Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG HN năm 2025 - Mã đề 25 — Toán học môn Toán học (Đánh giá Năng lực (HSA))

Câu 1

Hàng ngày mực nước tại một cảng biển lên xuống theo thủy triều. Độ sâu $h (m)$ của mực nước theo thời gian $t (giờ)$ trong một ngày cho bởi công thức: $h = 16 + 7 sin (\frac{π t}{12})$ $với 0 \leq t \leq 24$ .. Tìm thời điểm $t$ (giờ) mà mực nước tại cảng là cao nhất (nhập đáp án vào ô trống).

Đáp án đúng: 6

Lời giải

Bước 1: Tìm mực nước lớn nhất

Dùng $- 1 \leq sin (\frac{π t}{12}) \leq 1$ để tìm cận trên của $h$ .

- 1 \leq sin (\frac{π t}{12}) \leq 1 \Rightarrow - 7 \leq sin (\frac{π t}{12}) \leq 7 \Rightarrow 9 \leq 16 + 7 sin (\frac{π t}{12}) \leq 23

Bước 2: Điều kiện đạt cực đại

Mực nước đạt cực đại khi $sin (\frac{π t}{12}) = 1$ .

sin (\frac{π t}{12}) = 1 ⟺ \frac{π t}{12} = \frac{π}{2} + 2 k π ⟺ t = 6 + 24 k, k \in Z

Bước 3: Chọn thời điểm trong ngày

Kết hợp $0 \leq t \leq 24$ , chỉ nhận $t = 6$ .

0 \leq 6 + 24 k \leq 24 \Rightarrow k = 0 \Rightarrow t = 6

Đáp án:

t = 6

giờ — vì

sin (\frac{π t}{12}) = 1

nên

h

đạt cực đại.

Câu 2

Tổng bình phương tối đa các nghiệm nguyên của bất phương trình $\frac{( x ^{2} - 1 ) ( 2 x ^{2} + 3 x - 5 )}{4 - x ^{2}} \geq 0$ là:

A

$5$

B

$2$

C

$0$

D

$1$

Lời giải

Bước 1: Rút gọn và xét dấu

Với $x \neq = 1$ , $(x - 1)^{2} > 0$ nên bất phương trình tương đương $\frac{( x + 1 ) ( 2 x + 5 )}{( 2 - x ) ( 2 + x )} \geq 0$ (kèm $x = 1$ ).

Xét dấu các nghiệm: $x = - 2, 5; x = - 2; x = - 1; x = 2$ .

\frac{( x + 1 ) ( 2 x + 5 )}{( 2 - x ) ( 2 + x )} \geq 0

Bước 2: Tìm nghiệm nguyên

Nghiệm nguyên thỏa mãn là $x \in {- 2, 5 < x < - 2} \cup {- 1 \leq x < 2}$ .

Các nghiệm nguyên: $x = - 1, x = 0, x = 1$ .

S = (- 2, 5; - 2) \cup [- 1; 2)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Tổng bình phương các nghiệm là $(- 1)^{2} + 0^{2} + 1^{2} = 2$ . Phương án B đúng, các phương án A, C, D sai vì lần lượt tính nhầm tập nghiệm, quên nghiệm $x = 1$ hoặc tính sai bình phương.

(- 1)^{2} + 0^{2} + 1^{2} = 2

Đáp án: B — Tổng bình phương các nghiệm nguyên

x \in {- 1, 0, 1}

là

2

.

Câu 3

Biết $\int_{3}^{9} g (\frac{x}{3}) d x = 5$ và $\int_{1}^{3} h (x) d x = 16$ . Tính $\int_{1}^{3} [h (x) - 6 g (x)] d x$

A

$6$

B

$- 6$

C

$- 3$

D

$3$

Lời giải

Bước 1: Đổi biến tích phân của $g$

Đặt $u = \frac{x}{3}$ , suy ra $d x = 3 d u$ ; cận $x = 3, 9$ lần lượt thành $u = 1, 3$ .

