Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG HN năm 2025 - Mã đề 18 — Toán học và xử lí số liệu môn Toán học (Đánh giá Năng lực (HSA))

Câu 1

Một viên đạn pháo được bắn từ mặt đất với vận tốc $v_{0}$ , hợp với phương ngang một góc $θ$ (đơn vị: độ, $0^{\circ} < θ < 4 5^{\circ}$ ) và tầm bắn được mô hình hóa bởi hàm số $R (θ) = \frac{v _{0}^{2} sin ( 2 θ )}{g}$ , trong đó $g$ là gia tốc trọng trường lấy xấp xỉ bằng $9, 8 m / s^{2}$ . Với $v_{0} = 500 m / s$ , tính giá trị gần đúng của góc $θ$ để đạn trúng mục tiêu nằm trên mặt đất phẳng cách đó $19500 m$ (nhập đáp án vào ô trống, kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Đáp án đúng: 25

Lời giải

Bước $1$ : Lập phương trình

Thay các dữ kiện vào công thức tầm bắn.

R (θ) = \frac{50 0 ^{2} sin ( 2 θ )}{9 , 8} = 19500

Bước $2$ : Tìm giá trị sin

Giải phương trình để xác định $sin (2 θ)$ .

sin (2 θ) = \frac{19500 \cdot 9 , 8}{50 0 ^{2}} = 0, 7644

Bước $3$ : Tính và làm tròn góc

Chọn nghiệm phù hợp với điều kiện góc đã cho.

2 θ = arcsin (0, 7644) \approx 49, 8 5^{\circ} \Rightarrow θ \approx 24, 9 3^{\circ} \approx 2 5^{\circ}

Đáp án:

2 5^{\circ}

— vì

θ \approx 24, 9 3^{\circ}

và làm tròn đến hàng đơn vị.

Câu 2

Số giá trị nguyên của tham số $m$ trên đoạn $[- 10; 10]$ để bất phương trình $m x^{2} - 2 m x + 2 m - 1 \leq 0$ thỏa mãn với mọi số thực $x$ là:

A

$10$

B

$11$

C

$18$

D

$20$

Lời giải

Bước $1$ : Biến đổi biểu thức

Hoàn thành bình phương biểu thức ở vế trái.

m x^{2} - 2 m x + 2 m - 1 = m (x - 1)^{2} - 1

Bước $2$ : Xét điều kiện tham số

Nếu $m \leq 0$ thì biểu thức luôn nhỏ hơn hoặc bằng $- 1$ , nên bất phương trình đúng với mọi $x$ .

Nếu $m > 0$ , chọn $x = 1 + \frac{2}{m}$ thì biểu thức bằng $1 > 0$ , nên không thỏa mãn.

m \leq 0 \Rightarrow m (x - 1)^{2} - 1 \leq - 1 < 0; m > 0, x = 1 + \frac{2}{m} \Rightarrow m (x - 1)^{2} - 1 = 1 > 0

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Các giá trị nguyên cần tìm là $m \in {- 10, - 9, \dots, 0}$ , có $11$ giá trị. Chọn B; các phương án A, C, D sai vì lần lượt cho $10$ , $18$ , $20$ giá trị.

# {m \in Z ∣ - 10 \leq m \leq 0} = 11

Đáp án: B — Có đúng

11

giá trị nguyên của

m

.

Câu 3

Cho tập hợp $A = {1; 2; 3; \dots; 99}$ . Tìm số cách chọn ba số khác nhau từ tập hợp $A$ để ba số đó lập thành cấp số cộng (nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án đúng: A={1,2,3,\ldots,99}

Lời giải

Bước 1: Biểu diễn cấp số cộng

Ba số được chọn có dạng $a$ , $a + r$ , $a + 2 r$ với $r \geq 1$ .

{a, a + r, a + 2 r} \subset A, a + 2 r \leq 99

Bước 2: Đếm theo công sai

Từ $a \geq 1$ và $a + 2 r \leq 99$ , suy ra $1 \leq r \leq 49$ .

Với mỗi $r$ , số giá trị của $a$ là $99 - 2 r$ .

