Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG HN năm 2025 - Mã đề 23 — Toán học môn Toán học (Đánh giá Năng lực (HSA))

Câu 1

Số giờ có ánh sáng của một thành phố $X$ ở vĩ độ $4 0^{\circ}$ Bắc trong ngày thứ $t$ của một năm không nhuận được cho bởi hàm số: $d (t) = 3 sin [\frac{π}{182} (t - 80)] + 12, t \in R v \overset{a}{ˋ} 0 < t \leq 365$ . Vào ngày thứ bao nhiêu trong năm thì thành phố $X$ có nhiều giờ ánh sáng nhất (nhập đáp án vào ô trống)?

Đáp án đúng: 171

Lời giải

Bước 1: Xác định điều kiện cực đại

Để $d (t)$ lớn nhất, đặt đối số của hàm sin bằng giá trị đạt cực đại.

\frac{π}{182} (t - 80) = \frac{π}{2} + 2 k π, k \in Z

Bước 2: Tìm ngày phù hợp

Giải phương trình và chọn nghiệm thuộc miền xác định $0 < t \leq 365$ .

t - 80 = 91 + 364 k \Rightarrow t = 171 + 364 k \Rightarrow k = 0 \Rightarrow t = 171

Đáp án:

171

— vì đây là nghiệm duy nhất thuộc miền

0 < t \leq 365

.

Câu 2

Phương trình $lo g_{4} (x - 1) = 3$ có nghiệm là

A

$x = 63$

B

$x = 80$

C

$x = 65$

D

$x = 82$

Lời giải

Bước 1: Xét điều kiện xác định

Điều kiện xác định: $x - 1 > 0$ .

x - 1 > 0

Bước 2: Đổi dạng và giải

Áp dụng công thức logarit sang lũy thừa.

lo g_{4} (x - 1) = 3 \Leftrightarrow x - 1 = 4^{3} = 64 \Leftrightarrow x = 65

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $C$ : $x = 65$ ; $A$ , $B$ , $D$ sai vì lần lượt cho các giá trị $63$ , $80$ , $82$ .

Đáp án:

C

— Vì nghiệm của phương trình là

x = 65

.

Câu 3

Một công ty tuyển dụng nhân viên mới với mức lương là 170 triệu đồng cho năm đầu tiên. Mỗi năm tiếp theo, tiền lương nhân viên này được tăng thêm 15 triệu đồng cho đến khi tiền lương tối đa là 320 triệu đồng/năm. Tổng số tiền lương người này nhận được là bao nhiêu trong 10 năm đầu (nhập đáp án vào ô trống, đơn vị: triệu đồng)

Đáp án đúng: 2375

Lời giải

Bước $1$ : Xác định cấp số cộng

Các mức lương tạo thành cấp số cộng với số hạng đầu $a_{1} = 170$ và công sai $d = 15$ .

a_{1} = 170, d = 15, n = 10

Bước $2$ : Kiểm tra mức tối đa

Tính mức lương năm thứ $10$ để kiểm tra giới hạn $320$ triệu đồng.

a_{10} = 170 + (10 - 1) \cdot 15 = 305 < 320

Bước $3$ : Tính tổng tiền lương

Mức lương chưa đạt tối đa nên dùng công thức tổng cấp số cộng.

S_{10} = \frac{10 ( 170 + 305 )}{2} = 2375

Đáp án:

2375

triệu đồng — tổng

10

số hạng của cấp số cộng.

Câu 4

Cho hàm số $y = x^{3} + 3 m x^{2} - m^{3}$ có đồ thị $(C_{m})$ và đường thẳng $d : y = m^{3} x + 2 m^{3}$ . Biết rằng $m_{1}, m_{2} (m_{1} > m_{2})$ là hai giá trị thực của $m$ để đường thẳng $d$ cắt đồ thị $(C_{m})$ tại $3$ điểm phân biệt có hoành độ $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ thỏa mãn $x_{1}^{4} + x_{2}^{4} + x_{3}^{4} = 83$ . Khẳng định nào dưới đây đúng?

