Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG TP.HCM năm 2025 - Mã đề 01 — Toán học môn Toán học (Đánh giá Năng lực V-ACT)

Câu 1

Cho hàm số $y = x^{3} + 2 m x^{2} + (m + 3) x + 4 (C_{m})$ . Giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $(d) : y = x + 4$ cắt $(C_{m})$ tại ba điểm phân biệt $A (0; 4), B, C$ sao cho tam giác $K B C$ có diện tích bằng $82$ với điểm $K (1; 3)$ là:

A

$m = \frac{1 - 137}{2}$

B

$m = \frac{1 + 137}{2}$

C

$m = \frac{1 \pm 137}{2}$

D

$m = \frac{\pm 1 + 137}{2}$

Lời giải

Bước 1: Tìm hoành độ giao điểm

Phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm $x = 0$ ứng với $A$ , và hai nghiệm $r, s$ ứng với $B, C$ .

x^{3} + 2 m x^{2} + (m + 3) x + 4 - (x + 4) = x (x^{2} + 2 m x + m + 2) = 0

Bước 2: Biến đổi điều kiện diện tích

Độ dài $B C = 2 ∣ r - s ∣$ , còn khoảng cách từ $K$ đến $y = x + 4$ bằng $2$ .

S_{K B C} = \frac{1}{2} \cdot 2 ∣ r - s ∣ \cdot 2 = ∣ r - s ∣ = 82

Bước 3: Đối chiếu phương án

Với phương trình $x^{2} + 2 m x + m + 2 = 0$ , giải điều kiện hiệu hai nghiệm để tìm $m$ .

Chọn phương án $C$ ; $A, B$ chỉ lấy một nghiệm, còn $D$ chứa giá trị sai dấu.

Δ = (2 m)^{2} - 4 (m + 2) = 4 (m^{2} - m - 2), Δ = 82 ⟹ m^{2} - m - 34 = 0 ⟹ m = \frac{1 \pm 137}{2}

Đáp án: C —

m = \frac{1 \pm 137}{2}

theo điều kiện

∣ r - s ∣ = 82

.

Câu 2

Để tính đường kính và diện tích của một miệng giếng nước có dạng hình tròn, người ta tiến hành đo tại ba vị trí $A, B, C$ trên thành giếng. Kết quả đo được là $B C = 6 m$ và $B A C = 15 0^{\circ}$ như hình dưới. Hỏi diện tích miệng giếng là bao nhiêu mét vuông?

Hình minh họa

A

$115$

B

$113$

C

$110$

D

$99$

Lời giải

Bước 1: Xác định số đo cung

Vì $A$ nằm trên đường tròn nên $B A C$ là góc nội tiếp, chắn cung $B C$ .

S \overset{ˊ}{\overset{o}{ˆ}} đ o cung B C = 2 \times 15 0^{\circ} = 30 0^{\circ}

Bước 2: Tính bán kính

Dùng công thức dây cung với $θ = 30 0^{\circ}$ .

B C = 2 R sin (\frac{30 0 ^{\circ}}{2}) = 2 R sin 15 0^{\circ} = 2 R \times 0.5 = R

Bước 3: Tính diện tích

Vì $B C = 6 m$ nên $R = 6 m$ .

S = π R^{2} = π \times 6^{2} = 36 π \approx 113 m^{2}

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn phương án B: $113$ . Các phương án A, C, D sai vì không trùng với kết quả $36 π \approx 113 m^{2}$ .

Đáp án: B — diện tích miệng giếng là

36 π \approx 113 m^{2}

.

Câu 3

Khi thống kê điểm cuối năm của học sinh, lớp $10 A$ có $25$ em giỏi môn Toán, $21$ em giỏi môn Văn, $7$ em giỏi cả môn Toán và môn Văn và có $4$ em không giỏi môn nào trong hai môn Toán, Văn. Hỏi lớp $10 A$ có bao nhiêu học sinh?

A

$39$

B

$35$

C

$43$

D

$46$

Lời giải

Bước 1: Tính số em giỏi ít nhất một môn

Áp dụng công thức cộng cho hai tập hợp $T$ và $V$ .

∣ T \cup V ∣ = 25 + 21 - 7 = 39

Bước 2: Tính tổng số học sinh

Cộng số em giỏi ít nhất một môn với số em không giỏi môn nào.

