Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG HN năm 2025 - Mã đề 24 — Toán học môn Toán học (Đánh giá Năng lực (HSA))

Câu 1

Gọi $m_{1}, m_{2}$ là hai giá trị khác nhau của tham số $m$ để phương trình

$x^{2} - 3 x + m^{2} - 3 m + 4 = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $x_{1} = 2 x_{2}$ .

Tính giá trị của biểu thức $m_{1} + m_{2} + m_{1} m_{2}$ .

A

$4$

B

$3$

C

$5$

D

$6$

Lời giải

Bước 1: Xác định hai nghiệm

Theo Viète, $x_{1} + x_{2} = 3$ ; kết hợp $x_{1} = 2 x_{2}$ .

x_{1} + x_{2} = 3, x_{1} = 2 x_{2} \Rightarrow 3 x_{2} = 3 \Rightarrow x_{2} = 1, x_{1} = 2

Bước 2: Tìm các giá trị $m$

Thay một nghiệm $x = 1$ vào phương trình để lập phương trình theo $m$ .

1 - 3 + m^{2} - 3 m + 4 = 0 \Rightarrow m^{2} - 3 m + 2 = 0 \Rightarrow m_{1} = 1, m_{2} = 2

Bước 3: Đối chiếu phương án

Với $m = 1, 2$ , ta có $Δ = 1 > 0$ , nên đều thỏa mãn điều kiện hai nghiệm phân biệt. Giá trị cần tìm là $1 + 2 + 1 \cdot 2 = 5$ ; chọn $C$ , còn $A, B, D$ sai do không cho kết quả $5$ .

Δ = 9 - 4 (m^{2} - 3 m + 4) = 1 > 0, m_{1} + m_{2} + m_{1} m_{2} = 1 + 2 + 1 \cdot 2 = 5

Đáp án: Đáp án

C

— vì

m_{1} + m_{2} + m_{1} m_{2} = 5

.

Câu 2

Một chiếc đu quay có bán kính $75$ m, tâm của vòng quay ở độ cao $90$ m (tham khảo hình vẽ). Thời gian quay hết 1 vòng của đu quay là $30$ phút. Nếu một người vào cabin tại vị trí thấp nhất của vòng quay thì sau $20$ phút quay, người đó ở độ cao bao nhiêu mét?

A

$37, 5$ m.

B

$112, 5$ m.

C

$127, 5$ m.

D

$150$ m.

Lời giải

Bước 1: Tính vận tốc góc

Vận tốc góc của đu quay là $ω = \frac{2 π}{T}$ .

ω = \frac{2 π}{30} = \frac{π}{15} rad/ph \overset{u}{ˊ} t

Bước 2: Lập công thức độ cao

Gọi $h (t)$ là độ cao của người sau $t$ phút; tâm vòng quay cao $90 m$ .

h (t) = 90 - 75 cos (\frac{π}{15} t)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Thay $t = 20$ và tính giá trị lượng giác tương ứng.

Chọn C: $127, 5 m$ ; A, B, D sai vì lần lượt tính sai độ cao theo vị trí và góc quay.

h (20) = 90 - 75 cos (\frac{4 π}{3}) = 90 - 75 (- \frac{1}{2}) = 127, 5 m

Đáp án: C — Sau

20

phút, độ cao của người là

127, 5 m

.

Câu 3

Anh Nam được nhận vào làm việc ở một công ty về nội thất với mức lương khởi điểm là $100$ triệu đồng một năm.

Công ty sẽ tăng thêm lương cho anh Nam mỗi năm là $20$ triệu đồng/năm.

Tính tổng số tiền anh Nam nhận được sau $10$ năm làm việc cho công ty đó (nhập đáp án vào ô trống, đơn vị: trăm triệu đồng).

Đáp án đúng: 19

Lời giải

Bước 1: Tính tổng lương

Áp dụng công thức tổng cấp số cộng với $a_{1} = 100$ , $d = 20$ , $n = 10$ .

S_{10} = \frac{10}{2} (2 \cdot 100 + 9 \cdot 20) = 1900 triệu đ \overset{ˋ}{\overset{o}{ˆ}} ng

Bước 2: Đổi đơn vị

Đổi tổng lương từ triệu đồng sang trăm triệu đồng.

1900 \div 100 = 19 (tr \overset{a}{˘} m triệu đ \overset{ˋ}{\overset{o}{ˆ}} ng)

Đáp án:

19

— tổng lương là

1900

triệu đồng, tương đương

19

trăm triệu đồng.

