Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG HN năm 2025 - Mã đề 15 — Toán học môn Toán học (Đánh giá Năng lực (HSA))

Câu 1

Trong một thí nghiệm, một quả cầu được gắn vào một đầu dây đàn hồi, đầu kia của sợi dây được gắn cố định vào một thanh treo nằm ngang.

Sau khi quả cầu được kéo xuống và thả ra, nó bắt đầu di chuyển lên xuống.

Khi đó, chiều cao $h$ (cm) của quả cầu so với mặt đất theo thời gian $t$ (giây) được xác định bởi công thức: $h = 100 - 30 cos 20 t$ .

Tính thời điểm đầu tiên mà quả cầu đạt được chiều cao cao nhất kể từ khi quả cầu được thả ra (nhập đáp án vào ô trống, đơn vị: giây, làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Đáp án đúng: 0,16

Lời giải

Bước 1: Điều kiện đạt cực đại

Chiều cao $h$ lớn nhất khi $cos (20 t) = - 1$ .

cos (20 t) = - 1

Bước 2: Tìm thời điểm đầu tiên

Nghiệm tổng quát là $20 t = π + 2 k π$ . Thời điểm đầu tiên ứng với $k = 0$ .

t = \frac{π}{20} \approx 0, 1571 s \approx 0, 16 s

Đáp án:

0, 16 s

— vì

h

đạt cực đại khi

cos (20 t) = - 1

.

Câu 2

Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số $m$ để bất phương trình $x^{6} + 3 x^{4} - m^{3} x^{3} + 4 x^{2} - m x + 2 \geq 0$ đúng với mọi $x \in [1; 3]$ . Tổng của tất cả các phần tử thuộc $S$ bằng:

A

$3$

B

$2$

C

$1$

D

$4$

Lời giải

Bước 1: Phân tích nhân tử

Biểu thức đã cho phân tích được thành tích hai nhân tử.

Với $x \in [1; 3]$ và $m$ nguyên dương, nhân tử thứ hai luôn dương.

(x^{2} - m x + 1) (x^{4} + m x^{3} + (m^{2} + 2) x^{2} + m x + 2)

Bước 2: Đưa về điều kiện đơn

Do nhân tử thứ hai dương, điều kiện tương đương là $x^{2} - m x + 1 \geq 0$ với mọi $x \in [1; 3]$ .

Vì $x > 0$ , chia cho $x$ được điều kiện theo hàm $g (x) = x + \frac{1}{x}$ .

x^{2} - m x + 1 \geq 0 ⟺ x + \frac{1}{x} \geq m

Bước 3: Tìm giới hạn của $m$

Ta có $g^{'} (x) = 1 - \frac{1}{x ^{2}} \geq 0$ trên $[1; 3]$ , nên $g$ tăng.

Vì vậy, $[1; 3] min g (x) = g (1) = 2$ , suy ra $m \leq 2$ .

g^{'} (x) = 1 - \frac{1}{x ^{2}} \geq 0; [1; 3] min g (x) = g (1) = 2

Bước 4: Đối chiếu phương án

Vì $m$ nguyên dương và $m \leq 2$ , suy ra $S = {1, 2}$ , nên tổng cần tìm là $3$ .

Chọn A; B, C, D sai vì lần lượt cho tổng $2$ , $1$ , $4$ .

m \in {1, 2} ⟹ m \in S \sum m = 1 + 2 = 3

Đáp án: A — Vì

S = {1, 2}

nên tổng các phần tử bằng

3

.

Câu 3

Cho $\int_{5}^{12} \frac{d x}{x x + 4} = \frac{1}{a} ln \frac{b}{c}$ , với $a, b, c, d$ là các số nguyên dương và $\frac{b}{c}$ là phân số tối giản. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A

$a = b - c$

B

$b = c - a$

C

$c = a - b$

D

$b = 2 c$

Lời giải

Bước 1: Đổi biến

Đặt $u = x + 4$ ; đổi cận tương ứng từ $x = 5, 12$ thành $u = 3, 4$ .

u = x + 4, x = u^{2} - 4, d x = 2 u d u, x : 5 \to 12 \Rightarrow u : 3 \to 4

Bước 2: Phân tích phân thức

Thay biến và phân tích mẫu số để đưa về dạng nguyên hàm logarit.

