Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG HN năm 2025 - Mã đề 17 — Toán học và xử lí số liệu môn Toán học (Đánh giá Năng lực (HSA))

Câu 1

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{m x + 4}{x + m}$ nghịch biến trên từng khoảng xác định?

A

$3$

B

$2$

C

$5$

D

Vô số

Lời giải

Bước 1: Tính đạo hàm

Trên miền xác định, đạo hàm có dạng phân thức với mẫu là bình phương.

f^{'} (x) = \frac{m ( x + m ) - ( m x + 4 )}{( x + m ) ^{2}} = \frac{m ^{2} - 4}{( x + m ) ^{2}}

Bước 2: Lập điều kiện nghịch biến

Vì $(x + m)^{2} > 0$ , điều kiện $f^{'} (x) < 0$ tương đương với $m^{2} - 4 < 0$ .

m^{2} - 4 < 0 ⟺ m^{2} < 4 ⟺ - 2 < m < 2

Bước 3: Đối chiếu phương án

Các giá trị nguyên là $m \in {- 1, 0, 1}$ , có $3$ giá trị. Chọn A; B, C, D sai vì lần lượt cho sai số lượng hoặc khẳng định vô số giá trị.

Đáp án: A — Có

3

giá trị nguyên là

m = - 1, 0, 1

.

Câu 2

Trong không gian, khẳng định nào sau đây sai.

A

Nếu ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau theo ba giao tuyến thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song.

B

Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

C

Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

D

Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.

Lời giải

Bước 1: Nhớ các định lý

Ba mặt phẳng có ba giao tuyến thì các giao tuyến đồng quy hoặc đôi một song song.

Nếu hai mặt phẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song.

Bước 2: Kiểm tra mệnh đề

Mệnh đề $B$ không đúng trong không gian: hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.

Mệnh đề $C$ đúng theo định lý: hai mặt phẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song.

Bước 3: Đối chiếu phương án

Theo kiến thức hình học không gian, phương án sai là $B$ , không phải $C$ ; vì vậy đáp án được cho trong đề bị nhầm.

Các phương án $A$ , $C$ , $D$ đúng; riêng $B$ sai do điều kiện vuông góc không bảo đảm hai đường thẳng song song.

Đáp án:

B

— Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng không nhất thiết song song; đáp án

C

trong đề không phù hợp.

Câu 3

Một công ty tuyển dụng nhân viên mới với mức lương là $170$ triệu đồng cho năm đầu tiên. Mỗi năm tiếp theo, tiền lương nhân viên này được tăng thêm $15$ triệu đồng cho đến khi đạt mức tối đa là $320$ triệu đồng/năm. Tính tổng số tiền lương mà người nhân viên nhận được trong $20$ năm đầu (nhập đáp án vào ô trống, đơn vị tính: triệu đồng):

Đáp án đúng: 5575

Lời giải

Bước $1$ : Xác định năm đạt trần

Giải $a_{n} = 320$ để tìm năm lương đạt mức tối đa.

320 = 170 + (n - 1) 15 \Rightarrow n = 11

Bước $2$ : Tính tổng lương

Mười năm đầu có mức lương từ $170$ đến $305$ ; mười năm sau nhận cố định $320$ triệu đồng mỗi năm.

S = \frac{10 ( 170 + 305 )}{2} + 10 \cdot 320 = 2375 + 3200 = 5575

Đáp án:

5575

triệu đồng — tổng của

10

năm đầu theo cấp số cộng và

10

năm sau giữ mức

320

.

Câu 4

Cho hàm số $f (x) = \frac{a x + 1}{b x + c} (a, b, c \in R)$ có bảng biến thiên như sau: (hình minh họa) Trong các số $a, b, c$ có bao nhiêu số dương?

A

$2$

B

$3$

C

$1$

D

$0$

Lời giải

Bước 1: Tìm quan hệ giữa $b, c$

Tiệm cận đứng $x = 2$ nên $b x + c = 0$ tại $x = 2$ .

