Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG TP.HCM năm 2025 - Mã đề 28 — Toán học môn Toán học (Đánh giá Năng lực V-ACT)

Câu 1

Với $x, y$ là các số thực dương và $y > 1$ , kết quả khi rút gọn biểu thức $P = \frac{x ln y}{y ln y ^{x}}$ bằng

A

$P = 1$ .

B

$P = x$ .

C

$P = \frac{1}{y}$ .

D

$P = a$ .

Lời giải

Bước 1: Áp dụng tính chất logarit

Ta có $ln (y^{x}) = x ln y$ .

ln (y^{x}) = x ln y

Bước 2: Thay vào mẫu số

Thay vào biểu thức $P$ :

P = \frac{x ln y}{y \cdot x ln y}

Bước 3: Rút gọn

Vì $x > 0$ và $y > 1 \Rightarrow ln y > 0$ nên $x ln y \neq = 0$ .

P = \frac{1}{y}

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn C: $P = \frac{1}{y}$ . A, B, D sai vì lần lượt cho $P = 1$ , $P = x$ , $P = a$ , không khớp kết quả rút gọn.

Đáp án: C — Vì

ln (y^{x}) = x ln y

nên

P = \frac{1}{y}

.

Câu 2

Cho hai đường thẳng $d_{1} : ⎩ ⎨ ⎧ x = 1 + t y = 2 - t z = 3 + 2 t$ và $d_{2} : \frac{x - 1}{2} = \frac{y - m}{1} = \frac{z + 2}{- 1}$ (với m là tham số). Tìm $m$ để hai đường thẳng $d_{1}, d_{2}$ cắt nhau.

A

$m = 4$

B

$m = 9$

C

$m = 7$

D

$m = 5$

Lời giải

Bước 1: Tham số hóa $d_{2}$

Đặt $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - m}{1} = \frac{z + 2}{- 1} = k$ .

⎩ ⎨ ⎧ x = 1 + 2 k y = m + k z = - 2 - k

Bước 2: Lập và giải hệ

Vì $d_{1}$ và $d_{2}$ cắt nhau nên có hệ tọa độ tương ứng.

Từ phương trình thứ nhất, suy ra $t = 2 k$ ; thay vào phương trình thứ ba rồi tìm $k, t$ , cuối cùng tìm $m$ .

⎩ ⎨ ⎧ 1 + t = 1 + 2 k 2 - t = m + k 3 + 2 t = - 2 - k \Rightarrow t = 2 k \Rightarrow 3 + 4 k = - 2 - k \Rightarrow 5 k = - 5 \Rightarrow k = - 1 \Rightarrow t = - 2 \Rightarrow 4 = m - 1 \Rightarrow m = 5

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án D: $m = 5$ .

Các phương án A, B, C sai vì không phù hợp với kết quả tính được.

Đáp án: D —

m = 5

vì hệ điều kiện giao điểm cho kết quả

m = 5

.

Câu 3

Một hộp chứa 7 bi xanh, 5 bi đỏ, 3 bi vàng. Xác suất để trong lần thứ nhất bốc được một bi mà không phải là bi đỏ là:

A

$\frac{1}{3}$

B

$\frac{2}{3}$

C

$\frac{10}{21}$

D

$\frac{11}{21}$

Lời giải

Bước 1: Tính tổng số bi

Tổng số bi trong hộp là:

7 + 5 + 3 = 15

Bước 2: Tính số bi không đỏ

Số bi không phải bi đỏ gồm bi xanh và bi vàng.

7 + 3 = 10

Bước 3: Đối chiếu phương án

Xác suất bốc được bi không đỏ là $\frac{10}{15} = \frac{2}{3}$ .

Chọn B; các phương án A, C, D sai vì không bằng kết quả tính được.

\frac{10}{15} = \frac{2}{3}

Đáp án: B — xác suất bốc được bi không đỏ là

\frac{10}{15} = \frac{2}{3}

.

Câu 4

Cho $lo g_{a} x = 4$ và $lo g_{b} x = 5$ . Tính giá trị của biểu thức $P = 3 lo g_{ab} x + lo g_{\frac{a}{b}} x$ .

A

$P = 16$

B

$P = \frac{80}{3}$

C

$P = - \frac{40}{3}$

D

$P = 27$

Lời giải

Bước 1: Đổi dữ kiện về cơ số $x$

Từ $x = a^{4}$ và $x = b^{5}$ , suy ra các logarit cơ số $x$ tương ứng.

x = a^{4} \Rightarrow lo g_{x} a = \frac{1}{4}, x = b^{5} \Rightarrow lo g_{x} b = \frac{1}{5}

Bước 2: Tính các logarit cần thiết

Dùng tính chất logarit của tích và thương, rồi đổi cơ số.

lo g_{x} (ab) = \frac{1}{4} + \frac{1}{5} = \frac{9}{20} \Rightarrow lo g_{ab} x = \frac{20}{9}; lo g_{x} (\frac{a}{b}) = \frac{1}{4} - \frac{1}{5} = \frac{1}{20} \Rightarrow lo g_{\frac{a}{b}} x = 20

Bước 3: Đối chiếu phương án

Thay vào biểu thức $P$ được $P = \frac{80}{3}$ . Chọn phương án $B$ ; các phương án $A$ , $C$ , $D$ sai vì không trùng kết quả tính được.