5 = \int_{3}^{9} g (\frac{x}{3}) d x = 3 \int_{1}^{3} g (u) d u \Rightarrow \int_{1}^{3} g (u) d u = \frac{5}{3}

Bước 2: Tách tích phân cần tính

Áp dụng tính tuyến tính của tích phân.

\int_{1}^{3} [h (x) - 6 g (x)] d x = \int_{1}^{3} h (x) d x - 6 \int_{1}^{3} g (x) d x

Bước 3: Đối chiếu phương án

Thay các giá trị đã biết vào biểu thức cần tính.

Phương án $A$ đúng; các phương án $B$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt sai dấu, sai hệ số và tính nhầm kết quả.

16 - 6 \cdot \frac{5}{3} = 6

Đáp án:

A . 6

— Vì giá trị tích phân bằng

16 - 6 \cdot \frac{5}{3} = 6

.

Câu 4

Trên mặt phẳng tọa độ $(O x y)$ , cho bốn điểm $A (- 2; 0), B (- 2; 2), C (4; 2), D (4; 0)$ .

Chọn ngẫu nhiên một điểm có tọa độ $(x; y)$ (với $x, y$ là các số nguyên) nằm trong hình chữ nhật $A B C D$ (kể cả nằm trên các cạnh).

Gọi $A$ là biến cố “ $x, y$ đều chia hết cho 2”. Xác suất của biến cố $A$ là:

A

$\frac{13}{21}$

B

$\frac{7}{21}$

C

$\frac{8}{21}$

D

$1$

Lời giải

Bước 1: Đếm không gian mẫu

Các giá trị nguyên: $x \in {- 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4}$ và $y \in {0, 1, 2}$ .

n (Ω) = 7 \cdot 3 = 21

Bước 2: Đếm điểm thuận lợi

Tọa độ cùng chia hết cho $2$ : $x \in {- 2, 0, 2, 4}$ và $y \in {0, 2}$ .

n (A) = 4 \cdot 2 = 8

Bước 3: Đối chiếu phương án

Tính được $P (A) = \frac{n ( A )}{n ( Ω )} = \frac{8}{21}$ . Chọn C; A, B, D sai vì lần lượt cho tử số sai, đếm thiếu điểm thuận lợi và coi mọi điểm đều thuận lợi.

P (A) = \frac{8}{21}

Đáp án: Đáp án C — có

8

điểm thuận lợi trên tổng số

21

điểm nguyên.

Câu 5

Có bao nhiêu số nguyên dương $y$ sao cho ứng với mỗi số $y$ có không quá 5 số nguyên $x$ thỏa mãn $(3^{2 x + 1} + 2. 3^{x} - 1) (3^{x} - y) \leq 0$

A

$3$

B

$27$

C

$81$

D

$80$

Lời giải

Bước 1: Xét dấu thừa số thứ nhất

Đặt $t = 3^{x} > 0$ , khi đó $3^{2 x + 1} + 2 \cdot 3^{x} - 1 = 3 t^{2} + 2 t - 1$ .

3 t^{2} + 2 t - 1 = (3 t - 1) (t + 1) = 0 \Rightarrow t = \frac{1}{3} \Rightarrow x = - 1; A (x) < 0 (x < - 1), A (- 1) = 0, A (x) > 0 (x > - 1)

Bước 2: Xác định các nghiệm nguyên $x$

Với $x < - 1$ , ta có $3^{x} < 1 \leq y$ nên $3^{x} - y < 0$ , tích dương. Với $x = - 1$ , tích bằng $0$ .

Với $x > - 1$ , cần $3^{x} \leq y$ ; do đó các nghiệm là $- 1 \leq x \leq ⌊ lo g_{3} y ⌋$ .

N (y) = ⌊ lo g_{3} y ⌋ - (- 1) + 1 = ⌊ lo g_{3} y ⌋ + 2

Bước 3: Đối chiếu phương án

Điều kiện $N (y) \leq 5$ cho $⌊ lo g_{3} y ⌋ \leq 3$ , suy ra $y < 3^{4} = 81$ .

