Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG HN năm 2025 - Mã đề 08 — Toán học môn Toán học (Đánh giá Năng lực (HSA))

Câu 1

Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng $d : {x = - 4 t + 1 y = - 2 + 3 t$ . Một vectơ chỉ phương của $d$ là

A

$(1; 3)$

B

$(- 4; 2)$

C

$(4; - 3)$

D

$(- 1; 3)$

Lời giải

Bước 1: Lấy hệ số của tham số

Các hệ số của $t$ trong hai tọa độ lần lượt là $- 4$ và $3$ .

u = (- 4; 3)

Bước 2: Xét vectơ đối

Vectơ đối của $u$ cũng là vectơ chỉ phương của $d$ .

- u = (4; - 3)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $C$ : $(4; - 3)$ . Các phương án $A$ , $B$ , $D$ sai vì lần lượt không cùng phương với $(- 4; 3)$ .

v = (4; - 3)

Đáp án: C —

(4; - 3)

là vectơ đối của

(- 4; 3)

nên cùng phương với

d

.

Câu 2

Đạo hàm của hàm số $y = tan x - cot x$ là

A

$\frac{1}{cos ^{2} x} - \frac{1}{sin ^{2} x} + 1$

B

$\frac{1}{sin ^{2} x} - \frac{1}{cos ^{2} x}$

C

$\frac{4}{cos ^{2} 2 x}$

D

$\frac{4}{sin ^{2} 2 x}$

Lời giải

Bước 1: Lấy đạo hàm từng phần

Áp dụng công thức đạo hàm của $tan x$ và $cot x$ .

y^{'} = \frac{1}{cos ^{2} x} + \frac{1}{sin ^{2} x}

Bước 2: Rút gọn về góc đôi

Quy đồng và dùng $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ , $sin 2 x = 2 sin x cos x$ .

y^{'} = \frac{1}{sin ^{2} x cos ^{2} x} = \frac{4}{sin ^{2} 2 x}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $D$ ; các phương án $A$ , $B$ , $C$ lần lượt sai dấu, sai dạng rút gọn hoặc sai hệ số.

y^{'} = \frac{4}{sin ^{2} 2 x}

Đáp án: D — Vì

y^{'} = \frac{4}{sin ^{2} 2 x}

.

Câu 3

Từ một ngân hàng đề gồm 10 câu hỏi, trong đó có 4 câu lý thuyết và 6 câu bài tập, người ta cấu tạo thành các đề thi. Biết rằng trong một đề thi phải gồm 3 câu hỏi trong đó có ít nhất 1 câu lý thuyết và 1 câu hỏi bài tập. Từ ngân hàng đề đó có thể tạo được bao nhiêu đề thi thỏa mãn yêu cầu trên?

A

60

B

100

C

36

D

96

Lời giải

Bước $1$ : Chọn $1$ lý thuyết, $2$ bài tập

Số cách chọn là $C_{4}^{1} C_{6}^{2}$ .

C_{4}^{1} C_{6}^{2} = 4 \cdot 15 = 60

Bước $2$ : Chọn $2$ lý thuyết, $1$ bài tập

Số cách chọn là $C_{4}^{2} C_{6}^{1}$ .

C_{4}^{2} C_{6}^{1} = 6 \cdot 6 = 36

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Tổng số đề là $60 + 36 = 96$ . Chọn D; A, B, C sai vì lần lượt chỉ tính một trường hợp, cộng sai, hoặc bỏ trường hợp còn lại.

60 + 36 = 96

Đáp án: D — Có

96

đề thi thỏa mãn điều kiện.

Câu 4

Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên như sau:Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là

Hình minh họa

A

0

B

1

C

2

D

3

Lời giải

Bước 1: Tìm tiệm cận ngang

Vì $lim_{x \to - \infty} f (x) = - 2$ nên có tiệm cận ngang $y = - 2$ .

Khi $x \to + \infty$ , $f (x) \to + \infty$ nên không phát sinh tiệm cận ngang.

x \to - \infty lim f (x) = - 2 \Rightarrow y = - 2

Bước 2: Tìm tiệm cận đứng

Tại $x = 0$ , các giới hạn phía trái là vô cực nên có tiệm cận đứng $x = 0$ .

x \to 0^{-} lim f (x) = - \infty \Rightarrow x = 0

Bước 3: Đối chiếu phương án

Tổng số đường tiệm cận là $1 + 1 = 2$ . Chọn phương án C; A, B, D sai vì lần lượt cho tổng $0$ , $1$ , $3$ .

1 + 1 = 2

Đáp án: C — Có

1

tiệm cận ngang và

1

tiệm cận đứng, nên tổng bằng

2

.

Câu 5

Tính $x \to 0 lim \frac{( 1 + x ) ( 1 + 2 x ) ( 1 + 3 x ) ... ( 1 + 2018 x ) - 1}{x}$ ta được kết quả là:

A

$2018 \cdot 2019$

B

$2019$

C

$2018$

D

$1009 \cdot 2019$

Lời giải

Bước 1: Nhận dạng đạo hàm

Đặt $P (x) = \prod_{k = 1}^{2018} (1 + k x)$ , khi đó $P (0) = 1$ .

Giới hạn đã cho bằng $P^{'} (0)$ .

x \to 0 lim \frac{P ( x ) - P ( 0 )}{x - 0} = P^{'} (0)

Bước 2: Tính hệ số của x

Hệ số của $x$ trong $P (x)$ là tổng các số từ $1$ đến $2018$ .

Sử dụng công thức tổng cấp số cộng.