- \frac{c}{b} = 2 \Rightarrow c = - 2 b

Bước 2: Dùng tính đồng biến

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định nên $f^{'} (x) > 0$ .

f^{'} (x) = \frac{a c - b}{( b x + c ) ^{2}} > 0 \Rightarrow a c - b > 0

Bước 3: Xét dấu theo bảng biến thiên

Dấu giới hạn tại $x = 2$ theo bảng biến thiên cho $b > 0$ và $2 a + 1 < 0$ .

Suy ra $a < 0$ ; đồng thời $c = - 2 b < 0$ .

b > 0, a < \frac{- 1}{2} < 0, c = - 2 b < 0

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chỉ có $b$ dương nên số lượng cần tìm là $1$ ; các phương án $A, B, D$ sai vì lần lượt cho $2, 3, 0$ số dương.

N = 1

Đáp án: C.

1

— chỉ

b

là số dương.

Câu 5

Nếu $lim_{x \to 1} \frac{f ( x ) - 5}{x - 1} = 2$ và $lim_{x \to 1} \frac{g ( x ) - 1}{x - 1} = 3$ thì $lim_{x \to 1} \frac{f ( x ) \cdot g ( x ) + 4 - 3}{x - 1}$ bằng:

A

$\frac{17}{6}$

B

$\frac{23}{7}$

C

$7$

D

$17$

Lời giải

Bước 1: Xác định giới hạn phụ

Từ giả thiết, $f (x) \to 5$ và $g (x) \to 1$ khi $x \to 1$ .

x \to 1 lim f (x) = 5, x \to 1 lim g (x) = 1

Bước 2: Nhân liên hợp

Nhân liên hợp, rồi tách $f (x) g (x) - 5$ theo đẳng thức đã nhớ.

\frac{f ( x ) g ( x ) + 4 - 3}{x - 1} = \frac{f ( x ) g ( x ) - 5}{( x - 1 ) ( f ( x ) g ( x ) + 4 + 3 )} = \frac{g ( x ) \frac{f ( x ) - 5}{x - 1} + 5 \frac{g ( x ) - 1}{x - 1}}{f ( x ) g ( x ) + 4 + 3}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Thay các giới hạn vào biểu thức thu được kết quả $\frac{17}{6}$ . Chọn phương án $A$ ; các phương án $B$ , $C$ , $D$ sai do tính sai tử số, mẫu số hoặc bỏ qua phép nhân liên hợp.

\frac{1 \cdot 2 + 5 \cdot 3}{5 \cdot 1 + 4 + 3} = \frac{17}{6}

Đáp án:

A . \frac{17}{6}

— kết quả của phép nhân liên hợp và tách giới hạn.

Câu 6

Đạo hàm của hàm số $y = sin^{2} 2 x$ là:

A

$2 sin 2 x$

B

$2 sin 4 x$

C

$2 cos 2 x$

D

$sin 4 x$

Lời giải

Bước 1: Đặt hàm trung gian

Đặt $u = sin 2 x$ , suy ra $y = u^{2}$ .

u = sin 2 x, y = u^{2}

Bước 2: Tính đạo hàm

Áp dụng quy tắc hàm hợp và công thức lượng giác.

y^{'} = 2 u \cdot u^{'} = 2 sin 2 x \cdot 2 cos 2 x = 4 sin 2 x cos 2 x = 2 sin 4 x

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $B$ ; các phương án $A$ , $C$ , $D$ sai lần lượt do thiếu hệ số, sai hàm lượng giác và thiếu hệ số $2$ .

y^{'} = 2 sin 4 x

Đáp án: Đáp án

B

— vì

y^{'} = 2 sin 4 x

.

Câu 7

Cho hình chóp $S . A B C D$ đáy là hình vuông cạnh $a$ . Mặt bên $S A D$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.

Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $S B, B C, C D$ . Tính thể tích khối tứ diện $C M N P$ .

A

$\frac{3 a ^{3} 3}{96}$

B

$\frac{a ^{3} 3}{96}$

C

$\frac{a ^{3} 2}{96}$

D

$a^{3} 96$

Lời giải

Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ

Đặt đáy trên mặt phẳng $z = 0$ và mặt phẳng $(S A D)$ là $y = 0$ .