P = 3 \cdot \frac{20}{9} + 20 = \frac{60}{9} + \frac{180}{9} = \frac{240}{9} = \frac{80}{3}

Đáp án: B — vì

P = \frac{80}{3}

.

Câu 5

Cho tập hợp $S = {1; 2; 3; 4; 5; 6}$ . Số các số tự nhiên có $3$ chữ số đôi một khác nhau thuộc tập hợp $S$ và chia hết cho $3$ có thể lập được là:

A

$48$

B

$18$

C

$36$

D

$24$

Lời giải

Bước 1: Phân nhóm theo số dư

Các phần tử của $S$ được chia thành ba nhóm theo số dư khi chia cho $3$ .

D ư 0 : {3, 6}; d ư 1 : {1, 4}; d ư 2 : {2, 5}

Bước 2: Chọn ba chữ số

Để tổng ba chữ số chia hết cho $3$ , chọn một chữ số từ mỗi nhóm.

2 \times 2 \times 2 = 8

Bước 3: Sắp xếp chữ số

Mỗi tổ hợp gồm ba chữ số có thể sắp xếp thành các số có $3$ chữ số.

3! = 6

Bước 4: Đối chiếu phương án

Số các số thỏa mãn là $8 \times 6 = 48$ . Chọn phương án $A$ ; các phương án $B$ , $C$ , $D$ sai vì không trùng với kết quả đếm.

8 \times 6 = 48

Đáp án: A —

48

, vì có

8

tổ hợp chữ số và mỗi tổ hợp sắp xếp được

6

cách.

Câu 6

Cho 2019 điểm phân biệt nằm trên một đường tròn . Hỏi có thể lập được bao nhiêu tam giác có đỉnh là các điểm đã cho ở trên ?

A

$2019!$

B

$C_{2019}^{3}$

C

$6057$

D

$A_{2019}^{3}$

Lời giải

Bước 1: Xác định cách đếm

Mỗi tam giác tương ứng với một cách chọn $3$ điểm từ $2019$ điểm.

Thứ tự chọn các đỉnh không tạo ra tam giác mới.

Bước 2: Tính số tam giác

Áp dụng công thức tổ hợp cho $2019$ phần tử chọn $3$ phần tử.

C_{2019}^{3} = C_{2019}^{3}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $B$ ; $A$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt đếm thứ tự, cho giá trị $6057$ , và đếm có thứ tự.

Đáp án:

B

— Số tam giác bằng số cách chọn

3

điểm trong

2019

điểm, tức là

C_{2019}^{3}

.

Câu 7

Trên giá sách có 4 quyển sách toán, 3 quyển sách lý, 2 quyển sách hóa. Lấy ngẫu nhiên 3 quyển sách. Tính xác suất để được 3 quyển được lấy ra có ít nhất một quyển là toán.

A

$\frac{2}{7}$

B

$\frac{3}{4}$

C

$\frac{37}{42}$

D

$\frac{10}{21}$

Lời giải

Bước 1: Tính số phần tử không gian mẫu

Có $9$ quyển sách; số cách lấy $3$ quyển là $C_{9}^{3}$ .

C_{9}^{3} = 84

Bước 2: Dùng biến cố đối

Không lấy sách toán nghĩa là chọn cả $3$ quyển từ $5$ quyển lý và hóa.

P = 1 - \frac{C _{5}^{3}}{C _{9}^{3}} = 1 - \frac{10}{84} = \frac{37}{42}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $C$ vì xác suất đúng là $\frac{37}{42}$ . A, B, D sai vì lần lượt cho $\frac{2}{7}$ , $\frac{3}{4}$ , $\frac{10}{21}$ , không trùng kết quả.

\frac{37}{42}

Đáp án:

C

— xác suất đúng là

\frac{37}{42}

.

Câu 8

Cho tam giác $A B C$ có góc $B = 6 0^{\circ}$ , góc $C = 4 5^{\circ}$ , $A B = 3$ . Độ dài $A C$ bằng

A

$6$

B

$\frac{2 6}{3}$

C

$\frac{3 6}{2}$

D

$\frac{3 2}{2}$

Lời giải

Bước 1: Xác định cặp đối diện

Trong tam giác, $A C$ đối diện góc $B$ , còn $A B$ đối diện góc $C$ .