N = 39 + 4 = 43

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án C. Các phương án A, B, D sai vì lần lượt cho $39$ , $35$ , $46$ , không phải tổng số học sinh $43$ .

Đáp án: C — Tổng số học sinh là

∣ T \cup V ∣ + 4 = 39 + 4 = 43

.

Câu 4

Trong không gian $O x y z$ , cho điểm $H (1; 3; 5)$ . Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua $H$ cắt các trục tọa độ $O x, O y, O z$ lần lượt tại $A, B, C$ (khác $O$ ) sao cho $H$ là trực tâm tam giác $A B C$ . Phương trình mặt phẳng $(P)$ là

A

$x + 3 y + 5 z + 1 = 0.$

B

$x + 3 y + 5 z = 0.$

C

$x + 3 y + 5 z - 1 = 0.$

D

$x + 3 y + 5 z - 35 = 0$

Lời giải

Bước 1: Lập phương trình dạng đoạn chắn

Với $A (a, 0, 0)$ , $B (0, b, 0)$ , $C (0, 0, c)$ , mặt phẳng có dạng đoạn chắn.

Do $H (1; 3; 5) \in (P)$ , ta được điều kiện tương ứng.

\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1; \frac{1}{a} + \frac{3}{b} + \frac{5}{c} = 1

Bước 2: Dùng điều kiện trực tâm

Các đường cao lần lượt vuông góc với các cạnh đối, nên lập tích vô hướng bằng $0$ .

B C \cdot A H = 0 \Rightarrow - 3 b + 5 c = 0 \Rightarrow c = \frac{3}{5} b; A C \cdot B H = 0 \Rightarrow - a + 5 c = 0 \Rightarrow a = 5 c; A B \cdot C H = 0 \Rightarrow - a + 3 b = 0 \Rightarrow a = 3 b

Bước 3: Xác định các đoạn chắn

Đặt $b = t$ thì $a = 3 t$ , $c = \frac{3}{5} t$ . Thay vào điều kiện chứa $H$ để xác định $t$ .

\frac{1}{3 t} + \frac{3}{t} + \frac{5}{\frac{3}{5} t} = 1 \Rightarrow \frac{35}{3 t} = 1 \Rightarrow t = \frac{35}{3}; a = 35, b = \frac{35}{3}, c = 7; \frac{x}{35} + \frac{y}{\frac{35}{3}} + \frac{z}{7} = 1 \Rightarrow x + 3 y + 5 z - 35 = 0

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $D$ : $x + 3 y + 5 z - 35 = 0$ . Các phương án $A$ , $B$ , $C$ sai vì có hệ số tự do lần lượt là $1$ , $0$ , $- 1$ , không phù hợp.

Đáp án:

D

— phương trình mặt phẳng là

x + 3 y + 5 z - 35 = 0

.

Câu 5

Cho $(x^{2} + 2 - x)^{2025} = 16$ , giá trị của biểu thức $lo g_{2} (x^{2} + 2 + x)$ là

A

$- \frac{2021}{2025}$

B

$- \frac{1}{2025}$

C

$\frac{1}{2025}$

D

$\frac{2021}{2025}$

Lời giải

Bước 1: Đặt ẩn phụ

Đặt $a = x^{2} + 2 - x$ , khi đó $a > 0$ .

a^{2025} = 2^{4} \Rightarrow a = 2^{\frac{4}{2025}}

Bước 2: Tìm biểu thức đối liên hợp

Dùng hằng đẳng thức tích liên hợp để suy ra biểu thức cần tính.

(x^{2} + 2 - x) (x^{2} + 2 + x) = 2 \Rightarrow x^{2} + 2 + x = \frac{2}{a} = \frac{2}{2 ^{4/2025}} = 2^{1 - \frac{4}{2025}} = 2^{\frac{2021}{2025}}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Suy ra $lo g_{2} (x^{2} + 2 + x) = \frac{2021}{2025}$ . Chọn phương án $D$ ; các phương án $A$ , $B$ , $C$ sai vì không khớp kết quả này.

Đáp án: D — vì

lo g_{2} (x^{2} + 2 + x) = \frac{2021}{2025}

.