Vì $y \in Z_{> 0}$ nên $y \in {1, 2, \dots, 80}$ , có $80$ giá trị. Các phương án $A$ , $B$ , $C$ sai vì không cho đúng số lượng này.

⌊ lo g_{3} y ⌋ + 2 \leq 5 \Rightarrow ⌊ lo g_{3} y ⌋ \leq 3 \Rightarrow y < 81 \Rightarrow y \in {1, 2, \dots, 80}

Đáp án:

D

— Có

80

số nguyên dương

y

thỏa mãn.

Câu 6

Cho cấp số nhân $(u_{n})$ thỏa mãn $2 (u_{3} + u_{4} + u_{5}) = u_{6} + u_{7} + u_{8}$ . Tính $\frac{u _{8} + u _{9} + u _{10}}{u _{2} + u _{3} + u _{4}}$

Đáp án đúng: 4

Lời giải

Bước 1: Biểu diễn điều kiện

Dùng $u_{n} = a q^{n - 1}$ để đưa các số hạng về theo $a$ và $q$ .

2 a q^{2} (1 + q + q^{2}) = a q^{5} (1 + q + q^{2})

Bước 2: Tìm công bội

Vì $1 + q + q^{2} \neq = 0$ và $q \neq = 0$ , rút gọn được phương trình theo $q$ .

2 q^{2} = q^{5} \Rightarrow q^{2} (q^{3} - 2) = 0 \Rightarrow q^{3} = 2

Bước 3: Tính thương cần tìm

Đặt nhân tử chung ở tử và mẫu, rồi thay $q^{3} = 2$ .

\frac{u _{8} + u _{9} + u _{10}}{u _{2} + u _{3} + u _{4}} = \frac{a q ^{7} ( 1 + q + q ^{2} )}{a q ( 1 + q + q ^{2} )} = q^{6} = (q^{3})^{2} = 4

Đáp án:

4

— vì thương cần tính bằng

r^{6} = (q^{3})^{2} = 4

.

Câu 7

Giới hạn $L = lim \frac{3 n - 1}{n + 2}$ bằng

A

$+ \infty$

B

$0$

C

$1$

D

$3$

Lời giải

Bước 1: Chia theo bậc cao nhất

Chia cả tử và mẫu cho $n$ .

\frac{3 n - 1}{n + 2} = \frac{3 - \frac{1}{n}}{1 + \frac{2}{n}}

Bước 2: Tính giới hạn

Vì $n \to + \infty$ , nên $\frac{1}{n} \to 0$ và $\frac{2}{n} \to 0$ .

n \to + \infty lim \frac{3 - \frac{1}{n}}{1 + \frac{2}{n}} = \frac{3}{1} = 3

Bước 3: Đối chiếu phương án

Phương án D đúng vì giá trị là $3$ ; A, B, C sai vì lần lượt chọn $+ \infty$ , $0$ , $1$ .

Đáp án: D — Vì giới hạn bằng

3

.

Câu 8

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm trên $R$ với $f^{'} (x) = (x + 1)^{2} (1 - x)$ . Hàm số đồng biến trên khoảng nào?

A

$(- 1; 5)$

B

$(0; 2)$

C

$(1; + \infty)$

D

$(- \infty; - 1)$

Lời giải

Bước 1: Tìm nghiệm đạo hàm

Giải phương trình $f^{'} (x) = 0$ để tìm các điểm tới hạn.

f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow (x + 1)^{2} (1 - x) = 0 \Leftrightarrow [x = - 1 x = 1

Bước 2: Xét dấu và kết luận

Lập bảng xét dấu: $f^{'} (x) > 0$ khi $1 - x > 0$ (với $x \neq = - 1$ ), tức là $x < 1$ và $x \neq = - 1$ .

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $(- \infty; - 1)$ và $(- 1; 1)$ .

f^{'} (x) > 0 \Leftrightarrow x < 1, x \neq = - 1

Bước 3: Đối chiếu phương án

Phương án D đúng vì $(- \infty; - 1)$ là tập con của các khoảng đồng biến tìm được. Các phương án A, B, C sai vì chứa các giá trị $x > 1$ làm $f^{'} (x) < 0$ hoặc là khoảng không thuộc miền đồng biến.