I = 2 \int_{3}^{4} \frac{d u}{u ^{2} - 4} = \frac{1}{2} \int_{3}^{4} (\frac{1}{u - 2} - \frac{1}{u + 2}) d u

Bước 3: Tính tích phân

Tính tại hai cận $u = 3$ và $u = 4$ .

I = \frac{1}{2} [ln \frac{u - 2}{u + 2}]_{3}^{4} = \frac{1}{2} (ln \frac{1}{3} - ln \frac{1}{5}) = \frac{1}{2} ln \frac{5}{3}

Bước 4: Đối chiếu phương án

Suy ra $a = 2$ , $b = 5$ , $c = 3$ ; phương án $A$ đúng, còn $B$ , $C$ , $D$ sai lần lượt theo các đối chiếu dưới đây.

a = 2, b = 5, c = 3; a = b - c (2 = 5 - 3), b \neq = c - a, c \neq = a - b, b \neq = 2 c

Đáp án:

A

— Vì

a = 2

,

b = 5

,

c = 3

nên

a = b - c

.

Câu 4

Đường tròn $(C)$ có tâm $I (- 1; 3)$ và tiếp xúc với đường thẳng $d : 3 x - 4 y + 5 = 0$ tại điểm $H$ .

Tọa độ điểm $H$ là:

A

$(- \frac{1}{5}; - \frac{7}{5})$

B

$(\frac{1}{5}; \frac{7}{5})$

C

$(\frac{1}{5}; - \frac{7}{5})$

D

$(- \frac{1}{5}; \frac{7}{5})$

Lời giải

Bước 1: Lập phương trình $I H$

Đường thẳng $d$ có vectơ pháp tuyến $(3; - 4)$ , nên $I H$ có dạng $4 x + 3 y + c = 0$ .

Thay $I (- 1; 3)$ vào phương trình để tìm $c$ .

4 (- 1) + 3 \cdot 3 + c = 0 \Rightarrow c = - 5 \Rightarrow I H : 4 x + 3 y - 5 = 0

Bước 2: Tìm giao điểm $H$

Giải hệ phương trình của $I H$ và $d$ để xác định tọa độ $H$ .

{4 x + 3 y - 5 = 0 3 x - 4 y + 5 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{5}, y = \frac{7}{5}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $B : H (\frac{1}{5}; \frac{7}{5})$ ; các phương án $A$ , $C$ , $D$ sai vì tọa độ không phải nghiệm của hệ trên.

Đáp án: B —

H (\frac{1}{5}; \frac{7}{5})

là giao điểm của

I H

và

d

.

Câu 5

$lim_{x \to + \infty} \frac{3 x - 5 sin 2 x + cos ^{2} x}{x ^{2} + 2}$ bằng:

A

$- \infty$

B

$0$

C

$3$

D

$+ \infty$

Lời giải

Bước 1: Chia cho $x^{2}$

Chuẩn hóa phân thức theo lũy thừa cao nhất của mẫu.

Các thành phần lượng giác vẫn bị chặn nên khi chia cho $x^{2}$ sẽ tiến về $0$ .

\frac{3 x - 5 sin 2 x + cos ^{2} x}{x ^{2} + 2} = \frac{\frac{3}{x} - \frac{5 s i n 2 x}{x ^{2}} + \frac{c o s ^{2} x}{x ^{2}}}{1 + \frac{2}{x ^{2}}}

Bước 2: Tính giới hạn

Dùng $∣ sin 2 x ∣ \leq 1$ và $0 \leq cos^{2} x \leq 1$ để xác định các số hạng trên tử đều tiến về $0$ .

x \to + \infty lim \frac{\frac{3}{x} - \frac{5 s i n 2 x}{x ^{2}} + \frac{c o s ^{2} x}{x ^{2}}}{1 + \frac{2}{x ^{2}}} = \frac{0 - 0 + 0}{1 + 0} = 0

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $B$ . Các phương án $A$ , $C$ , $D$ sai vì kết quả giới hạn hữu hạn và bằng $0$ , không phải $- \infty$ , $3$ hay $+ \infty$ .

Đáp án:

B

— Giới hạn bằng

0

.