Câu 6

Cho hàm số $y = \frac{a x + b}{c x + d}$ $(a d - b c \neq = 0; a, c \neq = 0)$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tìm phương trình đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Hình minh họa

A

$x = 1, y = 1$

B

$x = - 1, y = 1$

C

$x = 1, y = 2$

D

$x = 2, y = 1$

Lời giải

Bước 1: Đọc tiệm cận từ đồ thị

Đồ thị cho biết tiệm cận đứng là $x = 1$ và tiệm cận ngang là $y = 1$ .

x = 1, y = 1

Bước 2: Đối chiếu phương án

Chọn phương án A: $x = 1$ , $y = 1$ .

B, C, D sai vì lần lượt sai tiệm cận đứng hoặc tiệm cận ngang.

Đáp án: A — vì đồ thị có tiệm cận đứng

x = 1

và tiệm cận ngang

y = 1

.

Câu 7

Cho tam giác $A B C$ có các đường cao $B D, C E$ . Biết $B A C = 7 5^{\circ}$ , $A B C = 6 0^{\circ}$ . Tính $\frac{B D}{C E}$ .

A

$\frac{6}{3}$

B

$\frac{3 2}{2}$

C

$2$

D

$\frac{2}{2}$

Lời giải

Bước 1: Tính góc còn lại

Từ tổng ba góc tam giác, suy ra $∠ C = 4 5^{\circ}$ .

∠ C = 18 0^{\circ} - 7 5^{\circ} - 6 0^{\circ} = 4 5^{\circ}

Bước 2: Liên hệ hai đường cao

Tính diện tích theo hai đường cao để suy ra tỉ số cần tìm.

S = \frac{1}{2} \cdot A C \cdot B D = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot C E \Rightarrow \frac{B D}{C E} = \frac{A B}{A C}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Theo định luật sin, $\frac{A B}{A C} = \frac{sin 4 5 ^{\circ}}{sin 6 0 ^{\circ}} = \frac{2}{3} = \frac{6}{3}$ . Chọn A; B, C, D sai vì không trùng với kết quả tính được.

\frac{B D}{C E} = \frac{A B}{A C} = \frac{sin 4 5 ^{\circ}}{sin 6 0 ^{\circ}} = \frac{\frac{2}{2}}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} = \frac{6}{3}

Đáp án: A —

\frac{6}{3}

vì

\frac{B D}{C E} = \frac{A B}{A C} = \frac{sin 4 5 ^{\circ}}{sin 6 0 ^{\circ}}

.

Câu 8

Cho hàm số $f (x) = - x^{3} + m x^{2} - (m^{2} + m + 1) x$ , với $m$ là tham số thực.

Với $m = 2$ thì giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f (x)$ trên đoạn $[0; 4]$ bằng:

A

$- 40$

B

$0$

C

$20$

D

$- 60$

Lời giải

Bước 1: Thay tham số

Thay $m = 2$ vào hàm số.

f (x) = - x^{3} + 2 x^{2} - (2^{2} + 2 + 1) x = - x^{3} + 2 x^{2} - 7 x

Bước 2: Xét dấu đạo hàm

Giải phương trình $f^{'} (x) = 0$ bằng biệt thức.

f^{'} (x) = - 3 x^{2} + 4 x - 7; - 3 x^{2} + 4 x - 7 = 0 \Rightarrow 3 x^{2} - 4 x + 7 = 0; Δ = (- 4)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 7 = 16 - 84 = - 68

Bước 3: Tìm giá trị nhỏ nhất

Vì $f^{'} (0) = - 7$ nên hàm số nghịch biến trên toàn bộ đoạn $[0; 4]$ .

Giá trị nhỏ nhất đạt tại $x = 4$ .

f (4) = - 4^{3} + 2 \cdot 4^{2} - 7 \cdot 4 = - 64 + 32 - 28 = - 60

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $D$ có giá trị $- 60$ ; các phương án $A$ , $B$ , $C$ sai vì không trùng với giá trị nhỏ nhất đã tính.

Đáp án: D — hàm số nghịch biến trên

[0; 4]

nên giá trị nhỏ nhất là

f (4) = - 60

.

Câu 9

Cho hàm số $f (x) = - x^{3} + m x^{2} - (m^{2} + m + 1) x$ , với $m$ là tham số thực.