Bước 2: Áp dụng định lý sin

Suy ra độ dài cạnh cần tìm là:

\frac{A C}{sin 6 0 ^{\circ}} = \frac{A B}{sin 4 5 ^{\circ}} \Rightarrow A C = 3 \cdot \frac{sin 6 0 ^{\circ}}{sin 4 5 ^{\circ}} = 3 \cdot \frac{\frac{3}{2}}{\frac{2}{2}} = \frac{3 6}{2}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Phương án $C$ đúng vì $A C = \frac{3 6}{2}$ ; $A$ , $B$ , $D$ sai vì không đúng giá trị tính được.

Đáp án:

C

— theo định lý sin,

A C = \frac{3 6}{2}

.

Câu 9

Phương trình $sin (2 x - \frac{π}{3}) = cos x$ có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn $[- π; π]$ ?

A

$4$

B

$2$

C

$6$

D

$3$

Lời giải

Bước $1$ : Đưa về cùng hàm lượng giác

Đổi $cos x$ thành $sin (\frac{π}{2} + x)$ rồi áp dụng công thức nghiệm của $sin u = sin v$ .

sin (2 x - \frac{π}{3}) = sin (\frac{π}{2} + x) ⟺ {2 x - \frac{π}{3} = \frac{π}{2} + x + 2 k π 2 x - \frac{π}{3} = \frac{π}{2} - x + 2 k π

Bước $2$ : Tìm nghiệm trong đoạn

Xét từng họ nghiệm và lọc điều kiện $- π \leq x \leq π$ .

x x - π \leq x \leq π = \frac{5 π}{6} + 2 k π \Rightarrow k = 0 \Rightarrow 1 nghiệm; = \frac{5 π}{18} + \frac{2 k π}{3}, ⟺ - \frac{23}{12} \leq k \leq \frac{13}{12} \Rightarrow k \in {- 1, 0, 1} \Rightarrow 3 nghiệm .

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Phương án A đúng vì tổng số nghiệm là $1 + 3 = 4$ ; B, C, D sai vì lần lượt cho $2$ , $6$ , $3$ nghiệm, trái với kết quả đếm.

N = 1 + 3 = 4

Đáp án: A — Phương trình có tổng cộng

4

nghiệm thuộc đoạn

[- π; π]

.

Câu 10

Một chiếc thuyền xuôi, ngược dòng trên một khúc sông dài $40 k m$ hết 4h 30 phút. Biết thời gian thuyền xuôi dòng $5 k m$ bằng thời gian thuyền ngược dòng $4 k m$ . Vận tốc của dòng nước là:

A

$2 k m / h$

B

$4 k m / h$

C

$5 k m / h$

D

$3 k m / h$

Lời giải

Bước 1: Lập quan hệ vận tốc

Gọi vận tốc thuyền khi nước yên là $v$ , vận tốc dòng nước là $c$ .

\frac{5}{v + c} = \frac{4}{v - c} \Rightarrow 5 v - 5 c = 4 v + 4 c \Rightarrow v = 9 c

Bước 2: Dùng tổng thời gian

Thuyền đi xuôi và ngược trên cùng đoạn sông dài $40 km$ .

\frac{40}{v + c} + \frac{40}{v - c} = 4, 5 \Rightarrow \frac{40}{10 c} + \frac{40}{8 c} = 4, 5 \Rightarrow \frac{9}{c} = 4, 5 \Rightarrow c = 2

Bước 3: Đối chiếu phương án

Vận tốc dòng nước là $2 km/h$ nên chọn A; B, C, D sai vì lần lượt cho $4 km/h$ , $5 km/h$ và $3 km/h$ .

c = 2 km/h

Đáp án: A — Vận tốc dòng nước là

2 km/h

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG TP.HCM năm 2025 - Mã đề 28 — Toán học

Toán học

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Áp dụng tính chất logarit

Bước 2: Thay vào mẫu số

Bước 3: Rút gọn

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Tham số hóa d2​

Bước 2: Lập và giải hệ

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Tính tổng số bi

Bước 2: Tính số bi không đỏ

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Đổi dữ kiện về cơ số x

Bước 2: Tính các logarit cần thiết

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Phân nhóm theo số dư

Bước 2: Chọn ba chữ số

Bước 3: Sắp xếp chữ số

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Xác định cách đếm

Bước 2: Tính số tam giác

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Tính số phần tử không gian mẫu

Bước 2: Dùng biến cố đối

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Xác định cặp đối diện

Bước 2: Áp dụng định lý sin

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Đưa về cùng hàm lượng giác

Bước 2: Tìm nghiệm trong đoạn

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Lập quan hệ vận tốc

Bước 2: Dùng tổng thời gian

Bước 3: Đối chiếu phương án

Bước 1: Tham số hóa $d_{2}$

Bước 1: Đổi dữ kiện về cơ số $x$

Bước $1$ : Đưa về cùng hàm lượng giác

Bước $2$ : Tìm nghiệm trong đoạn

Bước $3$ : Đối chiếu phương án