Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG TP.HCM năm 2025 - Mã đề 14 — Toán học môn Toán học (Đánh giá Năng lực V-ACT)

Câu 1

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = 3^{2 x - 1}$ là

A

$\frac{9 ^{x}}{3} + C .$

B

$\frac{9 ^{x}}{6} + C .$

C

$\frac{9 ^{x}}{6 l n 3} + C .$

D

$\frac{9 ^{x}}{3 l n 3} + C .$

Lời giải

Bước 1: Đổi cơ số

Đưa hàm số về cơ số $9$ để nguyên hàm thuận tiện.

3^{2 x - 1} = \frac{3 ^{2 x}}{3} = \frac{9 ^{x}}{3}

Bước 2: Tính nguyên hàm

Áp dụng công thức nguyên hàm hàm số mũ.

\int 3^{2 x - 1} d x = \int \frac{9 ^{x}}{3} d x = \frac{9 ^{x}}{3 ln 9} + C = \frac{9 ^{x}}{6 ln 3} + C

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn C vì kết quả là $\frac{9 ^{x}}{6 l n 3} + C$ ; A, B, D sai vì lần lượt thiếu $ln 3$ , thiếu $ln 3$ và thiếu hệ số $2$ .

Đáp án: C —

\int 3^{2 x - 1} d x = \frac{9 ^{x}}{6 l n 3} + C

.

Câu 2

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm $f^{'} (x) = x (x - 2)$ , với mọi $x \in R$ . Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f (x)$ trên đoạn $[1; 4]$ bằng

A

$f (2)$

B

$f (1)$

C

$f (4)$

D

$f (3)$

Lời giải

Bước $1$ : Tìm điểm tới hạn

Giải $f^{'} (x) = 0$ để tìm các điểm cần xét.

x (x - 2) = 0 ⟺ x = 0 hoặc x = 2

Bước $2$ : Xét dấu đạo hàm

Trên $[1; 2]$ , $f^{'} (x) < 0$ nên $f$ nghịch biến; trên $[2; 4]$ , $f^{'} (x) > 0$ nên $f$ đồng biến.

Vì vậy, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại $x = 2$ .

f^{'} (x) < 0 tr \overset{e}{ˆ} n (1; 2), f^{'} (x) > 0 tr \overset{e}{ˆ} n (2; 4)

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Giá trị nhỏ nhất là $f (2)$ , tương ứng với phương án $A$ .

$B$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt chỉ giá trị tại đầu trái, đầu phải và điểm không phải vị trí cực tiểu.

[1; 4] min f (x) = f (2)

Đáp án: A — Hàm số nghịch biến trên

(1; 2)

và đồng biến trên

(2; 4)

nên đạt giá trị nhỏ nhất tại

x = 2

.

Câu 3

Công ty X có ba bộ phận, bộ phận thứ nhất có $2$ người hưởng lương bậc I, $4$ người hưởng lương bậc II, $3$ người hưởng lương bậc III; bộ phận thứ hai có $3$ người hưởng lương bậc I, $5$ người hưởng lương bậc II, $2$ người hưởng lương bậc III; bộ phận thứ ba có $4$ người hưởng lương bậc I, $2$ người hưởng lương bậc II, $1$ người hưởng lương bậc III. Biết rằng tổng lương hàng tháng của bộ phận thứ nhất, bộ phận thứ hai và bộ phận thứ ba lần lượt là $140$ triệu đồng, $145$ triệu đồng và $90$ triệu đồng. Mức lương bậc II là

A

$10$ triệu đồng

B

$12$ triệu đồng

C

$15$ triệu đồng

D

$20$ triệu đồng

Lời giải

Bước $1$ : Lập hệ phương trình

Gọi $x, y, z$ lần lượt là mức lương bậc $I, I I, I I I$ , tính theo triệu đồng.

⎩ ⎨ ⎧ 2 x + 4 y + 3 z 3 x + 5 y + 2 z 4 x + 2 y + z = 140 = 145 = 90

Bước $2$ : Khử ẩn và giải hệ

Khử $z$ bằng phương trình thứ ba, thu được hai phương trình theo $x, y$ .

3 (3) - (1) 2 (3) - (2) : 10 x + 2 y = 130 \Rightarrow 5 x + y = 65 : 5 x - y = 35 \Rightarrow x = 10, y = 15

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Mức lương bậc $I I I$ là $z = 90 - 4 \cdot 10 - 2 \cdot 15 = 20$ , nên chọn $C$ ; $A, D$ lần lượt là mức bậc $I, I I I$ , còn $B$ không thỏa hệ.

y = 15 triệu đ \overset{ˋ}{\overset{o}{ˆ}} ng

Đáp án: C — hệ phương trình cho mức lương bậc

I I

là

y = 15

triệu đồng.

Câu 4

Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số $y = 1 0^{x}$ ?