A

$m_{1} = 0, m_{2} = 0$ .

B

$m_{1}^{2} + 2 m_{2} \geq 4$ .

C

$m_{2}^{2} + 2 m_{1} \geq 4$ .

D

$m_{1} = 0, m_{2} \neq = 0$ .

Lời giải

Bước 1: Phân tích phương trình giao điểm

Hoành độ giao điểm thỏa mãn phương trình:

Ba nghiệm là $x = - 3 m$ , $x = m$ , $x = - m$ .

x^{3} + 3 m x^{2} - m^{3} x - 3 m^{3} = (x + 3 m) (x - m) (x + m) = 0

Bước 2: Dùng điều kiện lũy thừa

Ba nghiệm phân biệt nên $m \neq = 0$ . Thay các nghiệm vào điều kiện đề bài:

Suy ra $m = \pm 1$ .

(- 3 m)^{4} + m^{4} + (- m)^{4} = 83 \Leftrightarrow 83 m^{4} = 83 \Leftrightarrow m^{4} = 1 \Leftrightarrow m = \pm 1

Bước 3: Đối chiếu phương án

Vì $m_{1} > m_{2}$ nên $m_{1} = 1$ , $m_{2} = - 1$ , do đó $m_{1} + m_{2} = 0$ .

Chọn phương án $A$ theo kết luận đối xứng; $B$ , $C$ , $D$ không phù hợp với kết quả này.

m_{1} = 1, m_{2} = - 1, m_{1} + m_{2} = 0

Đáp án: A — hai giá trị thu được đối nhau nên

m_{1} + m_{2} = 0

.

Câu 5

Cho hàm số bậc ba $y = f (x)$ có bảng biến thiên như sau: (hình minh họa). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc $[- 10; 10]$ để đồ thị hàm số $y = \frac{3}{f ( x ) - m}$ có đường tiệm cận đứng (nhập đáp án vào ô trống)?

Đáp án đúng: 3

Lời giải

Bước 1: Lập điều kiện tiệm cận

Ta có $\frac{3}{f ( x ) - m}$ ; tiệm cận đứng tương ứng với các nghiệm phân biệt của $f (x) = m$ .

f (x) - m = 0 ⟺ f (x) = m

Bước 2: Xét số nghiệm

Từ bảng biến thiên, $f$ có cực đại $3$ và cực tiểu $- 1$ .

m > 3 hoặc m < - 1 \Rightarrow 1 nghiệm; m = 3 hoặc m = - 1 \Rightarrow 2 nghiệm; - 1 < m < 3 \Rightarrow 3 nghiệm

Bước 3: Đếm giá trị nguyên

Điều kiện cần là $- 1 < m < 3$ , kết hợp $m \in [- 10; 10]$ .

m \in {0, 1, 2} \Rightarrow N = 3

Đáp án:

3

— có ba giá trị nguyên

m \in {0, 1, 2}

thỏa mãn

- 1 < m < 3

.

Câu 6

Cho $4^{x} + 4^{- x} = 7$ . Khi đó biểu thức $P = \frac{5 - 2 ^{x} - 2 ^{- x}}{3 + 2 ^{x + 1} + 2 ^{1 - x}} = \frac{a}{b}$ là phân số tối giản và $a \in N, b \in N^{*}$ . Tính tổng $a + b$ .

A

$8$

B

$11$

C

$17$

D

$4$

Lời giải

Bước 1: Đặt ẩn phụ

Đặt $t = 2^{x} > 0$ , suy ra $2^{- x} = \frac{1}{t}$ .

t^{2} + \frac{1}{t ^{2}} = 7

Bước 2: Tính tổng cần thiết

Dùng hằng đẳng thức và chọn căn dương.

(t + \frac{1}{t})^{2} = 7 + 2 = 9 \Rightarrow t + \frac{1}{t} = 3

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $B$ ; các phương án $A$ , $C$ , $D$ sai vì không cho kết quả $a + b = 11$ .

