Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG TP.HCM năm 2025 - Mã đề 29 — Toán học môn Toán học (Đánh giá Năng lực V-ACT)

Câu 1

Cho hệ phương trình ${m x - y = m^{2} x + (m - 2) y = m - 3$ . Tìm $m$ để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

A

$m > 0$

B

$m > \frac{1}{4}$

C

$m \neq = 1$

D

$m \in \emptyset$

Lời giải

Bước 1: Lập định thức hệ số

Ma trận hệ số là $(m 1 - 1 m - 2)$ .

Δ = m (m - 2) - (- 1) \cdot 1

Bước 2: Giải điều kiện duy nhất

Hệ có nghiệm duy nhất khi $Δ \neq = 0$ .

Δ = m^{2} - 2 m + 1 = (m - 1)^{2} \neq = 0 ⟺ m \neq = 1

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $C$ ; các phương án $A$ , $B$ , $D$ sai vì $A$ , $B$ không tương đương điều kiện $m \neq = 1$ , còn $D$ cho tập nghiệm rỗng.

Đáp án: C — Hệ có nghiệm duy nhất khi

m \neq = 1

.

Câu 2

Phương trình $lo g_{2} (x^{3} - 1) = lo g_{3} (3 x - 1)$ có bao nhiêu nghiệm?

A

$0$ .

B

$1$ .

C

$2$ .

D

$3$ .

Lời giải

Bước 1: Xác định miền xét

Điều kiện các logarit cho $x > 1$ .

x^{3} - 1 > 0, 3 x - 1 > 0 ⟹ x > 1

Bước 2: Xét tính đơn điệu

Đặt $f (x) = \frac{ln ( x ^{3} - 1 )}{ln 2} - \frac{ln ( 3 x - 1 )}{ln 3}$ . Trên $x > 1$ , ta có $f^{'} (x) > 0$ .

Ngoài ra, $f (x) \to - \infty$ khi $x \to 1^{+}$ và $f (x) \to + \infty$ khi $x \to + \infty$ , nên $f (x) = 0$ có đúng một nghiệm.

f^{'} (x) = \frac{3 x ^{2}}{( x ^{3} - 1 ) ln 2} - \frac{3}{( 3 x - 1 ) ln 3} > 0 v \overset{ı}{ˋ} x^{2} (3 x - 1) > x^{3} - 1, ln 3 > ln 2 > 0

Bước 3: Đối chiếu phương án

Số nghiệm là $1$ , chọn phương án $B$ . $A$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt cho $0$ , $2$ , $3$ nghiệm.

# {x} = 1

Đáp án: B — Phương trình có đúng

1

nghiệm.

Câu 3

Cho a và b là hai số thực dương, biết rằng $lo g_{2} (ab) = lo g_{32} (\frac{b}{a})$ . Mệnh đề nào đúng đây?

A

Không thể kết luận quan hệ giữa $a$ và $b$ .

B

$a = b$

C

$a > b$

D

$a \leq b$

Lời giải

Bước 1: Biến đổi phương trình logarit

Vì $32 = 2^{5}$ , đưa hai vế về cơ số $2$ rồi khai triển tích.

lo g_{2} (ab) = \frac{1}{5} lo g_{2} (\frac{b}{a}) ⟺ 5 (lo g_{2} a + lo g_{2} b) = lo g_{2} b - lo g_{2} a ⟺ 3 lo g_{2} a + 2 lo g_{2} b = 0 ⟺ a^{3} b^{2} = 1

Bước 2: Đối chiếu phương án

Điều kiện $a^{3} b^{2} = 1$ không cố định quan hệ giữa $a$ và $b$ : $a = b = 1$ hoặc $a = 2$ , $b = 2^{- 3/2}$ đều thỏa mãn, nhưng quan hệ khác nhau.

Chọn A; B, C, D sai vì lần lượt khẳng định bằng nhau, lớn hơn, hoặc không lớn hơn trong mọi trường hợp.

a = b = 1; a = 2, b = 2^{- 3/2}

Đáp án: A — điều kiện

a^{3} b^{2} = 1

không đủ để kết luận quan hệ cố định giữa

a

và

b

.

