bị trừ mất 12 điểm và do đó được cộng 3 điểm. Thành có hai lần bị trừ mất 3 điểm, một lần bị trừ mất 1 điểm, một lần được cộng 6 điểm và sau đó được cộng 7 điểm. Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

A

Sau khi kết thúc trò chơi, Minh được 6 điểm.

B

Sau khi kết thúc trò chơi, Thành được 18 điểm.

C

Thành là người chiến thắng.

Câu này chưa có lời giải.

Câu 3

Một vật di chuyển với gia tốc $a (t) = - 20 (1 + 2 t)^{- 2}$ $(m / s^{2})$ . Khi $t = 0$ thì vận tốc của vật là $30 m / s$ . Tính quãng đường vật đó di chuyển sau $2$ giây (làm tròn kết quả đến chữ số hàng đơn vị).

A

$S = 46 m$

B

$S = 47 m$

C

$S = 48 m$

D

$S = 49 m$

Lời giải

Bước $1$ : Tìm vận tốc

Lấy nguyên hàm $a (t)$ rồi dùng $v (0) = 30 m/s$ để tìm hằng số.

v (t) = \int - 20 (1 + 2 t)^{- 2} d t = \frac{10}{1 + 2 t} + C; v (0) = 30 \Rightarrow C = 20 \Rightarrow v (t) = 20 + \frac{10}{1 + 2 t}

Bước $2$ : Tính quãng đường

Vì $v (t) > 0$ trên đoạn $[0; 2]$ , quãng đường bằng tích phân của vận tốc.

S = \int_{0}^{2} (20 + \frac{10}{1 + 2 t}) d t = 40 + 5 ln 5 \approx 48, 047 m

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Làm tròn đến hàng đơn vị được $S \approx 48 m$ .

Chọn C; A, B, D sai vì lần lượt cho $46 m$ , $47 m$ và $49 m$ .

S \approx 48 m \Rightarrow C

Đáp án: C — Tích phân vận tốc cho

S = 40 + 5 ln 5 \approx 48, 047 m

, làm tròn được

48 m

.

Câu 4

Một lon nước hình trụ có dung tích là 340 ml, cao 10 cm. Biết rằng thể tích vỏ lon không đáng kể và kết quả làm tròn tới chữ số thập phân thứ nhất. Đường kính đáy là lon nước là [1] (cm).
Diện tích toàn phần của lon nước là [2] (cm²).

Đáp án đúng: 6,6; 274,7

Lời giải

Bước 1: Tính đường kính

Từ $V = π r^{2} h$ , suy ra đường kính $d = 2 r$ .

d = 2 \frac{V}{π h} = 2 \frac{340}{10 π} \approx 6, 6 cm

Bước 2: Tính diện tích toàn phần

Dùng bán kính chưa làm tròn để tính diện tích hai đáy và diện tích xung quanh.

S = 2 π r^{2} + 2 π r h = \frac{2 V}{h} + 2 π \frac{V}{π h} h \approx 274, 7 cm^{2}

Đáp án:

6, 6

;

274, 7

— áp dụng đúng công thức đường kính và diện tích toàn phần hình trụ.

Câu 5

Giả sử hàm số $f (x)$ liên tục trên $[a; b]$ . Biết $F (x), G (x)$ là hai nguyên hàm của hàm số $f (x)$ . Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

A

$F (x) = G (x) + C$ với $C$ là hằng số

B

$\int_{a}^{b} f (x) d x = F (a) - F (b)$

Câu này chưa có lời giải.

Câu 6

Cho hàm số $y = a x^{4} + b x^{2} + c$ có đồ thị như hình vẽ bên. Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

Hình minh họa

A

$a > 0$ .

B

$b > 0$ .

C

$c < 0$ .

Câu này chưa có lời giải.

Câu 7

Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ , cho mặt phẳng $(P)$ có phương trình là $\frac{x}{1} - \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1$ . Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ .

A

$n = (6; 3; 2)$

B

$n = (1; - 2; 3)$

C

$n = (1; 2; 3)$

D

$n = (6; - 3; 2)$

Lời giải

Bước 1: Khử mẫu phương trình

Nhân hai vế với $6$ để đưa phương trình về dạng tổng quát.

6 (\frac{x}{1} - \frac{y}{2} + \frac{z}{3}) = 6 \Leftrightarrow 6 x - 3 y + 2 z = 6

Bước 2: Xác định vectơ pháp tuyến

Ba hệ số của $x, y, z$ lần lượt là $6, - 3, 2$ .

n = (6; - 3; 2)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $D$ . Các phương án $A, B, C$ sai vì lần lượt sai dấu hệ số $y$ , không cùng tỉ lệ với vectơ chuẩn, và sai dấu hệ số $y$ .

n = (6; - 3; 2)

Đáp án:

D

— vì một vectơ pháp tuyến của

(P)

là

n = (6; - 3; 2)

.