1 \leq r \leq 49, a = 1, 2, \dots, 99 - 2 r

Bước 3: Tính tổng số cách

Cộng số cách tương ứng với mọi công sai $r$ .

r = 1 \sum 49 (99 - 2 r) = 49 \cdot 99 - 2 \cdot \frac{49 \cdot 50}{2} = 2401

Đáp án: Đáp án:

2401

— có

2401

cách chọn ba số lập thành cấp số cộng.

Câu 4

$lim_{x \to 3} \frac{2 x ^{2} - 6}{x - 3} = a b$ (a, b nguyên). Khi đó giá trị của $P = a + b$ bằng bao nhiêu?

Đáp án đúng: 7

Lời giải

Bước 1: Phân tích tử thức

Dùng $x^{2} - 3 = x^{2} - (3)^{2}$ để phân tích tử thức.

2 x^{2} - 6 = 2 (x^{2} - 3) = 2 (x - 3) (x + 3)

Bước 2: Rút gọn biểu thức

Rút gọn nhân tử $x - 3$ với $x \neq = 3$ .

\frac{2 ( x - 3 ) ( x + 3 )}{x - 3} = 2 (x + 3)

Bước 3: Tính giới hạn và $P$

Suy ra $a = 4$ , $b = 3$ , rồi tính $P$ .

x \to 3 lim 2 (x + 3) = 43, a = 4, b = 3, P = a + b = 7

Đáp án:

7

— vì giới hạn bằng

43

nên

a = 4

,

b = 3

.

Câu 5

Cho dãy số ${u_{1} = 1 u_{n + 1} = 3 u_{n}^{2} + 2$ và $S = u_{1}^{2} + u_{2}^{2} + \dots + u_{2023}^{2} + 2023$ . Khi đó $S$ có bao nhiêu chữ số.

A

$966$

B

$965$

C

$964$

D

$963$

Lời giải

Bước 1: Giải truy hồi bình phương

Đặt $a_{n} = u_{n}^{2}$ , khi đó $a_{1} = 1$ và $a_{n + 1} = 3 a_{n} + 2$ .

Nghiệm tổng quát có dạng $a_{n} = C \cdot 3^{n - 1} - 1$ ; từ $a_{1} = 1$ suy ra $C = 2$ .

a_{n} = 2 \cdot 3^{n - 1} - 1

Bước 2: Tính tổng $S$

Thay công thức $a_{n}$ vào tổng và dùng công thức cấp số nhân.

S = n = 1 \sum 2023 (2 \cdot 3^{n - 1} - 1) + 2023 = 2 \cdot \frac{3 ^{2023} - 1}{3 - 1} = 3^{2023} - 1

Bước 3: Xác định số chữ số

Vì $lo g_{10} 3 \approx 0.4771212547$ nên $2023 lo g_{10} 3 \approx 965.2163$ .

Do đó $S = 3^{2023} - 1$ có $⌊ 965.2163 ⌋ + 1 = 966$ chữ số.

⌊ lo g_{10} (3^{2023} - 1) ⌋ + 1 = 966

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $A$ : $966$ ; các phương án $B$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt thiếu $1$ , thiếu $2$ , thiếu $3$ chữ số.

Đáp án: A.

966

— vì

S = 3^{2023} - 1

có

966

chữ số.

Câu 6

Đạo hàm của hàm số $y = sin^{2} 2 x$ là:

A

$2 sin 2 x$

B

$2 sin 2 x cos 2 x$

C

$4 sin 2 x cos 2 x$

D

$4 cos 2 x$

Lời giải

Bước 1: Đặt hàm trung gian

Viết $y = (sin 2 x)^{2}$ và đặt $u = sin 2 x$ .

y = u^{2}

Bước 2: Áp dụng quy tắc đạo hàm

Dùng $(u^{2})^{'} = 2 u \cdot u^{'}$ và $(sin 2 x)^{'} = 2 cos 2 x$ .

y^{'} = 2 sin 2 x \cdot 2 cos 2 x = 4 sin 2 x cos 2 x

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $C$ : $A$ thiếu $cos 2 x$ và hệ số $2$ , $B$ thiếu hệ số $2$ , còn $D$ thiếu thừa số $sin 2 x$ .

y^{'} = 4 sin 2 x cos 2 x

Đáp án:

C

— Vì

y^{'} = 4 sin 2 x cos 2 x

.