P = \frac{5 - ( t + \frac{1}{t} )}{3 + 2 ( t + \frac{1}{t} )} = \frac{5 - 3}{3 + 6} = \frac{2}{9} \Rightarrow a + b = 2 + 9 = 11

Đáp án: B — Vì

P = \frac{2}{9}

nên

a + b = 11

.

Câu 7

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để bất phương trình $lo g_{2}^{2} x 2 (m + 2) lo g_{2} x + m^{2} + 4 m \leq 0$ đúng với mọi $x$ thuộc $[2; 4]$ (nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án đúng: 4

Lời giải

Bước 1: Đổi biến

Đặt $t = lo g_{2} x$ . Với $x \in [2; 4]$ , suy ra $t \in [1; 2]$ .

f (t) = t^{2} + 2 (m + 2) t + m^{2} + 4 m \leq 0, t \in [1; 2]

Bước 2: Kiểm tra hai đầu mút

Vì hệ số $t^{2}$ dương, điều kiện cần và đủ là $f (1) \leq 0$ và $f (2) \leq 0$ .

f (1) f (2) = m^{2} + 6 m + 5 = (m + 1) (m + 5) \leq 0 \Rightarrow m \in [- 5; - 1], = m^{2} + 8 m + 12 = (m + 2) (m + 6) \leq 0 \Rightarrow m \in [- 6; - 2] .

Bước 3: Đếm giá trị nguyên

Giao hai khoảng là $[- 5; - 2]$ , nên các giá trị nguyên là $- 5, - 4, - 3, - 2$ .

[- 5; - 1] \cap [- 6; - 2] = [- 5; - 2] \Rightarrow m \in {- 5, - 4, - 3, - 2}

Đáp án: Có

4

giá trị nguyên của

m

, vì

m \in {- 5, - 4, - 3, - 2}

.

Câu 8

Có bao nhiêu cặp số nguyên $(x; y)$ thỏa mãn $202 2^{- 1} \leq y \leq 2022$ và $2 \cdot 3^{x - 1} - lo g_{3} (3^{x - 2} + 2 y) = 6 y - x + 1$ (nhập đáp án vào ô trống)?

Đáp án đúng: 7

Lời giải

Bước 1: Đặt ẩn phụ logarit

Đặt $k = lo g_{3} (3^{x - 2} + 2 y)$ . Vì $x, y \in Z$ , nên $k \in Q$ .

Lại có $3^{k} = 3^{x - 2} + 2 y \in Q$ , do đó $k \in Z$ .

k = lo g_{3} (3^{x - 2} + 2 y), 3^{k} = 3^{x - 2} + 2 y

Bước 2: Khóa giá trị của $k$

Từ $y \geq 202 2^{- 1}$ và $y \in Z$ , có $y \geq 1$ . Vì $3^{k} = 3^{x - 2} + 2 y > 3^{x - 2}$ nên $k \geq x - 1$ .

Đặt $k = x - 1 + t$ với $t \geq 0$ ; biến đổi phương trình được $t = 0$ .

6 y = 3^{k + 1} - 3^{x - 1}, 3^{x} - 3^{k + 1} = k - x + 1, - 3^{x} (3^{t} - 1) = t \Rightarrow t = 0

Bước 3: Đếm các giá trị

Vậy $k = x - 1$ và $3^{x - 2} + 2 y = 3^{x - 1}$ , nên $y = 3^{x - 2}$ . Vì $y \in Z$ , suy ra $x \geq 2$ .

Do đó $1 \leq 3^{x - 2} \leq 2022$ . Với $3^{6} = 729 \leq 2022 < 2187 = 3^{7}$ , có $x - 2 \in {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}$ .

x - 2 = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 \Rightarrow 7 cặp (x; y)

Đáp án:

7

— có

7

giá trị của

x - 2

.

Câu 9

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để hàm số $y = x^{2} + 8 ln 2 x - m x$ đồng biến trên khoảng $(0; + \infty)$ ?

