Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG HN năm 2025 - Mã đề 30 — Toán học và xử lí số liệu môn Toán học (Đánh giá Năng lực (HSA))

Câu 1

Dựa vào bảng sau hãy cho biết các loại nước của nhãn hiệu Vfresh chiếm tỉ lệ người dùng cao nhất đặc biệt là sản phẩm nước cam ép chiếm bao nhiêu phần trăm?

A

$50, 9%$

B

$69, 3%$

C

$42, 3%$

D

$32, 1%$

Lời giải

Bước 1: Xác định mục cần đọc

Trên biểu đồ, tìm mục nước cam ép Vfresh.

Đọc tỉ lệ phần trăm tương ứng với mục này.

Bước 2: Ghi nhận số liệu

Giá trị đọc được là $69, 3%$ .

69, 3%

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $B$ : $69, 3%$ ; các phương án $A$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt không trùng số liệu cần tìm: $50, 9%$ , $42, 3%$ , $32, 1%$ .

Đáp án:

B

— Nước cam ép Vfresh chiếm

69, 3%

người dùng.

Câu 2

Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian được tính bởi công thức $v (t) = 3 t + 2$ (m/s). Biết tại thời điểm $t = 2$ s thì vật đi được quãng đường là $10$ m. Hỏi tại thời điểm $t = 30$ s thì vật đi được quãng đường là bao nhiêu mét (nhập đáp án vào ô trống)?

Đáp án đúng: 1410

Lời giải

Bước 1: Lập hàm quãng đường

Lấy nguyên hàm của vận tốc để tìm $S (t)$ .

S (t) = \int (3 t + 2) d t = \frac{3 t ^{2}}{2} + 2 t + C

Bước 2: Tìm hằng số

Áp dụng điều kiện $S (2) = 10$ .

10 = \frac{3 \cdot 2 ^{2}}{2} + 2 \cdot 2 + C = 10 + C ⟹ C = 0

Bước 3: Tính quãng đường cần tìm

Thay $t = 30$ vào hàm quãng đường.

S (30) = \frac{3 \cdot 3 0 ^{2}}{2} + 2 \cdot 30 = 1350 + 60 = 1410

Đáp án:

1410

— vì

S (30) = 1410 m

.

Câu 3

Một ruộng bậc thang có thửa thấp nhất (bậc thứ nhất) nằm ở độ cao $950 m$ so với mực nước biển, độ chênh lệch giữa thửa trên và thửa dưới trung bình là $1, 5 m$ . Hỏi thửa ruộng ở bậc thứ $12$ có độ cao là bao nhiêu mét so với mực nước biển (nhập đáp án vào ô trống)?

Đáp án đúng: 966{,}5

Lời giải

Bước 1: Xác định công thức

Độ cao các thửa ruộng tạo thành một cấp số cộng.

u_{n} = u_{1} + (n - 1) d

Bước 2: Tính độ cao bậc 12

Thay $u_{1} = 950$ , $d = 1, 5$ , $n = 12$ vào công thức.

u_{12} = 950 + (12 - 1) \cdot 1, 5 = 950 + 16, 5 = 966, 5

Đáp án:

966, 5 m

— áp dụng công thức

u_{12} = u_{1} + 11 d

.

Câu 4

Số cách xếp 5 học sinh ngồi vào một dãy gồm 5 chiếc ghế sao mỗi ghế có đúng một học sinh ngồi là

A

$600$

B

$120$

C

$3125$

D

$720$

Lời giải

Bước 1: Nhận dạng bài toán

Xếp $5$ học sinh phân biệt vào $5$ vị trí là bài toán hoán vị.

Bước 2: Đối chiếu phương án

Áp dụng công thức hoán vị cho $5$ học sinh. Các phương án A, C, D sai vì không bằng giá trị tính được.

5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120

Đáp án: B — Có

120

cách theo công thức hoán vị

5!

.

Câu 5

Cho hàm số $f (x) = {3 x + a - 1, \frac{1 + 2 x - 1}{x}, khi x \leq 0 khi x > 0$ . Tìm tất cả giá trị của $a$ để hàm số đã cho liên tục tại điểm $x = 0$ .