Câu 4

Cho $x, y$ là các số thực dương thỏa mãn bất đẳng thức sau đây

$lo g \frac{x + 1}{3 y + 1} \leq 9 y^{4} + 6 y^{3} - x^{2} y^{2} - 2 y^{2} x$ .

Biết $y \leq 1000$ . Hỏi có bao nhiêu cặp số nguyên dương $(x; y)$ thỏa mãn bất đẳng thức trên?

A

$1501100$

B

$1501300$

C

$1501400$

D

$1501500$

Lời giải

Bước 1: Phân tích vế phải

Đưa vế phải về hiệu hai bình phương để xét dấu.

9 y^{4} + 6 y^{3} - x^{2} y^{2} - 2 x y^{2} = y^{2} (9 y^{2} + 6 y - x^{2} - 2 x) = y^{2} ((3 y + 1)^{2} - (x + 1)^{2})

Bước 2: Xét dấu và tìm điều kiện

Vì $y > 0$ , nếu $x < 3 y$ thì vế trái âm, vế phải dương; nếu $x = 3 y$ thì cả hai bằng $0$ .

Nếu $x > 3 y$ thì vế trái dương, vế phải âm. Do đó bất đẳng thức đúng khi và chỉ khi $x \leq 3 y$ .

x < 3 y \Rightarrow lo g \frac{x + 1}{3 y + 1} < 0, y^{2} ((3 y + 1)^{2} - (x + 1)^{2}) > 0; x > 3 y \Rightarrow lo g \frac{x + 1}{3 y + 1} > 0, y^{2} ((3 y + 1)^{2} - (x + 1)^{2}) < 0

Bước 3: Đếm số cặp

Với mỗi $y \in {1, 2, \dots, 1000}$ , có $3 y$ giá trị nguyên dương của $x$ .

y = 1 \sum 1000 3 y = 3 \cdot \frac{1000 \cdot 1001}{2} = 1501500

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn phương án D: $1501500$ ; các phương án A, B, C sai vì lần lượt cho kết quả khác tổng số cặp đã tính.

Đáp án: D.

1501500

— điều kiện tương đương là

x \leq 3 y

, nên tổng số cặp bằng

\sum_{y = 1}^{1000} 3 y = 1501500

.

Câu 5

Nghiên cứu về quá trình tăng trưởng của một quần thể sinh vật trong điều kiện môi trường sống hạn chế cho thấy: ban đầu số lượng cá thể tăng trưởng chậm, sau đó nhanh và cuối cùng khi thời gian đủ dài, số lượng cá thể của quần thể đạt đến trạng thái cân bằng, khi đó số lượng cá thể tham ra xấp xỉ bằng số lượng chết đi. Số lượng cá thể $N$ trong quần thể theo thời gian $t$ (ngày) được mô hình hóa và xấp xỉ theo hàm số: $N (t) = \frac{16398 e ^{0.5 (t - 9.19)}}{0.12 + e ^{0.5 (t - 9.19)}}$ . Khi quần thể sinh vật trên đạt trạng thái cân bằng, số cá thể của quần thể gần nhất với giá trị nào sau đây?

A

$9264$

B

$136650$

C

$16398$

D

$224630$

Lời giải

Bước 1: Lập giới hạn cân bằng

Trạng thái cân bằng ứng với giới hạn của $N (t)$ khi $t \to + \infty$ .

t \to + \infty lim N (t) = t \to + \infty lim \frac{16398 e ^{0.5 (t - 9.19)}}{0.12 + e ^{0.5 (t - 9.19)}}

Bước 2: Tính giới hạn

Chia cả tử và mẫu cho $e^{0.5 (t - 9.19)}$ .

t \to + \infty lim N (t) = t \to + \infty lim \frac{16398}{0.12 e ^{- 0.5 (t - 9.19)} + 1} = 16398

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $C$ ; các phương án $A$ , $B$ , $D$ sai vì đều khác giá trị giới hạn $16398$ .

Đáp án: C — Giá trị cân bằng là

lim_{t \to + \infty} N (t) = 16398

.