Câu 6

Giá trị giới hạn của dãy số $D = lim (n^{2} + n + 1 - 2 3 n^{3} + n^{2} - 1 + n)$ .

A

$- \infty$

B

$- \frac{1}{6}$

C

$1$

D

$+ \infty$

Lời giải

Bước 1: Tách thành hai giới hạn

Tách mỗi căn về dạng hiệu với $n$ để xử lý riêng.

D = lim (n^{2} + n + 1 - n) - 2 lim (3 n^{3} + n^{2} + n - 1 - n)

Bước 2: Tính các giới hạn thành phần

Khử căn bậc hai bằng liên hợp và căn bậc ba bằng hiệu hai lập phương.

lim (n^{2} + n + 1 - n) lim (3 n^{3} + n^{2} + n - 1 - n) = lim \frac{n + 1}{n ^{2} + n + 1 + n} = \frac{1}{2}, = lim \frac{n ^{2} + n - 1}{3 ( n ^{3} + n ^{2} + n - 1 ) ^{2} + n 3 n ^{3} + n ^{2} + n - 1 + n ^{2}} = \frac{1}{3} .

Bước 3: Đối chiếu phương án

Thay hai kết quả vào biểu thức giới hạn.

Chọn $B$ ; các phương án $A$ , $C$ , $D$ sai vì không cho giá trị hữu hạn $- \frac{1}{6}$ .

D = \frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{1}{3} = - \frac{1}{6}

Đáp án:

B

— Vì

D = - \frac{1}{6}

.

Câu 7

Số nghiệm nguyên $x$ thỏa mãn $lo g_{2} x + lo g_{3} x \geq 1 + lo g_{2} x \cdot lo g_{3} x$ là:

A

$1$

B

$2$

C

$3$

D

$0$

Lời giải

Bước 1: Đổi biến và biến đổi

Đặt $t = lo g_{2} x$ , $L = lo g_{2} 3$ ; khi đó $lo g_{3} x = \frac{t}{L}$ và $L > 0$ .

t + \frac{t}{L} \geq 1 + \frac{t ^{2}}{L} ⟺ t^{2} - (L + 1) t + L \leq 0

Bước 2: Tìm khoảng nghiệm

Tam thức có hai nghiệm $t = 1$ và $t = L$ , nên $1 \leq t \leq L$ .

Do $2^{t}$ đồng biến, suy ra khoảng giá trị của $x$ .

Δ = (L - 1)^{2}, t_{1} = 1, t_{2} = L, 1 \leq lo g_{2} x \leq lo g_{2} 3 ⟺ 2 \leq x \leq 3

Bước 3: Đối chiếu phương án

Các nghiệm nguyên là $x = 2, 3$ , nên có $2$ nghiệm; chọn $B$ . $A$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt thiếu một nghiệm, thừa một nghiệm và không có nghiệm.

Đáp án:

B

— Có đúng

2

nghiệm nguyên là

x = 2

và

x = 3

.

Câu 8

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm trên $R$ với $f^{'} (x) = x (x + 1)^{2} (1 - x)$ . Hàm số đồng biến trên khoảng nào?

A

$(- 1; 0)$

B

$(0; 1)$

C

$(- \infty; - 1)$

D

$(1; + \infty)$

Lời giải

Bước 1: Tìm các mốc xét dấu

Các nhân tử bằng $0$ tại $x = - 1$ , $x = 0$ , $x = 1$ .

x = - 1, 0, 1

Bước 2: Xét dấu đạo hàm

Dấu của $f^{'} (x)$ chỉ dương trên khoảng $(0; 1)$ ; các khoảng còn lại trong phương án đều cho $f^{'} (x) < 0$ .

f^{'} (x) {< 0, > 0, x \in (- \infty; - 1) \cup (- 1; 0) \cup (1; + \infty) x \in (0; 1)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn B: $(0; 1)$ . A, C, D sai vì trên lần lượt $(- 1; 0)$ , $(- \infty; - 1)$ và $(1; + \infty)$ thì $f^{'} (x) < 0$ .

Đáp án: B — Vì

f^{'} (x) > 0

trên

(0; 1)

.

