Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG HN năm 2025 - Mã đề 09 — Toán học môn Toán học (Đánh giá Năng lực (HSA))

Câu 1

Một cây cầu có dạng cung AB của đồ thị hàm số $y = 4, 8 cos \frac{x}{9}$ và được mô tả trong hệ trục toạ độ với đơn vị trục là mét như hình vẽ bên dưới. Một sàn lan chở khối hàng hóa được xếp thành hình hộp chữ nhật với độ cao $3, 6 m$ so với mực nước sông. Hỏi chiều rộng của khối hàng hóa đó lớn nhất là bao nhiêu mét để sà lan có thể đi qua được gầm cầu?

Đáp án đúng: 13\text{ m}

Lời giải

Bước 1: Lập phương trình giao điểm

Mép trên của khối hàng nằm trên đường thẳng $y = 3, 6$ .

Hoành độ mép phải $x_{0}$ thỏa mãn phương trình:

4, 8 cos f r a c x_{0} 9 = 3, 6

Bước 2: Tìm hoành độ mép

Suy ra:

cos f r a c x_{0} 9 = 0, 75 R i g h t a r r o w x_{0} = 9 a r ccos (0, 75) a pp r o x 6, 5, t e x t m

Bước 3: Tính chiều rộng lớn nhất

Hai mép đối xứng nên chiều rộng là:

L = 2 x_{0} a pp r o x 2 c d o t 6, 5 = 13, t e x t m

Đáp án:

13, t e x t m

— bằng khoảng cách giữa hai giao điểm của cung cầu với đường thẳng

y = 3, 6

.

Câu 2

Cho hàm số $y = x^{3} + 3 x^{2} + 1$ có đồ thị $(C)$ và điểm $A (1; m)$ . Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để qua $A$ có thể kẻ được đúng ba tiếp tuyến với đồ thị $(C)$ . Số phần tử của $S$ là:

A

$9$

B

$7$

C

$3$

D

$5$

Lời giải

Bước 1: Lập phương trình tiếp tuyến

Gọi tiếp điểm là $T (t; t^{3} + 3 t^{2} + 1)$ . Điều kiện tiếp tuyến đi qua $A (1; m)$ cho phương trình theo $t$ .

T m = (t; t^{3} + 3 t^{2} + 1), f^{'} (t) = 3 t^{2} + 6 t, = f^{'} (t) (1 - t) + f (t) = - 2 t^{3} + 6 t + 1.

Bước 2: Xét số nghiệm thực

Đặt $φ (t) = - 2 t^{3} + 6 t + 1$ . Cần $φ (t) = m$ có đúng $3$ nghiệm thực phân biệt.

φ^{'} (t) = 6 (1 - t^{2}) = 0 ⟺ t = \pm 1; φ (- 1) = - 3, φ (1) = 5; - 3 < m < 5

Bước 3: Đối chiếu phương án

Vì $m \in Z$ nên $m \in {- 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4}$ , do đó $∣ S ∣ = 7$ .

Chọn $B$ . Các phương án $A$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt cho $9$ , $3$ , $5$ thay vì $7$ .

S = {- 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4}, ∣ S ∣ = 7

Đáp án: B — Có

7

giá trị nguyên của

m

để qua

A

kẻ được đúng

3

tiếp tuyến.

Câu 3

Một công ty tuyển dụng nhân viên mới với mức lương là $170$ triệu đồng cho năm đầu tiên. Mỗi năm tiếp theo, tiền lương nhân viên này được tăng thêm $15$ triệu đồng cho đến khi đạt mức tối đa là $320$ triệu đồng/năm. Tính tổng số tiền lương mà người nhân viên nhận được trong $20$ năm đầu (nhập đáp án vào ô trống, đơn vị tính: triệu đồng):

Đáp án đúng: 5575

Lời giải

Bước $1$ : Xác định năm đạt trần

Giải $a_{n} = 320$ để tìm năm lương đạt mức tối đa.

320 = 170 + (n - 1) 15 \Rightarrow n = 11

Bước $2$ : Tính tổng lương

Mười năm đầu có mức lương từ $170$ đến $305$ ; mười năm sau nhận cố định $320$ triệu đồng mỗi năm.

S = \frac{10 ( 170 + 305 )}{2} + 10 \cdot 320 = 2375 + 3200 = 5575

Đáp án:

5575

triệu đồng — tổng của

10

năm đầu theo cấp số cộng và

10

năm sau giữ mức

320

.

Câu 4

Một quả bóng được thả thẳng đứng từ độ cao $10 m$ rơi xuống đất và nảy lên. Giả sử sau mỗi lần rơi xuống, nó nảy lên được một độ cao bằng $75%$ độ cao vừa rơi xuống. Tính tổng quãng đường quả bóng di chuyển được kể từ lúc thả xuống đến khi quả bóng chạm đất lần thứ $10$ (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của mét).