Câu 7

Số nghiệm nguyên của bất phương trình $(4 + 15)^{x} + (4 - 15)^{x} \leq 62$ là:

A

$4$ .

B

$5$ .

C

$6$ .

D

$7$ .

Lời giải

Bước 1: Đặt cơ số phụ

Đặt $a = 4 + 15$ và $b = 4 - 15$ ; tích hai cơ số bằng $1$ .

ab = 1, S_{x} = a^{x} + b^{x} = a^{x} + a^{- x} = S_{- x}

Bước 2: Tính các giá trị biên

Vì $a + b = 8$ , $ab = 1$ , dãy $S_{n}$ thỏa hệ thức truy hồi sau.

S_{n} = 8 S_{n - 1} - S_{n - 2}, S_{0} = 2, S_{1} = 8, S_{2} = 62, S_{3} = 488

Bước 3: Đối chiếu phương án

Dãy $S_{n}$ tăng với $n \geq 0$ , nên chỉ các giá trị $∣ x ∣ \leq 2$ thỏa mãn.

Chọn $B$ ; $A$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt nêu $4$ , $6$ , $7$ , không khớp số nghiệm đã đếm.

S_{2} = 62 \leq 62, S_{3} = 488 > 62, x \in {- 2, - 1, 0, 1, 2}, # nghiệm = 5

Đáp án:

B

— có

5

nghiệm nguyên.

Câu 8

Cho hình chóp $S . A B C D$ đáy là hình bình hành $A B C D$ . Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm của $A B, A D, S C$ . Ta có mp $(M N P)$ . $M N$ cắt các đường $B C, C D$ lần lượt tại $K, L$ . Gọi $E$ là giao điểm của $P K$ và $S B$ , $F$ là giao điểm của $P L$ và $S D$ . Ta có giao điểm của $(M N P)$ với các cạnh $S B, S C, S D$ lần lượt là $E, P, F$ . Thiết diện tạo bởi $(M N P)$ với $S . A B C D$ là

A

tam giác $M N P$

B

tứ giác $M E P N$

C

ngũ giác $M N P F E$

D

tam giác $P K L$

Lời giải

Bước 1: Xác định giao tuyến với đáy

Vì $M, N \in (A B C D)$ nên giao tuyến của $(M N P)$ với đáy là $M N$ .

Đường thẳng $M N$ cắt $B C, C D$ lần lượt tại $K, L$ .

M N \subset (A B C D), K = M N \cap B C, L = M N \cap C D

Bước 2: Xác định điểm trên cạnh bên

Trong mặt phẳng $(M N P)$ , các đường $P K$ và $P L$ lần lượt cắt $S B, S D$ tại $E, F$ .

Do đó $(M N P)$ cắt các cạnh bên tại $E, P, F$ .

E = P K \cap S B, P \in S C, F = P L \cap S D

Bước 3: Ghép các đỉnh thiết diện

Theo thứ tự quanh thiết diện, các đỉnh là $M, E, P, F, N$ .

Vì có $5$ đỉnh nên thiết diện là một ngũ giác.

M \to E \to P \to F \to N \to M

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $C$ : ngũ giác $M N P F E$ .

Các phương án $A$ , $B$ , $D$ sai vì lần lượt thiếu các điểm cắt, thiếu $F$ , hoặc dùng tam giác $P K L$ không phải thiết diện.

Đáp án: C — Thiết diện là ngũ giác có các đỉnh

M, E, P, F, N

, ký hiệu

M N P F E

.