A

$8$

B

$6$

C

$5$

D

$7$

Lời giải

Bước 1: Tính đạo hàm

Với $x > 0$ , hàm số xác định và có đạo hàm.

y^{'} (x) = 2 x + \frac{8}{x} - m

Bước 2: Tìm điều kiện của $m$

Áp dụng bất đẳng thức cauchy cho $2 x + \frac{8}{x}$ ,(2x và 8/x đều dương khi x dương) dấu bằng khi $x = 2$ .

2 x + \frac{8}{x} \geq 2 2 \cdot 8 = 8 \Rightarrow y^{'} (x) \geq 8 - m \geq 0 \Rightarrow m \leq 8

Bước 3: Đối chiếu phương án

Vì $m$ nguyên dương nên $m \in {1, 2, \dots, 8}$ , có $8$ giá trị.

Phương án A đúng; $B, C, D$ sai vì lần lượt đếm thiếu $2$ , $3$ , $1$ giá trị.

m \in {1, 2, \dots, 8} \Rightarrow # m = 8

Đáp án: A — Có

8

giá trị nguyên dương của

m

thỏa mãn

m \leq 8

.

Câu 10

Cho hình chóp $S . A B C$ có đáy $A B C$ là tam giác vuông tại $B$ , $S A$ vuông góc với mặt đáy và $S A = A B = 3$ . Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $S A B$ . Khoảng cách từ $G$ đến mặt phẳng $(S B C)$ bằng:

A

$\frac{6}{3}$

B

$\frac{6}{6}$

C

$3$

D

$\frac{6}{2}$

Lời giải

Bước 1: Chọn tọa độ và tìm trọng tâm

Đặt $B$ làm gốc tọa độ, $A$ trên trục $O x$ , $C$ trên trục $O y$ ; vì $S A ⊥ (A B C)$ nên $S$ có cùng hoành độ với $A$ .

B = (0, 0, 0), A = (3, 0, 0), C = (0, c, 0), S = (3, 0, 3), G = (\frac{2 3}{3}, 0, \frac{3}{3})

Bước 2: Lập mặt phẳng và tính khoảng cách

Ba điểm $S$ , $B$ , $C$ đều thỏa mãn $x - z = 0$ , nên $(S B C) : x - z = 0$ .

(S B C) : x - z = 0, d (G, (S B C)) = \frac{\frac{2 3}{3} - \frac{3}{3}}{1 ^{2} + ( - 1 ) ^{2}} = \frac{6}{6}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $B$ ; các phương án $A$ , $C$ , $D$ sai vì không bằng giá trị khoảng cách đã tính.

Đáp án: Đáp án

B

— khoảng cách từ

G

đến

(S B C)

bằng

\frac{6}{6}

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG HN năm 2025 - Mã đề 23 — Toán học

Toán học

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Xác định điều kiện cực đại

Bước 2: Tìm ngày phù hợp

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Xét điều kiện xác định

Bước 2: Đổi dạng và giải

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Xác định cấp số cộng

Bước 2: Kiểm tra mức tối đa

Bước 3: Tính tổng tiền lương

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Phân tích phương trình giao điểm

Bước 2: Dùng điều kiện lũy thừa

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Lập điều kiện tiệm cận

Bước 2: Xét số nghiệm

Bước 3: Đếm giá trị nguyên

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Đặt ẩn phụ

Bước 2: Tính tổng cần thiết

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Đổi biến

Bước 2: Kiểm tra hai đầu mút

Bước 3: Đếm giá trị nguyên

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Đặt ẩn phụ logarit

Bước 2: Khóa giá trị của k

Bước 3: Đếm các giá trị

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Tính đạo hàm

Bước 2: Tìm điều kiện của m

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Chọn tọa độ và tìm trọng tâm

Bước 2: Lập mặt phẳng và tính khoảng cách

Bước 3: Đối chiếu phương án

Bước $1$ : Xác định cấp số cộng

Bước $2$ : Kiểm tra mức tối đa

Bước $3$ : Tính tổng tiền lương

Bước 2: Khóa giá trị của $k$

Bước 2: Tìm điều kiện của $m$