Hình minh họa

A

$y = 1 0^{x} ln (10)$

B

$y = 1 0^{x}$

C

$y = \frac{1 0 ^{x + 1}}{x + 1}$

D

$y = \frac{1 0 ^{x}}{l n ( 10 )}$

Lời giải

Bước 1: Áp dụng công thức

Với cơ số $10$ , nguyên hàm của $1 0^{x}$ là:

\int 1 0^{x} d x = \frac{1 0 ^{x}}{ln ( 10 )} + C

Bước 2: Đối chiếu phương án

Chọn D vì $(\frac{1 0 ^{x}}{l n ( 10 )})^{'} = 1 0^{x}$ ; A sai vì nhân thêm $ln (10)$ , B sai vì thiếu hệ số chia, C sai vì không đúng công thức nguyên hàm hàm mũ.

(\frac{1 0 ^{x}}{ln ( 10 )})^{'} = \frac{1 0 ^{x} ln ( 10 )}{ln ( 10 )} = 1 0^{x}

Đáp án: D — vì

(\frac{1 0 ^{x}}{ln ( 10 )})^{'} = 1 0^{x}

.

Câu 5

Quãng đường trung bình mà bạn Chi chạy được là

Hình minh họa

A

$3.41$

B

Không xác định do thiếu dữ kiện các quãng đường thành phần

C

$3.45$

D

$3.36$

Lời giải

Bước 1: Xác định công thức

Dùng công thức trung bình cộng của các quãng đường.

\overline{s} = \frac{s _{1} + s _{2} + \dots + s _{n}}{n}

Bước 2: Kiểm tra dữ kiện

Đề chưa cung cấp các giá trị $s_{1}, s_{2}, \dots, s_{n}$ , nên không thể thực hiện phép tính.

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chưa xác định được phương án đúng; $A$ , $B$ , $C$ , $D$ đều chưa đủ căn cứ lựa chọn vì đề thiếu dữ kiện quãng đường.

Đáp án: Chưa đủ dữ kiện để chọn đáp án hoặc tính quãng đường trung bình.

Câu 6

Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên như sau. Diện tích tam giác tạo bởi $3$ điểm cực trị của đồ thị hàm số $y = f (x)$ là:

Hình minh họa

A

$4$

B

$\frac{1}{2}$

C

$2$

D

$1$

Lời giải

Bước $1$ : Xác định ba điểm cực trị

Đọc bảng biến thiên, ba điểm cực trị là $A (- 1; 0)$ , $B (0; 1)$ , $C (1; 0)$ .

A (- 1; 0), B (0; 1), C (1; 0)

Bước $2$ : Tính diện tích tam giác

Chọn $A C$ làm đáy vì $A$ và $C$ cùng tung độ.

A C = 1 - (- 1) = 2, h = 1, S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 = 1

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Chọn $D$ ; các phương án $A$ , $B$ , $C$ sai vì lần lượt cho kết quả $4$ , $\frac{1}{2}$ , $2$ , đều khác $S = 1$ .

Đáp án:

D

— diện tích tam giác qua ba điểm cực trị bằng

1

.

Câu 7

Cho bất phương trình $lo g_{2} (5^{x} - 1) \leq m$ .

Khi $m = 2$ , tập nghiệm của bất phương trình là

A

$(- \infty; 1]$ .

B

$(0; 1]$ .

C

$(- \infty; 1)$ .

D

$[0; 1]$ .

Lời giải

Bước 1: Tìm điều kiện xác định

Biểu thức logarit xác định khi $5^{x} - 1 > 0$ .

5^{x} - 1 > 0 ⟺ 5^{x} > 1 ⟺ x > 0

Bước 2: Giải bất phương trình

Vì cơ số $2 > 1$ , bất phương trình giữ nguyên chiều khi chuyển sang dạng mũ.

lo g_{2} (5^{x} - 1) \leq 2 ⟺ 5^{x} - 1 \leq 2^{2} = 4 ⟺ 5^{x} \leq 5 ⟺ x \leq 1

Bước 3: Đối chiếu phương án

Kết hợp $x > 0$ và $x \leq 1$ , suy ra $x \in (0; 1]$ .

Phương án đúng là B; A, C, D sai vì lần lượt chứa $x \leq 0$ , loại $x = 1$ , và chứa $x = 0$ .

x \in (0; 1]

Đáp án: B — Điều kiện

x > 0

kết hợp với

x \leq 1

cho tập nghiệm

(0; 1]

.

Câu 8

Cho bất phương trình $lo g_{2} (5^{x} - 1) \leq m$ .

Gọi $S$ là tập tất cả các giá trị nguyên của $m$ sao cho bất phương trình có đúng 3 nghiệm nguyên. Số phần tử của $S$ là

A

0

B

1

C

2

D

3

Lời giải

Bước 1: Biến đổi bất phương trình

Điều kiện xác định là $5^{x} - 1 > 0 \Leftrightarrow x > 0$ .

Vì $2 > 1$ , bất phương trình tương đương với $5^{x} \leq 2^{m} + 1$ .