A

$a = 1$

B

$a = 3$

C

$a = 2$

D

$a = 4$

Lời giải

Bước 1: Tính giá trị và giới hạn trái

Vì $0$ thuộc nhánh trái nên $f (0) = a - 1$ ; giới hạn trái cũng bằng $a - 1$ .

f (0) = x \to 0^{-} lim f (x) = a - 1

Bước 2: Tính giới hạn phải

Nhân liên hợp để tính giới hạn của nhánh phải tại $x = 0$ .

x \to 0^{+} lim \frac{1 + 2 x - 1}{x} = x \to 0^{+} lim \frac{2}{1 + 2 x + 1} = 2

Bước 3: Áp dụng điều kiện liên tục

Đặt giá trị tại điểm bằng giới hạn phải rồi giải $a$ .

a - 1 = 2 \Rightarrow a = 3

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn $B$ . Các phương án $A$ , $C$ , $D$ lần lượt cho $a = 1$ , $a = 2$ , $a = 4$ , không thỏa điều kiện liên tục.

Đáp án: \mathrm{B}\ (a=3)

- t h ỏ a đ i \overset{ˋ}{\overset{e}{^}} u k i ệ n

f(0)=\lim\limits_{x\to0^+}f(x)$.

Câu 6

Cho cấp số nhân $(u_{n})$ thỏa mãn $2 (u_{3} + u_{4} + u_{5}) = u_{6} + u_{7} + u_{8}$ . Tính $\frac{u _{8} + u _{9} + u _{10}}{u _{2} + u _{3} + u _{4}}$

Đáp án đúng: 4

Lời giải

Bước $1$ : Tìm công bội

Đặt $u_{n} = a r^{n - 1}$ ; biểu thức xác định nên $a \neq = 0$ , $r \neq = 0$ .

Vì $1 + r + r^{2} \neq = 0$ với $r \in R$ , ta rút gọn điều kiện.

2 a r^{2} (1 + r + r^{2}) = a r^{5} (1 + r + r^{2}) \Rightarrow 2 r^{2} = r^{5} \Rightarrow r^{3} = 2

Bước $2$ : Rút gọn thương số

Đặt nhân tử chung ở tử và mẫu, rồi triệt tiêu các thừa số giống nhau.

\frac{u _{8} + u _{9} + u _{10}}{u _{2} + u _{3} + u _{4}} = \frac{a r ^{7} ( 1 + r + r ^{2} )}{a r ( 1 + r + r ^{2} )} = r^{6}

Bước $3$ : Tính kết quả

Dùng $r^{3} = 2$ để tính $r^{6}$ .

r^{6} = (r^{3})^{2} = 2^{2} = 4

Đáp án:

4

— vì

r^{6} = (r^{3})^{2} = 4

.

Câu 7

Cân nặng của 35 người trưởng thành tại một khu dân cư được cho như sau:

43, 51, 47, 62, 48, 40, 50, 62, 53, 56, 40, 48, 56, 53, 50, 42, 55, 52, 48, 46, 45, 54, 52, 50, 47, 44, 54, 55, 60, 63, 58, 55, 56, 60, 53.

Chuyển mẫu số liệu trên sang dạng ghép nhóm với sáu nhóm có độ dài bằng nhau. Khi đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm đó bằng bao nhiêu?

A

47,8

B

48,5

C

47

D

47,5

Lời giải

Bước 1: Chọn độ dài nhóm

Biên độ là $63 - 40 = 23$ ; chọn độ dài nhóm $h = 4$ để phủ hết dữ liệu.

Các nhóm: $[40, 44), [44, 48), [48, 52), [52, 56), [56, 60), [60, 64)$ .

h = \frac{63 - 40}{6} \approx 3, 83 \Rightarrow h = 4

Bước 2: Lập tần số tích lũy

Tần số tương ứng của sáu nhóm là $4, 5, 7, 10, 4, 5$ .

Tần số tích lũy là $4, 9, 16, 26, 30, 35$ ; vì $\frac{n}{4} = 8, 75$ , $Q_{1}$ thuộc nhóm $[44, 48)$ .

f_{i} = (4, 5, 7, 10, 4, 5), F_{i} = (4, 9, 16, 26, 30, 35)

Bước 3: Tính và đối chiếu phương án

Với $L = 44$ , $F = 4$ , $f = 5$ , $h = 4$ , áp dụng công thức tứ phân vị.

Chọn $A$ ; $B$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt nội suy sai, lấy cận dưới, hoặc tính sai phần nội suy.

Q_{1} = 44 + \frac{\frac{35}{4} - 4}{5} \cdot 4 = 47, 8

Đáp án:

A . 47, 8

— kết quả nội suy trong nhóm

[44, 48)

.