Câu 4

Cho hàm số $f (x) = 2 sin (x) + x$ . Đạo hàm của hàm số tại $x = π$ là

A

$1$

B

$0$

C

$- 1$

D

$2$

Lời giải

Bước 1: Tính đạo hàm

Áp dụng quy tắc tổng và đạo hàm hàm lượng giác.

f^{'} (x) = 2 cos x + 1

Bước 2: Thay điểm xét

Dùng giá trị $cos π = - 1$ .

f^{'} (π) = 2 cos π + 1 = 2 \cdot (- 1) + 1 = - 1

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $C$ . $A$ , $B$ , $D$ sai vì lần lượt cho kết quả $1$ , $0$ , $2$ , không đúng với $f^{'} (π) = - 1$ .

Đáp án: C — Vì

f^{'} (π) = 2 cos π + 1 = - 1

.

Câu 5

Một lớp có $40$ học sinh, trong đó có $24$ học sinh giỏi Toán, $18$ học sinh giỏi Văn và $10$ học sinh không giỏi môn nào trong hai môn Toán và Văn. Hỏi lớp đó có bao nhiêu học sinh giỏi cả hai môn Toán và Văn?

A

$12$

B

$10$

C

$11$

D

$13$

Lời giải

Bước $1$ : Tìm số giỏi ít nhất một môn

Số học sinh không giỏi môn nào được loại khỏi sĩ số lớp.

40 - 10 = 30

Bước $2$ : Đối chiếu phương án

Số học sinh giỏi cả hai môn được tính bằng tổng số giỏi từng môn trừ số giỏi ít nhất một môn.

Chọn A; B, C, D sai vì lần lượt chọn $10$ thay vì phần giao, tính nhầm thành $11$ , và tính nhầm thành $13$ .

24 + 18 - 30 = 12

Đáp án: A — Có

12

học sinh giỏi cả hai môn.

Câu 6

Cho hình chóp tứ giác đều $S . A B C D$ có tất cả các cạnh đều bằng $a$ . Gọi $O$ là tâm đáy và $M$ là trung điểm $C D$ . Tính khoảng cách từ $O$ tới đường thẳng $S M$ .

A

$\frac{a}{6}$

B

$\frac{a}{2}$

C

$\frac{a}{3}$

D

$\frac{a}{2}$

Lời giải

Bước 1: Tính chiều cao hình chóp

Vì $S O ⊥ (A B C D)$ , tam giác $S O A$ vuông tại $O$ .

O A = \frac{a 2}{2}, S O = S A^{2} - O A^{2} = \frac{a 2}{2}

Bước 2: Tính khoảng cách

Có $O M = \frac{a}{2}$ và $S O ⊥ O M$ , nên diện tích $[O S M]$ dễ tính.

S M = S O^{2} + O M^{2} = \frac{a 3}{2}, [O S M] = \frac{1}{2} S O \cdot O M = \frac{a ^{2} 2}{8}, d (O, S M) = \frac{2 [ O S M ]}{S M} = \frac{a}{6}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $A$ . $B$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt cho $\frac{a}{2}$ , $\frac{a}{3}$ , $\frac{a}{2}$ , đều khác $\frac{a}{6}$ .

d (O, S M) = \frac{a}{6}

Đáp án: A — Vì khoảng cách tính được là

\frac{a}{6}

.

Câu 7

Một cầu thủ sút bóng vào cầu môn hai lần độc lập nhau. Biết rằng xác suất sút trúng vào cầu môn của cầu thủ đó là 0,7. Xác suất sao cho cầu thủ đó sút một lần trượt và một lần trúng cầu môn là:

A

1

B

0,42

C

0,7

D

0,21

Lời giải

Bước 1: Tính xác suất trượt

Xác suất sút trượt là phần bù của xác suất sút trúng.

P (tr ư ợt) = 1 - 0, 7 = 0, 3

Bước 2: Tính xác suất cần tìm

Có hai thứ tự: lần đầu trúng, lần sau trượt hoặc ngược lại.

P = 2 \cdot 0, 7 \cdot 0, 3 = 0, 42

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn B vì kết quả là $0, 42$ ; A, C, D sai vì lần lượt cho $1$ , chỉ dùng $0, 7$ , và thiếu hệ số $2$ .

Đáp án: B — Xác suất một lần trượt và một lần trúng là

2 \cdot 0, 7 \cdot 0, 3 = 0, 42

.

Câu 8

Gieo một con xúc xắc 7 lần. Tính xác suất có 2 lần xuất hiện mặt $5$ chấm (lưu ý: tính kèm kết quả đến 4 chữ số thập phân).