A

$65, 5 m$

B

$65, 4 m$

C

$65, 49 m$

D

$55, 5 m$

Lời giải

Bước $1$ : Tính quãng rơi đầu tiên

Lần chạm đất đầu tiên chỉ gồm quãng rơi $10 m$ .

S_{0} = 10 m

Bước $2$ : Lập các quãng nảy–rơi

Sau lần chạm đất thứ $k$ , bóng nảy lên độ cao $h_{k}$ rồi rơi xuống.

h_{k} = 10 (0, 75)^{k}, k = 1, 2, \dots, 9

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Tổng quãng đường đến lần chạm đất thứ $10$ là:

Chọn A; B và C sai do làm tròn hoặc giữ thiếu chữ số, D sai vì tính thiếu các lượt nảy.

S = 10 + 2 k = 1 \sum 9 10 (0, 75)^{k} = 10 + 20 \cdot \frac{0 , 75 ( 1 - ( 0 , 75 ) ^{9} )}{1 - 0 , 75} \approx 65, 4949 m \approx 65, 5 m

Đáp án: A.

65, 5 m

— Tổng quãng đường được làm tròn từ

65, 4949 m

.

Câu 5

Trong không gian Oxyz cho hai điểm $M (3; - 3; 0), N (4; 10; - 8)$ . Độ dài đoạn thẳng $M N$ bằng

A

$226$

B

$282$

C

$178$

D

$326$

Lời giải

Bước 1: Tính độ dài $M N$

Tính lần lượt hiệu ba tọa độ rồi áp dụng công thức khoảng cách.

M N = (4 - 3; 10 - (- 3); - 8 - 0) = (1; 13; - 8), M N = 1^{2} + 1 3^{2} + (- 8)^{2} = 234 = 9 \cdot 26 = 326

Bước 2: Đối chiếu phương án

Chọn D: $M N = 326$ . A, B, C sai vì các giá trị lần lượt không bằng kết quả này.

Đáp án: D — Vì

M N = 326

theo công thức khoảng cách trong không gian.

Câu 6

Đạo hàm của hàm số $y = cot 3 x$ là:

A

$\frac{- 1}{s i n ^{2} 3 x}$

B

$\frac{1}{s i n ^{2} 3 x}$

C

$\frac{- 3}{s i n ^{2} 3 x}$

D

$\frac{3}{s i n ^{2} 3 x}$

Lời giải

Bước 1: Đặt biến phụ

Đặt $u = 3 x$ .

u = 3 x, u^{'} = 3

Bước 2: Áp dụng công thức

Dùng công thức đạo hàm của $cot u$ và thay $u = 3 x$ .

y^{'} = - \frac{u ^{'}}{sin ^{2} u} = - \frac{3}{sin ^{2} 3 x}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn C: $y^{'} = - \frac{3}{s i n ^{2} 3 x}$ . A sai vì thiếu hệ số $3$ ; B sai cả dấu và hệ số; D sai dấu.

Đáp án: C — Vì

y^{'} = - \frac{3}{s i n ^{2} 3 x}

theo công thức đạo hàm hàm hợp.

Câu 7

Cho $2$ số thực dương $a, b$ thỏa mãn $a + b = 5 ab$ . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A

$lo g \frac{a + b}{5} = (lo g a + lo g b)$

B

$lo g (a + b) = (lo g a + lo g b)$

C

$lo g (a + b) = 5 (lo g a + lo g b)$

D

$lo g \frac{a + b}{5} = (lo g a - lo g b)$

Lời giải

Bước 1: Biến đổi điều kiện

Chia hai vế cho $5$ để biểu diễn tích $ab$ .

f r a c a + b 5 = ab

Bước 2: Áp dụng tính chất logarit

Vì $a, b > 0$ , lấy logarit hai vế rồi dùng công thức logarit của tích.

l o g f r a c a + b 5 = l o g (ab) = l o g a + l o g b

Bước 3: Đối chiếu phương án

Phương án A đúng vì đúng với kết quả trên; B, C, D sai vì lần lượt thiếu chia cho $5$ , nhân sai hệ số $5$ , và dùng hiệu logarit thay vì tổng.

Đáp án: A — vì

l o g f r a c a + b 5 = l o g a + l o g b

.

Câu 8

Cho hình chóp $S . A B C$ có đáy là tam giác đều cạnh $2 a, S A ⊥ (A B C)$ . Góc giữa hai mặt phẳng $(S B C)$ và $(A B C)$ bằng $3 0^{\circ}$ . Thể tích khối chóp $S . A B C$ là:

A

$a^{3} \frac{3}{6}$ .

B

$a^{3} \frac{3}{3}$ .

C

$a^{3} \frac{3}{12}$ .

D

$a^{3} \frac{3}{8}$ .

Lời giải

Bước 1: Dựng thiết diện

Gọi $M$ là trung điểm $B C$ ; khi đó $A M ⊥ B C$ .

Do $A B = A C$ và $S A$ chung nên $S B = S C$ , suy ra $S M ⊥ B C$ ; vậy $∠ S M A = 3 0^{\circ}$ .