Câu 8

Một vật chuyển động với vận tốc $10 m/s$ thì tăng tốc với gia tốc $a (t) = 6 t$ (t là thời gian). Chiều dài đoạn đường của vật đi được trong khoảng thời gian $5$ giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc bằng:

A

$175 m$ .

B

$425 m$ .

C

$800 m$ .

D

$300 m$ .

Lời giải

Bước 1: Tìm vận tốc

Dùng $a (t) = v^{'} (t)$ và điều kiện $v (0) = 10$ .

v (t) = 10 + \int_{0}^{t} 6 τ d τ = 10 + 3 t^{2}

Bước 2: Tính quãng đường

Tính tích phân vận tốc trên khoảng thời gian từ $0$ đến $5$ .

s = \int_{0}^{5} (10 + 3 t^{2}) d t = [10 t + t^{3}]_{0}^{5} = 50 + 125 = 175 m

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn A: $175 m$ . B, C, D sai vì lần lượt cho $425 m$ , $800 m$ , $300 m$ , trái với kết quả tính được.

Đáp án: A — Quãng đường tính được là

s = 175 m

.

Câu 9

Trên mặt phẳng tọa độ $O x y$ , tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = x^{3} + 3 x^{2} 6 x + 1$ tại điểm có hoành độ bằng $1$ và cắt hai trục tọa độ tại $A, B$ . Tính diện tích tam giác $O A B$ (nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án đúng: 8/3

Lời giải

Bước 1: Tìm tiếp điểm và hệ số góc

Tính đạo hàm, hệ số góc và tung độ tiếp điểm tại $x = 1$ .

y^{'} = 3 x^{2} + 6 x - 6, y^{'} (1) = 3, y (1) = - 1

Bước 2: Lập phương trình tiếp tuyến

Dùng công thức tiếp tuyến qua điểm $(1, - 1)$ với hệ số góc $3$ .

y + 1 = 3 (x - 1) \Rightarrow y = 3 x - 4

Bước 3: Tính diện tích

Tiếp tuyến cắt $O x$ tại $A$ và $O y$ tại $B$ .

A (\frac{4}{3}, 0), B (0, - 4), S_{O A B} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot 4 = \frac{8}{3}

Đáp án:

\frac{8}{3}

— tính từ hai giao điểm

A (\frac{4}{3}, 0)

và

B (0, - 4)

.

Câu 10

Cho các số thực dương $a, b$ thỏa mãn $lo g_{2} a = x, lo g_{2} b = y$ . Tính $P = lo g_{2} (a^{2} b^{3})$ .

A

$P = 2 x + 3 y$ .

B

$P = x^{2} + y^{3}$ .

C

$P = 6 x y$ .

D

$P = x^{2} y^{3}$ .

Lời giải

Bước 1: Tách tích và lũy thừa

Áp dụng đồng thời hai tính chất logarit.

lo g_{2} (a^{2} b^{3}) = lo g_{2} (a^{2}) + lo g_{2} (b^{3}) = 2 lo g_{2} a + 3 lo g_{2} b

Bước 2: Đối chiếu phương án

Thay giả thiết vào biểu thức trên.

Chọn phương án $A$ . Các phương án $B$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt bình phương hoặc lập phương sai đại lượng, nhân sai hệ số, và nhân các giá trị thay vì cộng có trọng số.

P = 2 x + 3 y

Đáp án: Đáp án

A

— khai triển logarit của tích và lũy thừa cho

P = 2 x + 3 y

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG HN năm 2025 - Mã đề 30 — Toán học và xử lí số liệu

Toán học và xử lí số liệu

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Xác định mục cần đọc

Bước 2: Ghi nhận số liệu

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Lập hàm quãng đường

Bước 2: Tìm hằng số

Bước 3: Tính quãng đường cần tìm

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Xác định công thức

Bước 2: Tính độ cao bậc 12

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Nhận dạng bài toán

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Tính giá trị và giới hạn trái

Bước 2: Tính giới hạn phải

Bước 3: Áp dụng điều kiện liên tục

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Tìm công bội

Bước 2: Rút gọn thương số

Bước 3: Tính kết quả

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Chọn độ dài nhóm

Bước 2: Lập tần số tích lũy

Bước 3: Tính và đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Tìm vận tốc

Bước 2: Tính quãng đường

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Tìm tiếp điểm và hệ số góc

Bước 2: Lập phương trình tiếp tuyến

Bước 3: Tính diện tích

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Tách tích và lũy thừa

Bước 2: Đối chiếu phương án

Bước $1$ : Tìm công bội

Bước $2$ : Rút gọn thương số

Bước $3$ : Tính kết quả