Câu 8

Cho khai triển $(1 - 2 x)^{20} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{20} x^{20}$ . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A

Giá trị của $a_{0} - a_{1} + a_{2}$ bằng $801$ .

B

Tổng $a_{0} + a_{1} + a_{2} + \dots + a_{20}$ bằng $- 1$ .

Câu này chưa có lời giải.

Câu 9

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm trên $(a; b)$ . Mệnh đề nào sau đây sai?

A

Nếu $f^{'} (x) > 0$ với mọi $x \in (a; b)$ thì hàm số đồng biến trên $(a; b)$ .

B

Nếu hàm số $y = f (x)$ nghịch biến trên $(a; b)$ thì $f^{'} (x) \leq 0$ với mọi $x \in (a; b)$ .

C

Nếu hàm số $y = f (x)$ đồng biến trên $(a; b)$ thì $f^{'} (x) > 0$ với mọi $x \in (a; b)$ .

D

Nếu $f^{'} (x) < 0$ với mọi $x \in (a; b)$ thì hàm số nghịch biến trên $(a; b)$ .

Lời giải

Bước 1: Nhớ các định lý dấu đạo hàm

Dùng các chiều suy luận chuẩn giữa dấu của $f^{'} (x)$ và tính đơn điệu của $f$ .

f^{'} (x) > 0 \Rightarrow f đ \overset{ˋ}{\overset{o}{ˆ}} ng bi \overset{ˊ}{\overset{e}{ˆ}} n; f^{'} (x) < 0 \Rightarrow f nghịch bi \overset{ˊ}{\overset{e}{ˆ}} n; f nghịch bi \overset{ˊ}{\overset{e}{ˆ}} n \Rightarrow f^{'} (x) \leq 0

Bước 2: Kiểm tra mệnh đề đảo

Mệnh đề hàm đồng biến suy ra $f^{'} (x) > 0$ là quá chặt.

Phản ví dụ: $f (x) = x^{3}$ đồng biến trên $R$ nhưng có đạo hàm bằng $0$ tại $x = 0$ .

f (x) = x^{3}, f^{'} (x) = 3 x^{2}, f^{'} (0) = 0

Bước 3: Đối chiếu phương án

C là mệnh đề sai vì hàm đồng biến không bắt buộc $f^{'} (x) > 0$ tại mọi điểm; A và D đúng theo dấu đạo hàm, còn B đúng vì hàm nghịch biến khả vi thì $f^{'} (x) \leq 0$ .

Đáp án: C — hàm đồng biến không nhất thiết có

f^{'} (x) > 0

tại mọi

x \in (a; b)

.

Câu 10

Cho ngôi nhà 4 mái dốc có kích thước như hình vẽ
Điền số thích hợp vào ô trống (Làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)
Chiều cao từ đỉnh cao nhất của ngôi nhà đến mặt đất là [1] m.

Hình minh họa

Đáp án đúng: $3,66$

Lời giải

Bước 1: Tính chiều cao mái

Dùng tam giác vuông tạo bởi mái và các kích thước trên hình.

Theo định lý Pythagore, chiều cao mái tính được là $0, 66 m$ .

h_{m \overset{a}{ˊ} i} = c^{2} - d^{2} \approx 0, 66 m

Bước 2: Tính chiều cao toàn nhà

Cộng chiều cao tường với chiều cao mái.

H = 3 + 0, 66 = 3, 66 m

Bước 3: Làm tròn kết quả

Kết quả đã có đúng hai chữ số thập phân.

H \approx 3, 66 m

Đáp án:

3, 66 m

— bằng chiều cao tường

3 m

cộng chiều cao mái

0, 66 m

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGTD ĐHBK HN năm 2025 - Mã đề 03 — Tư duy Toán học

Tư duy Toán học

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Tách nhân tử chứa nghiệm 0

Bước 2: Tính tích

Câu 2

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Tìm vận tốc

Bước 2: Tính quãng đường

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Tính đường kính

Bước 2: Tính diện tích toàn phần

Câu 5

Câu 6

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Khử mẫu phương trình

Bước 2: Xác định vectơ pháp tuyến

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 8

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Nhớ các định lý dấu đạo hàm

Bước 2: Kiểm tra mệnh đề đảo

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Tính chiều cao mái

Bước 2: Tính chiều cao toàn nhà

Bước 3: Làm tròn kết quả

Bước 1: Tách nhân tử chứa nghiệm $0$

Bước $1$ : Tìm vận tốc

Bước $2$ : Tính quãng đường

Bước $3$ : Đối chiếu phương án