Đáp án: D — hàm số đồng biến khi

x < 1

và

x \neq = - 1

, nên khoảng

(- \infty; - 1)

thỏa mãn.

Câu 9

Trên mặt phẳng tọa độ $O x y$ , tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = x^{3} + 3 x^{2} - 6 x + 1$ tại điểm có hoành độ bằng $1$ và cắt hai trục tọa độ tại $A, B$ . Tính diện tích tam giác $O A B$ (nhập đáp án vào ô trống).

Đáp án đúng: 8/3

Lời giải

Bước 1: Tính tiếp điểm và hệ số góc

Tính giá trị hàm số và đạo hàm tại $x_{0} = 1$ .

f (1) = - 1, f^{'} (1) = 3

Bước 2: Lập tiếp tuyến và tìm giao điểm

Dùng công thức tiếp tuyến, rồi lần lượt cho $y = 0$ và $x = 0$ .

y + 1 = 3 (x - 1) ⟺ y = 3 x - 4; A (\frac{4}{3}, 0), B (0, - 4)

Bước 3: Tính diện tích

Áp dụng công thức diện tích tam giác có hai đỉnh nằm trên hai trục tọa độ.

S_{O A B} = \frac{1}{2} \frac{4}{3} \cdot (- 4) = \frac{8}{3}

Đáp án:

\frac{8}{3}

— diện tích tính từ hai giao điểm

A (\frac{4}{3}, 0)

và

B (0, - 4)

.

Câu 10

Gọi $S$ là tập hợp các số tự nhiên có ba chữ số (không nhất thiết khác nhau) được lập từ các chữ số $0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9$ .

Chọn ngẫu nhiên một số $ab c$ từ $S$ .

Xác suất để số được chọn thỏa mãn $a \leq b \leq c$ (nhập đáp án vào ô trống, làm tròn kết quả đến hàng phần trăm):

Đáp án đúng: 0.18

Lời giải

Bước 1: Đếm không gian mẫu

Chữ số hàng trăm có $9$ cách; hai chữ số còn lại mỗi vị trí có $10$ cách.

∣Ω∣ = 9 \cdot 10 \cdot 10 = 900

Bước 2: Đếm số thuận lợi

Xét lần lượt: $a < b < c$ , $a = b < c$ , $a < b = c$ , $a = b = c$ .

n (A) = C_{9}^{3} + 2 C_{9}^{2} + 9 = 84 + 72 + 9 = 165

Bước 3: Tính xác suất

Chia số kết quả thuận lợi cho tổng số số có ba chữ số rồi làm tròn đến hàng phần trăm.

P (A) = \frac{165}{900} = \frac{11}{60} \approx 0, 18

Đáp án:

0, 18

— vì

P (A) = \frac{165}{900} \approx 0, 18

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG HN năm 2025 - Mã đề 25 — Toán học

Toán học

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Tìm mực nước lớn nhất

Bước 2: Điều kiện đạt cực đại

Bước 3: Chọn thời điểm trong ngày

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Rút gọn và xét dấu

Bước 2: Tìm nghiệm nguyên

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Đổi biến tích phân của g

Bước 2: Tách tích phân cần tính

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Đếm không gian mẫu

Bước 2: Đếm điểm thuận lợi

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Xét dấu thừa số thứ nhất

Bước 2: Xác định các nghiệm nguyên x

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Biểu diễn điều kiện

Bước 2: Tìm công bội

Bước 3: Tính thương cần tìm

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Chia theo bậc cao nhất

Bước 2: Tính giới hạn

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Tìm nghiệm đạo hàm

Bước 2: Xét dấu và kết luận

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Tính tiếp điểm và hệ số góc

Bước 2: Lập tiếp tuyến và tìm giao điểm

Bước 3: Tính diện tích

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Đếm không gian mẫu

Bước 2: Đếm số thuận lợi

Bước 3: Tính xác suất

Bước 1: Đổi biến tích phân của $g$

Bước 2: Xác định các nghiệm nguyên $x$