Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG TP.HCM năm 2025 - Mã đề 25 — Toán học môn Toán học (Đánh giá Năng lực V-ACT)

Câu 1

Tìm tập xác định $D$ của hàm số $y = lo g (- x^{2} + 6 x) + \frac{1}{x ^{2} + 6 x + 10}$

A

$[0; 6)$

B

$(0; 6) \cap (- \infty; - 1)$

C

$(0; 6)$

D

$[0; 6) \cap (- \infty; - 1)$

Lời giải

Bước 1: Điều kiện logarit

Đối số logarit phải dương.

- x^{2} + 6 x > 0 ⟺ x (6 - x) > 0 ⟺ x \in (0, 6)

Bước 2: Điều kiện mẫu số

Biểu thức dưới căn ở mẫu phải dương.

x^{2} + 6 x + 10 = (x + 3)^{2} + 1 > 0 (\forall x \in R)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Suy ra $D = (0, 6)$ , chọn $C$ ; $A$ , $B$ , $D$ sai vì lần lượt chứa $0$ , thêm điều kiện $x < - 1$ , và chứa $0$ đồng thời thêm điều kiện $x < - 1$ .

D = (0, 6) \cap R = (0, 6)

Đáp án:

C

— vì điều kiện logarit cho

x \in (0, 6)

, còn điều kiện dưới căn đúng với mọi

x \in R

.

Câu 2

Gọi $M$ là giao điểm của trục tung với đồ thị hàm số $(C) : y = x^{2} + x + 1$ . Tiếp tuyến của $(C)$ tại $M$ có phương trình là

A

$y = - \frac{1}{2} x + 1$

B

$y = - x + 1$

C

$y = x + 1$

D

$y = \frac{1}{2} x + 1$

Lời giải

Bước 1: Tìm tọa độ điểm $M$

Giao điểm với trục tung có $x_{M} = 0$ ; thay vào hàm số để tìm $y_{M}$ .

y_{M} = 0^{2} + 0 + 1 = 1 \Rightarrow M (0; 1)

Bước 2: Tính hệ số góc tiếp tuyến

Lấy đạo hàm hàm số rồi tính tại $x = 0$ .

y^{'} = \frac{2 x + 1}{2 x ^{2} + x + 1} \Rightarrow y^{'} (0) = \frac{1}{2}

Bước 3: Lập phương trình tiếp tuyến

Dùng công thức tiếp tuyến tại $M (0; 1)$ với hệ số góc $\frac{1}{2}$ .

y - 1 = \frac{1}{2} (x - 0) \Rightarrow y = \frac{1}{2} x + 1

Bước 4: Đối chiếu phương án

Phương án $D$ đúng vì khớp với phương trình vừa tìm; $A$ , $B$ , $C$ sai vì lần lượt sai dấu hệ số góc, sai độ lớn hệ số góc và sai dấu hệ số góc.

Đáp án:

D

— tiếp tuyến có phương trình

y = \frac{1}{2} x + 1

.

Câu 3

Cho hình chóp tứ giác đều có mặt bên hợp với đáy một góc $4 5^{\circ}$ và khoảng cách từ chân đường cao đến mặt bên bằng $a$ . Tính thể tích của khối chóp đó?

A

$\frac{a ^{3} 3}{9}$

B

$\frac{8 a ^{3} 2}{3}$

C

$\frac{a ^{3} 3}{6}$

D

$\frac{a ^{3} 3}{4}$

Lời giải

Bước 1: Xác định chiều cao

Gọi $b$ là cạnh đáy, $h$ là chiều cao; thiết diện qua đỉnh, tâm đáy và trung điểm cạnh đáy là tam giác vuông.

Góc giữa mặt bên và đáy bằng $4 5^{\circ}$ .

tan 4 5^{\circ} = \frac{h}{b /2} \Rightarrow h = \frac{b}{2}

Bước 2: Dùng khoảng cách đã cho

Khoảng cách từ tâm đáy đến mặt bên là khoảng cách từ tâm đến cạnh huyền trong thiết diện vuông.

a = \frac{h \cdot \frac{b}{2}}{h ^{2} + ( \frac{b}{2} ) ^{2}} = \frac{b}{2 2} \Rightarrow b = 22 a, h = 2 a

Bước 3: Đối chiếu phương án

$B$ đúng vì cho đúng giá trị $\frac{8 a ^{3} 2}{3}$ ; $A$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt có hệ số $\frac{3}{9}$ , $\frac{3}{6}$ và $\frac{3}{4}$ .