Vì $S A D$ đều nên $S$ nằm trên đường trung trực của $A D$ .

A (0, 0, 0), D (a, 0, 0), B (0, a, 0), C (a, a, 0), S (\frac{a}{2}, 0, \frac{a 3}{2})

Bước 2: Tìm trung điểm và diện tích đáy

Tính các trung điểm $M, N, P$ ; tam giác $C N P$ vuông tại $C$ .

Do đó, chọn $C N P$ làm đáy của tứ diện.

M (\frac{a}{4}, \frac{a}{2}, \frac{a 3}{4}), N (\frac{a}{2}, a, 0), P (a, \frac{a}{2}, 0), C N = C P = \frac{a}{2}, S_{C N P} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} = \frac{a ^{2}}{8}

Bước 3: Tính thể tích

Mặt phẳng $(C N P)$ là $z = 0$ , nên chiều cao từ $M$ là $h = \frac{a 3}{4}$ .

V_{C M N P} = \frac{1}{3} \cdot \frac{a ^{2}}{8} \cdot \frac{a 3}{4} = \frac{a ^{3} 3}{96}

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $B$ . Các phương án $A$ , $C$ , $D$ lần lượt sai do thừa hệ số $3$ , dùng sai căn thức và sai hệ số.

Đáp án: Phương án

B

—

V_{C M N P} = \frac{a ^{3} 3}{96}

.

Câu 8

Cho hàm số $f (x)$ thỏa mãn $f^{'} (x) = a x^{2} + \frac{b}{x ^{3}}, f^{'} (1) = 3, f (1) = 2, f (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{12}$ . Khi đó $2 a + b$ bằng

A

$- \frac{3}{2}$

B

$0$

C

$5$

D

$\frac{3}{2}$

Lời giải

Bước 1: Dùng điều kiện đạo hàm

Thay $x = 1$ vào công thức đạo hàm để lập phương trình đầu tiên.

f^{'} (1) = a + b = 3

Bước 2: Lập phương trình thứ hai

Lấy nguyên hàm rồi sử dụng hai giá trị của $f$ để khử $C$ .

f (x) = \frac{a x ^{3}}{3} - \frac{b}{2 x ^{2}} + C; {\frac{a}{3} - \frac{b}{2} + C = 2 \frac{a}{24} - 2 b + C = - \frac{1}{12} ⟹ 7 a + 36 b = 50

Bước 3: Đối chiếu phương án

Giải hệ thu được $a = 2$ , $b = 1$ nên $2 a + b = 5$ . Chọn phương án $C$ ; các phương án $A$ , $B$ , $D$ sai vì không bằng giá trị $5$ .

{a + b = 3 7 a + 36 b = 50 ⟹ a = 2, b = 1 ⟹ 2 a + b = 5

Đáp án: C — Vì

2 a + b = 5

.

Câu 9

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in (- 20; + \infty)$ để bất phương trình $4^{x} - (m + 1) 2^{x + 1} + m + 3 \geq 0$ nghiệm đúng với mọi $x \in Z$ (nhập đáp án vào ô trống):

Đáp án đúng: 5

Lời giải

Bước 1: Đặt ẩn phụ

Đặt $t = 2^{x} > 0$ , đưa bất phương trình về dạng bậc hai theo $t$ .

t = 2^{x} > 0, 4^{x} = t^{2}, f_{m} (x) = t^{2} - 2 (m + 1) t + m + 3; x \to - \infty lim f_{m} (x) = m + 3 \geq 0 ⟹ m \geq - 3

Bước 2: Tìm khoảng giá trị cần xét

Thay $x = 0$ để có thêm điều kiện cần, rồi kết hợp với miền của $m$ .

f_{m} (0) = 1 - 2 (m + 1) + m + 3 = 2 - m \geq 0 ⟹ m \leq 2 ⟹ m \in {- 3, - 2, - 1, 0, 1, 2}

Bước 3: Kiểm tra các giá trị

Với năm giá trị đầu, biểu thức lần lượt luôn không âm; giá trị $m = 2$ bị loại khi $x = 1$ .

f_{- 3} = t^{2} + 4 t \geq 0, f_{- 2} = (t + 1)^{2} \geq 0, f_{- 1} = t^{2} + 2 > 0, f_{0} = (t - 1)^{2} + 2 \geq 0, f_{1} = (t - 2)^{2} \geq 0; f_{2} (1) = 4 - 12 + 5 = - 3 < 0

Đáp án: 5 — năm giá trị

m \in {- 3, - 2, - 1, 0, 1}

thỏa mãn.