A M = \frac{2 a 3}{2} = a 3

Bước 2: Tìm chiều cao

Trong tam giác vuông $S A M$ tại $A$ , dùng góc $∠ S M A = 3 0^{\circ}$ để tính $S A$ .

tan 3 0^{\circ} = \frac{S A}{A M} = \frac{S A}{a 3} \Rightarrow S A = a

Bước 3: Tính thể tích

Đáy $A B C$ là tam giác đều cạnh $2 a$ , rồi áp dụng công thức thể tích khối chóp.

S_{A B C} = \frac{( 2 a ) ^{2} 3}{4} = a^{2} 3, V = \frac{1}{3} \cdot a^{2} 3 \cdot a = \frac{a ^{3} 3}{3}

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn $B$ vì $V = \frac{a ^{3} 3}{3}$ .

Các phương án $A$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt cho hệ số $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{4}$ và $\frac{3}{8}$ thay vì hệ số $1$ .

Đáp án: Đáp án

B

— vì thể tích khối chóp bằng

\frac{a ^{3} 3}{3}

.

Câu 9

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên $R$ thỏa mãn $\int_{0}^{1} f (x) d x = 2$ và $\int_{0}^{2} f (3 x + 1) d x = 6$ .

Tính $I = \int_{0}^{7} f (x) d x$ (nhập đáp án vào ô trống).

Đáp án đúng: 20

Lời giải

Bước 1: Đổi biến tích phân

Đặt $t = 3 x + 1$ , suy ra $d x = \frac{d t}{3}$ ; cận đổi từ $1$ đến $7$ .

t = 3 x + 1, x : 0 \to 2 \Rightarrow t : 1 \to 7, d x = \frac{d t}{3}; \int_{0}^{2} f (3 x + 1) d x = \frac{1}{3} \int_{1}^{7} f (t) d t = 6 \Rightarrow \int_{1}^{7} f (t) d t = 18

Bước 2: Tách tích phân cần tính

Tách tại cận $1$ rồi thay các giá trị đã biết.

I = \int_{0}^{7} f (x) d x = \int_{0}^{1} f (x) d x + \int_{1}^{7} f (x) d x = 2 + 18 = 20

Đáp án:

20

— do

\int_{0}^{7} f (x) d x = \int_{0}^{1} f (x) d x + \int_{1}^{7} f (x) d x = 2 + 18

.

Câu 10

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm liên tục trên $R$ và có đồ thị hàm số $y = f^{'} (x)$ là đường cong trong hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Hình minh họa

A

Hàm số $y = f (x)$ nghịch biến trên khoảng $(- 1; 1)$ .

B

Hàm số $y = f (x)$ đồng biến trên khoảng $(1; 2)$ .

C

Hàm số $y = f (x)$ đồng biến trên khoảng $(- 2; 1)$ .

D

Hàm số $y = f (x)$ nghịch biến trên khoảng $(0; 2)$ .

Lời giải

Bước 1: Đọc dấu đạo hàm

Trên đồ thị, đường cong nằm dưới trục hoành khi $x \in (0; 2)$ .

\forall x \in (0; 2), f^{'} (x) < 0

Bước 2: Suy ra tính đơn điệu

Vì $f^{'} (x) < 0$ trên $(0; 2)$ nên $f (x)$ nghịch biến trên khoảng này.

f^{'} (x) < 0 tr \overset{e}{ˆ} n (0; 2) \Rightarrow f (x) nghịch bi \overset{ˊ}{\overset{e}{ˆ}} n tr \overset{e}{ˆ} n (0; 2)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn D; A, B, C sai vì các khoảng tương ứng không thỏa dấu đạo hàm cần thiết theo đồ thị.

Đáp án: D — vì

f^{'} (x) < 0

trên

(0; 2)

nên

f (x)

nghịch biến trên

(0; 2)

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG HN năm 2025 - Mã đề 09 — Toán học

Toán học

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Lập phương trình giao điểm

Bước 2: Tìm hoành độ mép

Bước 3: Tính chiều rộng lớn nhất

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Lập phương trình tiếp tuyến

Bước 2: Xét số nghiệm thực

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Xác định năm đạt trần

Bước 2: Tính tổng lương

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Tính quãng rơi đầu tiên

Bước 2: Lập các quãng nảy–rơi

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Tính độ dài MN

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Đặt biến phụ

Bước 2: Áp dụng công thức

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Biến đổi điều kiện

Bước 2: Áp dụng tính chất logarit

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Dựng thiết diện

Bước 2: Tìm chiều cao

Bước 3: Tính thể tích

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Đổi biến tích phân

Bước 2: Tách tích phân cần tính

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Đọc dấu đạo hàm

Bước 2: Suy ra tính đơn điệu

Bước 3: Đối chiếu phương án

Bước $1$ : Xác định năm đạt trần

Bước $2$ : Tính tổng lương

Bước $1$ : Tính quãng rơi đầu tiên

Bước $2$ : Lập các quãng nảy–rơi

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Bước 1: Tính độ dài $M N$