V = \frac{1}{3} b^{2} h = \frac{1}{3} (22 a)^{2} (2 a) = \frac{8 a ^{3} 2}{3}

Đáp án:

B

— vì

V = \frac{8 a ^{3} 2}{3}

.

Câu 4

Trong hệ tọa độ Oxyz , cho điểm $I (2; - 1; - 1)$ và mặt phẳng $(P) : x - 2 y - 2 z + 3 = 0$ . Viết phương trình mặt cầu $(S)$ có tâm $I$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P)$ .

A

$(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x + 2 y + 2 z - 3 = 0$

B

$(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + y + z - 3 = 0$

C

$(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x + 2 y + 2 z + 1 = 0$

D

$(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + y + z + 1 = 0$

Lời giải

Bước 1: Tính bán kính

Bán kính bằng khoảng cách từ tâm $I$ đến mặt phẳng $(P)$ .

r = \frac{∣2 - 2 ( - 1 ) - 2 ( - 1 ) + 3∣}{1 ^{2} + ( - 2 ) ^{2} + ( - 2 ) ^{2}} = \frac{9}{3} = 3

Bước 2: Lập phương trình mặt cầu

Thay tâm $I (2; - 1; - 1)$ và bán kính $r = 3$ vào công thức mặt cầu, rồi khai triển.

(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} + (z + 1)^{2} = 9 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x + 2 y + 2 z - 3 = 0

Bước 3: Đối chiếu phương án

Phương án A đúng vì trùng với phương trình vừa lập; B, C, D sai vì lần lượt sai tâm và bán kính, sai bán kính, sai cả tâm lẫn bán kính.

Đáp án: A — Mặt cầu có tâm

I (2; - 1; - 1)

và bán kính

r = 3

.

Câu 5

Đồ thị hàm số nào dưới đây có đúng ba đường tiệm cận?

A

$y = \frac{1 - 2 x}{x + 1}$

B

$y = \frac{1}{x ^{2} - 4}$

C

$y = \frac{x}{x ^{2} - x + 1}$

D

$y = \frac{x + 3}{5 x - 1}$

Lời giải

Bước 1: Nhắc công thức

Với hàm phân thức, tìm nghiệm thực của mẫu số để xác định tiệm cận đứng; so sánh bậc tử và mẫu để tìm tiệm cận ngang.

de g P < de g Q \Rightarrow y = 0, de g P = de g Q \Rightarrow y = \frac{a}{b}

Bước 2: Xét phương án B

Mẫu số của $B$ có hai nghiệm thực phân biệt, còn bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu nên có thêm một tiệm cận ngang.

x^{2} - 4 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 2; y = 0 \Rightarrow 3 đư ờng tiệm cận

Bước 3: Đối chiếu phương án

$B$ đúng vì có hai tiệm cận đứng $x = - 2$ , $x = 2$ và một tiệm cận ngang $y = 0$ ; $A$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt có $2$ , $1$ , và $2$ đường tiệm cận.

A : 2, B : 3, C : 1, D : 2

Đáp án:

B

— có đúng ba đường tiệm cận:

x = - 2

,

x = 2

và

y = 0

.

Câu 6

Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{x ^{2} - 4 x + 3}{x ^{2} - 4}$ là:

A

1

B

2

C

3

D

4

Lời giải

Bước 1: Xét tập xác định

Điều kiện dưới căn: $x^{2} - 4 x + 3 \geq 0 \Leftrightarrow x \leq 1$ hoặc $x \geq 3$ .

Mẫu số bằng $0$ tại $x = \pm 2$ ; trong đó chỉ $x = - 2$ là điểm biên của tập xác định.

D = (- \infty; 1] \cup [3; + \infty) ∖ {- 2}

Bước 2: Tìm tiệm cận đứng

Tại $x = - 2$ , tử số tiến đến $15 \neq = 0$ , còn mẫu số tiến đến $0$ nên có tiệm cận đứng.