Câu 10

Cho hàm số bậc năm $y = f (x)$ và đồ thị hàm số $y = f^{'} (x)$ là đường cong trong hình vẽ bên. Xét hàm số $g (x) = 3 f (- x^{2} - x + m + 3) + (x^{2} + x - m - 3) (x^{2} + x - m)$ , $m$ là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc nửa khoảng $(- 100; 100]$ để hàm số $g (x)$ đồng biến trên khoảng $(0; 3)$ (nhập đáp án vào ô trống)?

Đáp án đúng: 182

Lời giải

Bước 1: Đổi biến và tính đạo hàm

Đặt $t = - x^{2} - x + m + 3$ ; khi đó $x^{2} + x - m - 3 = - t$ và $x^{2} + x - m = 3 - t$ .

g (x) = 3 f (t) + t (t - 3), g^{'} (x) = - (2 x + 1) [3 f^{'} (t) + 2 t - 3]

Bước 2: Đưa về điều kiện trên đồ thị

Trên $(0; 3)$ , ta có $- (2 x + 1) < 0$ , nên $g^{'} (x) g e 0 L o n g l e f t r i g h t a r r o w f^{'} (t) l e 1 - f r a c 23 t$ .

Vì $x in (0; 3)$ nên $t in (m - 9; m + 3)$ . Đường thẳng $d : y = 1 - f r a c 23 t$ cắt đồ thị tại $a l p ha in (- 3; - 2)$ và $b e t a in (3; 4)$ ; điều kiện đúng khi $t < a l p ha$ hoặc $t > b e t a$ .

t in (m - 9; m + 3), (m - 9; m + 3) s u b se t (- in f t y; a l p ha) hoặc (m - 9; m + 3) s u b se t (b e t a; + in f t y)

Bước 3: Tìm và đếm giá trị của m

Do $- 3 < a l p ha < - 2$ và $3 < b e t a < 4$ , với $m$ nguyên ta được $m l e - 6$ hoặc $m g e 13$ .

Giao với $m in (- 100; 100]$ cho các dãy $- 99, - 98, l d o t s, - 6$ và $13, 14, l d o t s, 100$ .

N = 94 + 88 = 182

Đáp án:

182

— có

94

giá trị với

m l e - 6

và

88

giá trị với

m g e 13

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG HN năm 2025 - Mã đề 17 — Toán học và xử lí số liệu

Toán học và xử lí số liệu

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Tính đạo hàm

Bước 2: Lập điều kiện nghịch biến

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Nhớ các định lý

Bước 2: Kiểm tra mệnh đề

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Xác định năm đạt trần

Bước 2: Tính tổng lương

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Tìm quan hệ giữa b,c

Bước 2: Dùng tính đồng biến

Bước 3: Xét dấu theo bảng biến thiên

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Xác định giới hạn phụ

Bước 2: Nhân liên hợp

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Đặt hàm trung gian

Bước 2: Tính đạo hàm

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ

Bước 2: Tìm trung điểm và diện tích đáy

Bước 3: Tính thể tích

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Dùng điều kiện đạo hàm

Bước 2: Lập phương trình thứ hai

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Đặt ẩn phụ

Bước 2: Tìm khoảng giá trị cần xét

Bước 3: Kiểm tra các giá trị

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Đổi biến và tính đạo hàm

Bước 2: Đưa về điều kiện trên đồ thị

Bước 3: Tìm và đếm giá trị của m

Bước $1$ : Xác định năm đạt trần

Bước $2$ : Tính tổng lương

Bước 1: Tìm quan hệ giữa $b, c$