5^{x} - 1 > 0 ⟺ x > 0, lo g_{2} (5^{x} - 1) \leq m ⟺ 5^{x} \leq 2^{m} + 1

Bước 2: Điều kiện có đúng ba nghiệm

Các nghiệm nguyên là $x \in Z_{> 0}$ và $x \leq lo g_{5} (2^{m} + 1)$ .

Có đúng $3$ nghiệm khi cận trên thuộc đoạn $[3; 4)$ .

3 \leq lo g_{5} (2^{m} + 1) < 4 ⟺ 125 \leq 2^{m} + 1 < 625 ⟺ 124 \leq 2^{m} < 624

Bước 3: Tìm các giá trị của $m$

Các lũy thừa của $2$ thỏa mãn là $128$ , $256$ , $512$ .

m \in {7, 8, 9} ⟹ ∣ S ∣ = 3

Bước 4: Đối chiếu phương án

Phương án đúng là $D$ . Các phương án $A$ , $B$ , $C$ sai vì lần lượt cho số phần tử là $0$ , $1$ , $2$ , không phù hợp với $∣ S ∣ = 3$ .

∣ S ∣ = 3

Đáp án:

D

— Có đúng

3

giá trị nguyên của

m

, cụ thể là

m \in {7, 8, 9}

.

Câu 9

Trong không gian $O x y z$ , cho đường thẳng $d : \frac{x - 2}{1} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z - 1}{1}$ và mặt phẳng $(P) : x + y - z - 3 = 0$ .

Côsin của góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ bằng

A

$\frac{1}{3}$

B

$\frac{2 2}{3}$

C

$\frac{2}{3}$

D

$\frac{2}{3}$

Lời giải

Bước 1: Xác định các vectơ

VTCP của $d$ là $u$ ; VTPT của $(P)$ là $n$ .

u = (1, - 1, 1), n = (1, 1, - 1)

Bước 2: Tính côsin góc

Tính tích vô hướng và độ dài các vectơ.

u \cdot n = 1 - 1 - 1 = - 1, ∥ u ∥ = ∥ n ∥ = 3, sin φ = \frac{1}{3}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $B$ . Các phương án $A$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt là $sin φ$ , thiếu $2$ và thiếu hệ số $2$ .

cos φ = 1 - (\frac{1}{3})^{2} = \frac{2 2}{3}

Đáp án: B — Vì

cos φ = \frac{2 2}{3}

.

Câu 10

Trong không gian $O x y z$ , cho đường thẳng $d : \frac{x - 2}{1} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z - 1}{1}$ và mặt phẳng $(P) : x + y - z - 3 = 0$ .

Gọi $A$ là giao điểm của $d$ và $(P)$ . Độ dài đoạn thẳng $O A$ bằng

A

$5$

B

$4$

C

$2$

D

$3$

Lời giải

Bước 1: Tham số hóa đường thẳng

Đặt tham số chung $t$ cho các tỉ số.

x = 2 + t, y = - 1 - t, z = 1 + t

Bước 2: Tìm giao điểm

Thay tọa độ tham số vào phương trình mặt phẳng để tìm $t$ .

(2 + t) + (- 1 - t) - (1 + t) - 3 = 0 \Rightarrow - 3 - t = 0 \Rightarrow t = - 3

Bước 3: Đối chiếu phương án

Suy ra tọa độ $A$ và tính độ dài $O A$ .

Chọn $D$ . Các phương án $A$ , $B$ , $C$ sai vì lần lượt lớn hơn, lớn hơn và nhỏ hơn kết quả $3$ .

A = (- 1, 2, - 2), O A = (- 1)^{2} + 2^{2} + (- 2)^{2} = 3

Đáp án: D — Vì

O A = 1 + 4 + 4 = 3

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG TP.HCM năm 2025 - Mã đề 14 — Toán học

Toán học

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Đổi cơ số

Bước 2: Tính nguyên hàm

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Tìm điểm tới hạn

Bước 2: Xét dấu đạo hàm

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Lập hệ phương trình

Bước 2: Khử ẩn và giải hệ

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Áp dụng công thức

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Xác định công thức

Bước 2: Kiểm tra dữ kiện

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Xác định ba điểm cực trị

Bước 2: Tính diện tích tam giác

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Tìm điều kiện xác định

Bước 2: Giải bất phương trình

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Biến đổi bất phương trình

Bước 2: Điều kiện có đúng ba nghiệm

Bước 3: Tìm các giá trị của m

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Xác định các vectơ

Bước 2: Tính côsin góc

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Tham số hóa đường thẳng

Bước 2: Tìm giao điểm

Bước 3: Đối chiếu phương án

Bước $1$ : Tìm điểm tới hạn

Bước $2$ : Xét dấu đạo hàm

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Bước $1$ : Lập hệ phương trình

Bước $2$ : Khử ẩn và giải hệ

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Bước $1$ : Xác định ba điểm cực trị

Bước $2$ : Tính diện tích tam giác

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Bước 3: Tìm các giá trị của $m$