A

$0, 0112$ .

B

$0, 2344$ .

C

$0, 3165$ .

D

$0, 5578$ .

Lời giải

Bước 1: Xác định các đại lượng

Gọi xuất hiện mặt $5$ là thành công, khi đó $n = 7$ , $k = 2$ , $p = \frac{1}{6}$ .

1 - p = \frac{5}{6}

Bước 2: Lập và tính xác suất

Áp dụng công thức nhị thức cho đúng $2$ lần xuất hiện mặt $5$ .

P = C_{7}^{2} (\frac{1}{6})^{2} (\frac{5}{6})^{5} \approx 0, 2344

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án B vì kết quả làm tròn đến $4$ chữ số thập phân là $0, 2344$ ; A, C, D sai vì không khớp giá trị xác suất đã tính.

Đáp án: B —

P \approx 0, 2344

theo công thức xác suất nhị thức.

Câu 9

Tỉ số giữa số nữ và số nam của một lớp học là $1 \frac{2}{3}$ . Biết số nữ hơn số nam là $8$ . Hỏi lớp đó có bao nhiêu nữ, bao nhiêu nam?

A

Nữ: $18$ ; Nam: $10$

B

Nữ: $20$ ; Nam: $12$

C

Nữ: $22$ ; Nam: $14$

D

Nữ: $23$ ; Nam: $15$

Lời giải

Bước 1: Đổi tỉ số

Gọi số nữ là $N$ , số nam là $M$ .

\frac{N}{M} = 1 \frac{2}{3} = \frac{5}{3}

Bước 2: Tìm số phần

Tỉ số cho biết nữ gồm $5$ phần, nam gồm $3$ phần; hiệu là $2$ phần.

1 ph \overset{ˋ}{\overset{a}{ˆ}} n = 8 : (5 - 3) = 4; N = 5 \cdot 4 = 20; M = 3 \cdot 4 = 12

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn B vì $20 : 12 = \frac{5}{3}$ và $20 - 12 = 8$ ; A, C, D sai vì lần lượt có tỉ số không bằng $\frac{5}{3}$ .

\frac{20}{12} = \frac{5}{3}, 20 - 12 = 8

Đáp án: B — Lớp có

20

nữ và

12

nam, đúng tỉ số và hiệu đã cho.

Câu 10

Cho hàm số $y = x . e^{x}$ . Tập nghiệm của bất phương trình $y^{''} - y^{'} - y > 0$ là:

A

$(- 1; + \infty)$

B

$(- \infty; 1)$

C

$(1; + \infty)$

D

$(+ \infty; - 1)$

Lời giải

Bước 1: Tính các đạo hàm

Áp dụng quy tắc đạo hàm tích cho $y = x e^{x}$ .

y^{'} = (x + 1) e^{x}, y^{''} = (x + 2) e^{x}

Bước 2: Biến đổi bất phương trình

Thay các đạo hàm vào biểu thức cần xét và thu gọn.

y^{''} - y^{'} - y = (x + 2) e^{x} - (x + 1) e^{x} - x e^{x} = (1 - x) e^{x}

Bước 3: Xét dấu và kết luận

Vì $e^{x} > 0$ , bất phương trình tương đương với $1 - x > 0$ .

1 - x > 0 ⟺ x < 1 ⟹ x \in (- \infty; 1)

Bước 4: Đối chiếu phương án

Kết quả đúng là $(- \infty; 1)$ ,

Đáp án: B

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG TP.HCM năm 2025 - Mã đề 29 — Toán học

Toán học

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Lập định thức hệ số

Bước 2: Giải điều kiện duy nhất

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Xác định miền xét

Bước 2: Xét tính đơn điệu

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Biến đổi phương trình logarit

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Tính đạo hàm

Bước 2: Thay điểm xét

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Tìm số giỏi ít nhất một môn

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Tính chiều cao hình chóp

Bước 2: Tính khoảng cách

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Tính xác suất trượt

Bước 2: Tính xác suất cần tìm

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Xác định các đại lượng

Bước 2: Lập và tính xác suất

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Đổi tỉ số

Bước 2: Tìm số phần

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Tính các đạo hàm

Bước 2: Biến đổi bất phương trình

Bước 3: Xét dấu và kết luận

Bước 4: Đối chiếu phương án

Bước $1$ : Tìm số giỏi ít nhất một môn

Bước $2$ : Đối chiếu phương án