Câu 9

Cho $lo g_{a} c = 2, lo g_{c} b = 3$ . Khi đó giá trị của biểu thức $lo g_{c} (a^{7} b)$ là:

A

$6$

B

$\frac{3}{2}$

C

$\frac{1}{6}$

D

$\frac{13}{2}$

Lời giải

Bước 1: Đổi cơ số

Đổi $lo g_{a} c$ về cơ số $c$ .

lo g_{c} a = \frac{1}{lo g _{a} c} = \frac{1}{2}

Bước 2: Tách logarit

Áp dụng tính chất logarit cho tích và lũy thừa.

lo g_{c} (a^{7} b) = 7 lo g_{c} a + lo g_{c} b = 7 \cdot \frac{1}{2} + 3 = \frac{13}{2}

Bước n: Đối chiếu phương án

Kết quả là $\frac{13}{2}$ , nên chọn phương án D đúng.

Các phương án A, B, C không bằng $\frac{13}{2}$ .

Đáp án: D

-

\frac{13}{2}

Câu 10

Nghiệm của phương trình $6 sin^{2} x + sin x cos x - cos^{2} x = 2$ là

A

${x = - arctan \frac{3}{4} + k π x = \frac{π}{4} + k π$

B

${x = arctan \frac{3}{4} + k π x = \frac{π}{2} + k π$

C

${x = arctan \frac{3}{4} + k π x = - \frac{π}{4} + k π$

D

${x = arctan \frac{1}{4} + k π x = \frac{π}{4} + k π$

Lời giải

Bước 1: Xét trường hợp đặc biệt

Nếu $cos x = 0$ thì $x = \frac{π}{2} + k π$ và vế trái bằng $6 \neq = 2$ .

Vậy $cos x \neq = 0$ , được phép chia hai vế cho $cos^{2} x$ .

cos x = 0 \Rightarrow 6 sin^{2} x + sin x cos x - cos^{2} x = 6 \neq = 2

Bước 2: Đưa về phương trình bậc hai

Chia cho $cos^{2} x$ , rồi dùng $\frac{1}{cos ^{2} x} = 1 + tan^{2} x$ .

6 tan^{2} x + tan x - 1 = 2 (1 + tan^{2} x) \Rightarrow 4 tan^{2} x + tan x - 3 = 0 \Rightarrow (4 tan x - 3) (tan x + 1) = 0

Bước 3: Đối chiếu phương án

Suy ra $tan x = \frac{3}{4}$ hoặc $tan x = - 1$ , nên $x = arctan \frac{3}{4} + k π$ hoặc $x = - \frac{π}{4} + k π$ .

$A$ , $B$ , $D$ sai vì lần lượt sai dấu hoặc góc ở nghiệm thứ hai, chứa nghiệm $\frac{π}{2} + k π$ bị loại, và sai hệ số $\frac{1}{4}$ .

tan x = \frac{3}{4} \Rightarrow x = arctan \frac{3}{4} + k π; tan x = - 1 \Rightarrow x = - \frac{π}{4} + k π

Đáp án:

C

— nghiệm là

x = arctan \frac{3}{4} + k π

hoặc

x = - \frac{π}{4} + k π

, với

k \in Z

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG HN năm 2025 - Mã đề 15 — Toán học

Toán học

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Điều kiện đạt cực đại

Bước 2: Tìm thời điểm đầu tiên

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Phân tích nhân tử

Bước 2: Đưa về điều kiện đơn

Bước 3: Tìm giới hạn của m

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Đổi biến

Bước 2: Phân tích phân thức

Bước 3: Tính tích phân

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Lập phương trình IH

Bước 2: Tìm giao điểm H

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Chia cho x2

Bước 2: Tính giới hạn

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Tách thành hai giới hạn

Bước 2: Tính các giới hạn thành phần

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Đổi biến và biến đổi

Bước 2: Tìm khoảng nghiệm

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Tìm các mốc xét dấu

Bước 2: Xét dấu đạo hàm

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Đổi cơ số

Bước 2: Tách logarit

Bước n: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Xét trường hợp đặc biệt

Bước 2: Đưa về phương trình bậc hai

Bước 3: Đối chiếu phương án

Bước 3: Tìm giới hạn của $m$

Bước 1: Lập phương trình $I H$

Bước 2: Tìm giao điểm $H$

Bước 1: Chia cho $x^{2}$