Câu 6

Đạo hàm của hàm số $y = x^{2} - 2 x - 3$ là:

A

$y^{'} = \frac{1}{2 x ^{2} - 2 x - 3}$

B

$y^{'} = \frac{x - 1}{2 x ^{2} - 2 x - 3}$

C

$y^{'} = \frac{x - 1}{x ^{2} - 2 x - 3}$

D

$y^{'} = \frac{1}{x ^{2} - 2 x - 3}$

Lời giải

Bước 1: Đặt biểu thức trong căn

Đặt $u (x) = x^{2} - 2 x - 3$ .

u (x) = x^{2} - 2 x - 3

Bước 2: Tính đạo hàm bên trong

Tính đạo hàm của $u (x)$ .

u^{'} (x) = 2 x - 2

Bước 3: Áp dụng công thức

Thay $u (x)$ và $u^{'} (x)$ vào công thức đạo hàm hàm căn.

y^{'} = \frac{2 x - 2}{2 x ^{2} - 2 x - 3} = \frac{x - 1}{x ^{2} - 2 x - 3}

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn C: $y^{'} = \frac{x - 1}{x ^{2} - 2 x - 3}$ ; A, B, D sai vì lần lượt thiếu $u^{'} (x)$ , còn thừa hệ số $\frac{1}{2}$ và thiếu nhân tử $x - 1$ .

Đáp án: C —

y^{'} = \frac{x - 1}{x ^{2} - 2 x - 3}

theo công thức đạo hàm hàm căn.

Câu 7

Hình chóp tam giác đều $S . A B C$ có cạnh đáy là $a$ và mặt bên tạo với đáy góc $4 5^{\circ}$ . Thể tích khối chóp $S . A B C$ theo $a$ là:

A

$\frac{a ^{3}}{8}$

B

$\frac{a ^{3}}{24}$

C

$\frac{a ^{3}}{12}$

D

$\frac{a ^{3}}{4}$

Lời giải

Bước 1: Dựng thiết diện

Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $A B C$ , $M$ là trung điểm $B C$ .

Khi đó $S G p er p (A B C)$ và $\\angle SMG=45^\\circ$ .

\\angle SMG=45^\\circ,\\quad SG\\perp(ABC)

Bước 2: Tính chiều cao

Tam giác $A B C$ đều nên $A M = f r a c a s q r t 3 2$ và $GM = f r a c 13 A M$ .

Trong tam giác vuông $S GM$ , $\\tan45^\\circ=\\frac{SG}{GM}$ .

GM = f r a c a s q r t 3 6, q u a d S G = GM = f r a c a s q r t 3 6

Bước 3: Đối chiếu phương án

Diện tích đáy là $S_{A B C} = f r a c a^{2} s q r t 3 4$ , nên $V = f r a c 13 S_{A B C} c d o tS G = f r a c a^{3} 24$ .

Chọn $B$ ; các phương án $A$ , $C$ , $D$ sai do lần lượt khác hệ số $f r a c 124$ .

S_{A B C} = f r a c a^{2} s q r t 3 4, q u a d V = f r a c 13 c d o t f r a c a^{2} s q r t 3 4 c d o t f r a c a s q r t 3 6 = f r a c a^{3} 24

Đáp án: B — Vì thể tích tính được là

f r a c a^{3} 24

.

Câu 8

Trong một công ty công nghệ, nhà tuyển dụng đề xuất 2 phương án trả lương cho nhân viên A như sau:

+) Phương án 1: Nhân viên thử việc trong 6 tháng đầu và nhận được 48 triệu đồng, kể từ tháng tiếp theo mức lương tăng 500 nghìn đồng mỗi tháng.

+) Phương án 2: Nhân viên thử việc trong 3 tháng đầu và nhận được 36 triệu đồng, kể từ quý tiếp theo, mức lương tháng thêm 1 triệu mỗi quý.

Nhân viên A dự định làm tại công ty trong vòng 1 năm 6 tháng, theo em người nhân viên A nên chọn phương án nào là tối ưu nhất:

A

Phương án 1

B

Phương án 2

C

2 phương án như nhau

D

Không có phương án nào

Lời giải

Bước 1: Tính phương án $1$

Lương thử việc mỗi tháng là $48 : 6 = 8$ triệu đồng; còn $12$ tháng hưởng lương tăng đều từ $8, 5$ đến $14$ triệu đồng.

S_{1} = 48 + \frac{12 ( 8 , 5 + 14 )}{2} = 48 + 135 = 183 triệu đ \overset{ˋ}{\overset{o}{ˆ}} ng.

Bước 2: Tính phương án $2$

Lương thử việc mỗi tháng là $36 : 3 = 12$ triệu đồng; $15$ tháng còn lại gồm $5$ quý, với mức lương lần lượt là $13, 14, 15, 16, 17$ triệu đồng mỗi tháng.

S_{2} = 36 + 3 (13 + 14 + 15 + 16 + 17) = 36 + 225 = 261 triệu đ \overset{ˋ}{\overset{o}{ˆ}} ng.