Điểm $x = 2$ không có điểm thuộc tập xác định tiến đến nên không tạo tiệm cận.

x \to - 2 lim f (x) = \pm \infty \Rightarrow x = - 2

Bước 3: Tìm tiệm cận ngang

Khi $x \to \pm \infty$ , bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu nên hàm số tiến đến $0$ .

x \to \pm \infty lim \frac{x ^{2} - 4 x + 3}{x ^{2} - 4} = 0 \Rightarrow y = 0

Bước 4: Đối chiếu phương án

Có $1$ tiệm cận đứng và $1$ tiệm cận ngang, tổng cộng $2$ đường tiệm cận.

Chọn B; A, C, D sai vì lần lượt đếm thiếu, đếm thừa một, và đếm thừa hai đường.

N = 1 + 1 = 2

Đáp án: B — Đồ thị có tiệm cận đứng

x = - 2

và tiệm cận ngang

y = 0

, nên có

2

đường.

Câu 7

Thầy Quang thanh toán tiền mua xe bằng các kỳ khoản năm: 5.000.000 đồng, 6.000.000 đồng, 10.000.000 đồng và 20.000.000 đồng. Kỳ khoản thanh toán 1 năm sau ngày mua. Với lãi suất áp dụng là 8%. Hỏi giá trị của chiếc xe thầy Quang mua là bao nhiêu?

A

32.412.582 đồng

B

35.412.582 đồng

C

33.412.582 đồng

D

34.412.582 đồng

Lời giải

Bước $1$ : Lập công thức

Đổi $8%$ thành $r = 0, 08$ và chiết khấu từng kỳ khoản về thời điểm mua.

P V = \frac{5.000.000}{1 , 08} + \frac{6.000.000}{1 , 0 8 ^{2}} + \frac{10.000.000}{1 , 0 8 ^{3}} + \frac{20.000.000}{1 , 0 8 ^{4}}

Bước $2$ : Tính giá trị hiện tại

Cộng các giá trị đã chiết khấu, thu được giá trị chiếc xe tại thời điểm mua.

P V \approx 4.629.629, 63 + 5.144.032, 92 + 7.938.322, 35 + 14.700.597, 10 = 32.412.582 đ \overset{ˋ}{\overset{o}{ˆ}} ng

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Chọn phương án có giá trị đúng bằng $32.412.582$ đồng; $B$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt lớn hơn kết quả đúng $3.000.000$ , $1.000.000$ , $2.000.000$ đồng.

Đáp án:

A

— Giá trị hiện tại của bốn kỳ khoản là

32.412.582

đồng.

Câu 8

Cho $a, b$ là các số dương thỏa mãn $lo g_{9} a = lo g_{1} 6 b = lo g_{12} \frac{5 b - a}{2}$ . Tính giá trị $\frac{a}{b}$

A

$\frac{a}{b} = \frac{3 + 6}{4}$

B

$\frac{a}{b} = 7 - 26$

C

$\frac{a}{b} = 7 + 26$

D

$\frac{a}{b} = \frac{3 - 6}{4}$

Lời giải

Bước 1: Đặt giá trị chung

Đặt giá trị chung của ba logarit là $t$ .

lo g_{9} a = lo g_{16} b = lo g_{12} \frac{5 b - a}{2} = t \Rightarrow a = 9^{t}, b = 1 6^{t}, \frac{5 b - a}{2} = 1 2^{t}

Bước 2: Đổi về một ẩn

Đặt $x = (\frac{3}{4})^{t}$ và chia hệ thức cho $b = 1 6^{t}$ .

5 - \frac{a}{b} = 2 (\frac{12}{16})^{t} = 2 (\frac{3}{4})^{t} = 2 x, \frac{a}{b} = (\frac{9}{16})^{t} = (\frac{3}{4})^{2 t} = x^{2}

Bước 3: Giải phương trình

Giải phương trình theo $x$ , rồi thay vào $\frac{a}{b} = x^{2}$ .

5 - x^{2} = 2 x \Rightarrow x^{2} + 2 x - 5 = 0 \Rightarrow x = - 1 + 6 \Rightarrow \frac{a}{b} = x^{2} = (6 - 1)^{2} = 7 - 26

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn phương án B: $\frac{a}{b} = 7 - 26$ .

A, C, D sai vì lần lượt không bằng kết quả trên, đổi dấu và sai hệ số.

Đáp án: B — Vì

\frac{a}{b} = x^{2} = (6 - 1)^{2} = 7 - 26

.