Hàm số nghịch biến trên khoảng $(1; 3)$ khi và chỉ khi:

A

$m \in (0; + \infty)$

B

$m \in R$

C

$m \in (- \infty; 0)$

D

$m \in R ∖ {0}$

Lời giải

Bước 1: Tính đạo hàm

Tính đạo hàm của hàm số đã cho.

f^{'} (x) = - 3 x^{2} + 2 m x - (m^{2} + m + 1)

Bước 2: Kiểm tra tại biên

Tại hai đầu mút, ta có các giá trị đều âm với mọi $m \in R$ .

f^{'} (1) = - m^{2} + m - 4 = - (m^{2} - m + 4) < 0; f^{'} (3) = - m^{2} + 5 m - 28 = - (m^{2} - 5 m + 28) < 0

Bước 3: Xét giá trị lớn nhất

Vì $f^{'} (x)$ là parabol có hệ số $- 3$ , giá trị lớn nhất đạt tại $x = \frac{m}{3}$ và vẫn âm với mọi $m \in R$ .

x = \frac{m}{3}; f^{'} (\frac{m}{3}) = - \frac{2 m ^{2} + 3 m + 3}{3} < 0

Bước 4: Đối chiếu phương án

Suy ra, với mọi $m \in R$ , ta có $f^{'} (x) < 0$ trên $(1; 3)$ nên hàm số nghịch biến.

Chọn $B$ . Các phương án $A$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt chỉ xét $m > 0$ , $m < 0$ hoặc loại $m = 0$ .

Đáp án: B — Vì

f^{'} (x) < 0

trên

(1; 3)

với mọi

m \in R

.

Câu 10

Cho hàm số $f (x) = - x^{3} + m x^{2} - (m^{2} + m + 1) x$ , với $m$ là tham số thực.

Gọi $S$ là tập hợp các giá trị của tham số $m$ sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[- 1; 1]$ bằng $- 6$ . Tính tổng các phần tử của $S$ .

A

$0$

B

$4$

C

$- 4$

D

$22$

Lời giải

Bước 1: Xét tính đơn điệu

Vì hàm số là đa thức bậc ba, xét đạo hàm.

Với mọi $m \in R$ , hàm số giảm trên đoạn $[- 1; 1]$ .

f^{'} (x) = - 3 x^{2} + 2 m x - (m^{2} + m + 1), f^{'} (0) = - (m^{2} + m + 1)

Bước 2: Tính giá trị nhỏ nhất

Do hàm số giảm, giá trị nhỏ nhất trên $[- 1; 1]$ đạt tại $x = 1$ .

f (1) = - 1 + m - (m^{2} + m + 1) = - m^{2} - 2

Bước 3: Tìm tham số

Đặt giá trị nhỏ nhất bằng $- 6$ và giải phương trình theo $m$ .

- m^{2} - 2 = - 6 ⟹ m^{2} = 4 ⟹ m = 2 hoặc m = - 2

Bước 4: Đối chiếu phương án

Suy ra $S = {2, - 2}$ nên tổng các phần tử của $S$ bằng $0$ .

A đúng vì cho kết quả $0$ ; B, C, D sai vì các giá trị lần lượt khác $0$ .

S = {2, - 2}, 2 + (- 2) = 0

Đáp án: A — Tổng các phần tử của

S = {2, - 2}

là

0

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG TP.HCM năm 2025 - Mã đề 01 — Toán học

Toán học

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Tìm hoành độ giao điểm

Bước 2: Biến đổi điều kiện diện tích

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Xác định số đo cung

Bước 2: Tính bán kính

Bước 3: Tính diện tích

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Tính số em giỏi ít nhất một môn

Bước 2: Tính tổng số học sinh

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Lập phương trình dạng đoạn chắn

Bước 2: Dùng điều kiện trực tâm

Bước 3: Xác định các đoạn chắn

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Đặt ẩn phụ

Bước 2: Tìm biểu thức đối liên hợp

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Đọc tiệm cận từ đồ thị

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Tính góc còn lại

Bước 2: Liên hệ hai đường cao

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Thay tham số

Bước 2: Xét dấu đạo hàm

Bước 3: Tìm giá trị nhỏ nhất

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Tính đạo hàm

Bước 2: Kiểm tra tại biên

Bước 3: Xét giá trị lớn nhất

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Xét tính đơn điệu

Bước 2: Tính giá trị nhỏ nhất

Bước 3: Tìm tham số

Bước 4: Đối chiếu phương án