Câu 9

Gọi $S$ là tập hợp các giá trị nguyên dương của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{x + m}{x ^{2} + 6}$ đồng biến trên $(1; 2)$ . Tổng các phần tử của $S$ bằng

A

$6$

B

$9$

C

$21$

D

$15$

Lời giải

Bước 1: Tính đạo hàm

Mẫu số luôn dương trên $R$ .

y^{'} = \frac{( x ^{2} + 6 ) - x ( x + m )}{( x ^{2} + 6 ) ^{3/2}} = \frac{6 - m x}{( x ^{2} + 6 ) x ^{2} + 6}

Bước 2: Tìm $m$

Để hàm số đồng biến trên $(1; 2)$ , cần $6 - m x \geq 0$ với mọi $x \in (1; 2)$ .

6 - m x \geq 0 \forall x \in (1; 2) ⟺ m \leq \frac{6}{x} \forall x \in (1; 2) ⟺ m \leq 3

Bước 3: Đối chiếu phương án

Vì $m$ nguyên dương nên $S = {1; 2; 3}$ và tổng cần tìm là $6$ .

Chọn $A$ ; các phương án $B$ , $C$ , $D$ sai vì không bằng tổng $1 + 2 + 3$ .

1 + 2 + 3 = 6

Đáp án:

A . 6

— vì

S = {1; 2; 3}

nên tổng các phần tử bằng

6

.

Câu 10

Cho hàm số bậc ba $y = f (x)$ . Hàm số $y = f^{'} (x)$ có đồ thị như hình dưới đây. Hàm số $y = f (2 - x^{2})$ đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

Hình minh họa

A

$(- \infty; - 1)$

B

$(- \infty; 1)$

C

$(- 1; 1)$

D

$(4; 5)$

Lời giải

Bước 1: Tính đạo hàm

Đặt $u = 2 - x^{2}$ , áp dụng đạo hàm hàm hợp.

y^{'} = - 2 x f^{'} (2 - x^{2})

Bước 2: Xét dấu đạo hàm

Giải điều kiện $y^{'} > 0$ theo hai trường hợp dấu của $x$ .

x < 0 : x > 0 : f^{'} (2 - x^{2}) > 0 ⟺ 2 - x^{2} < 1 ⟺ x < - 1, f^{'} (2 - x^{2}) < 0 ⟺ 1 < 2 - x^{2} < 2 ⟺ 0 < x < 1.

Bước 3: Đối chiếu phương án

Hàm số đồng biến trên $(- \infty; - 1)$ và $(0; 1)$ . Chọn A; B, C, D sai vì lần lượt chứa đoạn nghịch biến, thiếu khoảng $(- \infty; - 1)$ hoặc nằm trong đoạn nghịch biến.

Đáp án: A — Hàm số đồng biến trên khoảng

(- \infty; - 1)

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG HN năm 2025 - Mã đề 18 — Toán học và xử lí số liệu

Toán học và xử lí số liệu

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Lập phương trình

Bước 2: Tìm giá trị sin

Bước 3: Tính và làm tròn góc

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Biến đổi biểu thức

Bước 2: Xét điều kiện tham số

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Biểu diễn cấp số cộng

Bước 2: Đếm theo công sai

Bước 3: Tính tổng số cách

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Phân tích tử thức

Bước 2: Rút gọn biểu thức

Bước 3: Tính giới hạn và P

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Giải truy hồi bình phương

Bước 2: Tính tổng S

Bước 3: Xác định số chữ số

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Đặt hàm trung gian

Bước 2: Áp dụng quy tắc đạo hàm

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Đặt cơ số phụ

Bước 2: Tính các giá trị biên

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Xác định giao tuyến với đáy

Bước 2: Xác định điểm trên cạnh bên

Bước 3: Ghép các đỉnh thiết diện

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Tính đạo hàm

Bước 2: Tìm m

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Tính đạo hàm

Bước 2: Xét dấu đạo hàm

Bước 3: Đối chiếu phương án

Bước $1$ : Lập phương trình

Bước $2$ : Tìm giá trị sin

Bước $3$ : Tính và làm tròn góc

Bước $1$ : Biến đổi biểu thức

Bước $2$ : Xét điều kiện tham số

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Bước 3: Tính giới hạn và $P$

Bước 2: Tính tổng $S$

Bước 2: Tìm $m$