Bước 3: Đối chiếu phương án

Vì $261 > 183$ , phương án $2$ đem lại thu nhập cao hơn.

S_{2} - S_{1} = 261 - 183 = 78 triệu đ \overset{ˋ}{\overset{o}{ˆ}} ng

Đáp án: B. Phương án

2

— tổng thu nhập là

261

triệu đồng, cao hơn phương án

1

là

78

triệu đồng; A, C, D sai vì lần lượt chọn phương án có thu nhập thấp hơn, kết luận hai phương án bằng nhau hoặc phủ nhận cả hai phương án.

Câu 9

Cho các số nguyên $a, b, c$ thỏa mãn $a + \frac{b + lo g _{2} 5}{c + lo g _{2} 3} = lo g_{6} 45$ . Tổng $a + b + c$ bằng

Đáp án đúng: 1

Lời giải

Bước 1: Đổi cơ số

Đưa $lo g_{6} 45$ về cơ số $2$ .

lo g_{6} 45 = \frac{lo g _{2} 45}{lo g _{2} 6} = \frac{2 lo g _{2} 3 + lo g _{2} 5}{1 + lo g _{2} 3}

Bước 2: Tách phần nguyên

Tách tử số theo mẫu $1 + lo g_{2} 3$ .

lo g_{6} 45 = 2 + \frac{2 lo g _{2} 3 + lo g _{2} 5 - 2 ( 1 + lo g _{2} 3 )}{1 + lo g _{2} 3} = 2 + \frac{lo g _{2} 5 - 2}{1 + lo g _{2} 3}

Bước 3: Đối chiếu và tính tổng

So sánh với dạng $a + \frac{b + lo g _{2} 5}{c + lo g _{2} 3}$ , suy ra các hệ số tương ứng.

a = 2, b = - 2, c = 1 \Rightarrow a + b + c = 2 - 2 + 1 = 1

Đáp án:

1

— vì

a = 2

,

b = - 2

,

c = 1

.

Câu 10

Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên như sau: Hàm số $y = f (x^{2} - 2)$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Hình minh họa

A

$(- \infty; - 2)$

B

$(0; 2)$

C

$(2; + \infty)$

D

$(- 2; 0)$

Lời giải

Bước 1: Đặt biến phụ

Đặt $u = x^{2} - 2 \geq - 2$ , suy ra chỉ cần xét các khoảng biến thiên của $f$ với $u \geq - 2$ .

Ta có $f^{'} (u) < 0$ trên $(- 2; 0)$ , $(2; + \infty)$ và $f^{'} (u) > 0$ trên $(0; 2)$ .

y^{'} = f^{'} (x^{2} - 2) \cdot 2 x

Bước 2: Xét dấu đạo hàm

Giải các điều kiện $x^{2} - 2 \in (- 2; 0)$ , $x^{2} - 2 \in (0; 2)$ và $x^{2} - 2 > 2$ , rồi kết hợp với dấu của $x$ .

Suy ra $y^{'} < 0$ trên ba khoảng cần tìm.

y^{'} < 0 ⟺ x \in (- 2; - 2) \cup (0; 2) \cup (2; + \infty)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $C : (2; + \infty)$ ; các phương án $A$ , $B$ , $D$ lần lượt không phù hợp vì hàm số tăng hoặc chứa khoảng đổi chiều.

(2; + \infty)

Đáp án: C — Hàm số nghịch biến trên

(2; + \infty)

vì

y^{'} < 0

trên khoảng này.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG HN năm 2025 - Mã đề 24 — Toán học

Toán học

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Xác định hai nghiệm

Bước 2: Tìm các giá trị m

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Tính vận tốc góc

Bước 2: Lập công thức độ cao

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Tính tổng lương

Bước 2: Đổi đơn vị

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Phân tích vế phải

Bước 2: Xét dấu và tìm điều kiện

Bước 3: Đếm số cặp

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Lập giới hạn cân bằng

Bước 2: Tính giới hạn

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Đặt biểu thức trong căn

Bước 2: Tính đạo hàm bên trong

Bước 3: Áp dụng công thức

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Dựng thiết diện

Bước 2: Tính chiều cao

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Tính phương án 1

Bước 2: Tính phương án 2

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Đổi cơ số

Bước 2: Tách phần nguyên

Bước 3: Đối chiếu và tính tổng

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Đặt biến phụ

Bước 2: Xét dấu đạo hàm

Bước 3: Đối chiếu phương án

Bước 2: Tìm các giá trị $m$

Bước 1: Tính phương án $1$

Bước 2: Tính phương án $2$