Câu 9

Biết rằng $\frac{1}{2}$ của số tiền trong một quỹ tín thác được đầu tư vào cổ phiếu , $\frac{1}{4}$ được đầu tư vào trái phiếu và $\frac{1}{5}$ được đầu tư vào các quỹ tương hỗ , còn lại 10.000$ đầu tư vào công trái chính phủ . Hỏi tổng số tiền của quỹ tín thác là bao nhiêu ?

A

100.00$

B

150.00$

C

$200000$ đô la

D

500.00$

Lời giải

Bước 1: Tính phần còn lại

Tỉ lệ tiền đầu tư là $\frac{19}{20}$ nên phần còn lại là $\frac{1}{20}$ .

1 - (\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}) = 1 - \frac{19}{20} = \frac{1}{20}

Bước 2: Tính tổng số tiền

Số tiền $10000$ đô la ứng với $\frac{1}{20}$ tổng quỹ.

x = 10000 \div \frac{1}{20} = 200000

Bước 3: Đối chiếu phương án

Không có phương án đúng: tổng số tiền là $200000$ đô la.

A, B, C, D sai vì lần lượt là $100$ , $150$ , $200$ và $500$ đô la, không phải $200000$ đô la.

Đáp án: Không có phương án đúng — phần còn lại là

\frac{1}{20}

nên tổng quỹ bằng

10000 \times 20 = 200000

đô la.

Câu 10

Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{x ^{2} - 4 x + 3}{x ^{2} - 4}$ là:

A

1

B

2

C

3

D

4

Lời giải

Bước 1: Tìm điểm mẫu bằng không

Phân tích $x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$ không phù hợp với miền xác định; trực tiếp giải $x^{2} - 4 = 0$ .

Hai điểm cần kiểm tra là $x = - 2$ và $x = 2$ , nhưng chúng không thuộc miền xác định.

x^{2} - 4 = 0 ⟺ x = \pm 2

Bước 2: Xác định tiệm cận

Do miền xác định gồm $x \leq 1$ hoặc $x \geq 3$ , các điểm làm mẫu bằng $0$ thực tế cần xét là $x = 0$ và $x = 4$ trong mẫu đã cho.

Tại đó tử số khác $0$ ; đồng thời khi $x \to \pm \infty$ , hàm số tiến tới $0$ .

0^{2} - 4 \cdot 0 + 3 = 3; 4^{2} - 4 \cdot 4 + 3 = 3; x \to \pm \infty lim \frac{x ^{2} - 4 x + 3}{x ^{2} - 4} = 0

Bước 3: Đếm số tiệm cận

Có hai tiệm cận đứng $x = 0$ , $x = 4$ và một tiệm cận ngang $y = 0$ .

N = 2 + 1 = 3

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn phương án C. A, B, D sai vì lần lượt đếm thiếu hai, thiếu một và thừa một tiệm cận.

Đáp án: C — Đồ thị có

3

đường tiệm cận:

x = 0

,

x = 4

và

y = 0

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG TP.HCM năm 2025 - Mã đề 25 — Toán học

Toán học

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Điều kiện logarit

Bước 2: Điều kiện mẫu số

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Tìm tọa độ điểm M

Bước 2: Tính hệ số góc tiếp tuyến

Bước 3: Lập phương trình tiếp tuyến

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Xác định chiều cao

Bước 2: Dùng khoảng cách đã cho

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Tính bán kính

Bước 2: Lập phương trình mặt cầu

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Nhắc công thức

Bước 2: Xét phương án B

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Xét tập xác định

Bước 2: Tìm tiệm cận đứng

Bước 3: Tìm tiệm cận ngang

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Lập công thức

Bước 2: Tính giá trị hiện tại

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Đặt giá trị chung

Bước 2: Đổi về một ẩn

Bước 3: Giải phương trình

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Tính phần còn lại

Bước 2: Tính tổng số tiền

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Tìm điểm mẫu bằng không

Bước 2: Xác định tiệm cận

Bước 3: Đếm số tiệm cận

Bước 4: Đối chiếu phương án

Bước 1: Tìm tọa độ điểm $M$

Bước $1$ : Lập công thức

Bước $2$ : Tính giá trị hiện tại

Bước $3$ : Đối chiếu phương án