P^{'} (0) = 1 + 2 + \dots + 2018 = \frac{2018 \cdot 2019}{2} = 1009 \cdot 2019

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn D: $1009 \cdot 2019$ ; A sai vì thiếu hệ số $\frac{1}{2}$ , còn B và C sai vì không tính tổng các hệ số.

Đáp án: D.

1009 \cdot 2019

— bằng tổng

1 + 2 + \dots + 2018

.

Câu 6

Cho $f (x)$ là hàm số liên tục trên tập số thực không âm và thỏa mãn $f (x^{2} + 3 x + 1) = x + 2, \forall x \geq 0$ . Tính $\int_{1}^{5} f (x) d x$ .

A

$\frac{37}{6}$

B

$\frac{527}{30}$

C

$\frac{61}{6}$

D

$\frac{464}{30}$

Lời giải

Bước 1: Đổi biến tạo cận

Đặt $t = x^{2} + 3 x + 1$ ; khi $x = 0$ thì $t = 1$ , khi $x = 1$ thì $t = 5$ .

d t = (2 x + 3) d x, I = \int_{1}^{5} f (t) d t = \int_{0}^{1} f (x^{2} + 3 x + 1) (2 x + 3) d x

Bước 2: Dùng giả thiết và tính

Thay $f (x^{2} + 3 x + 1) = x + 2$ vào tích phân vừa lập.

I = \int_{0}^{1} (x + 2) (2 x + 3) d x = \int_{0}^{1} (2 x^{2} + 7 x + 6) d x = \frac{2}{3} + \frac{7}{2} + 6 = \frac{61}{6}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $C$ ; các phương án $A$ , $B$ , $D$ sai vì không khớp giá trị $\frac{61}{6}$ .

Đáp án:

C

— Đổi biến và dùng giả thiết cho

\int_{1}^{5} f (x) d x = \frac{61}{6}

.

Câu 7

Giới hạn $L = lim \frac{3 n - 1}{n + 2}$ bằng

A

$+ \infty$

B

$0$

C

$1$

D

$3$

Lời giải

Bước 1: Chia cho $n$

Chia cả tử và mẫu cho $n$ để đưa các phần chứa $\frac{1}{n}$ về dạng dễ tính.

\frac{3 n - 1}{n + 2} = \frac{3 - \frac{1}{n}}{1 + \frac{2}{n}}

Bước 2: Tính giới hạn

Khi $n \to \infty$ , ta có $\frac{1}{n} \to 0$ và $\frac{2}{n} \to 0$ .

L = \frac{3 - 0}{1 + 0} = 3

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $D$ . Các phương án $A$ , $B$ , $C$ sai vì không cho đúng giá trị giới hạn $3$ .

Đáp án: Phương án

D

— vì

L = 3

.

Câu 8

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm $f^{'} (x) = - x (2 x - 5), \forall x \in R$ . Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

A

$(- \infty; 0)$

B

$(0; 2)$

C

$(\frac{5}{2}; + \infty)$

D

$(- \infty; \frac{5}{2})$

Lời giải

Bước 1: Lập bất phương trình dấu

Hàm số đồng biến khi $f^{'} (x) > 0$ .

- x (2 x - 5) > 0 ⟺ x (5 - 2 x) > 0

Bước 2: Xét dấu

Các nghiệm chia trục số tại $x = 0$ và $x = \frac{5}{2}$ .

x = 0, 5 - 2 x = 0 ⟺ x = \frac{5}{2}; f^{'} (x) > 0 ⟺ 0 < x < \frac{5}{2}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Khoảng $(0; 2) \subset (0; \frac{5}{2})$ nên hàm số đồng biến trên đó; chọn B.

A, C, D sai vì lần lượt thuộc khoảng nghịch biến hoặc chứa cả miền đổi dấu.

Đáp án: B.

(0; 2)

— vì

(0; 2) \subset (0; \frac{5}{2})

, là khoảng đồng biến.

Câu 9

Gọi $A, B$ là giao điểm của hai đồ thị hàm số $y = \frac{x - 3}{x - 1}$ và $y = 1 - x$ . Diện tích tam giác $O A B$ bằng:

A

$\frac{3 2}{2}$

B

$3$

C

$2$

D

$32$

Lời giải

Bước 1: Tìm giao điểm

Suy ra $A (- 1; 2)$ và $B (2; - 1)$ .

\frac{x - 3}{x - 1} = 1 - x \Leftrightarrow x - 3 = - (x - 1)^{2} \Leftrightarrow x^{2} - x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = - 1 hoặc x = 2.

Bước 2: Tính diện tích

Kết quả tính được là $\frac{3}{2}$ .

S_{O A B} = \frac{1}{2} ∣ (- 1) (- 1) - 2 \cdot 2 ∣ = \frac{1}{2} ∣1 - 4∣ = \frac{3}{2} .

Bước 3: Đối chiếu phương án

Không có phương án nào bằng $\frac{3}{2}$ . Vì vậy, đề hoặc đáp án cho sẵn bị sai; phương án $C$ ghi $2$ không phù hợp với dữ kiện.

Đáp án: Đề có lỗi — diện tích đúng là

\frac{3}{2}

, không trùng phương án

C

.

Câu 10

Trong không gian Oxyz mặt phẳng $(P) : 2 x + 6 y + z - 3 = 0$ cắt trục Oz và đường thẳng $\frac{x - 5}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z - 6}{- 1}$ lần lượt tại A và B. Bán kính của mặt cầu đường kính AB là:

A

$6$

B

$3$

C

$9$

D

$36$

Lời giải

Bước 1: Tìm điểm $A$

Trên $O z$ , đặt $x_{A} = y_{A} = 0$ rồi thay vào phương trình $(P)$ .

x_{A} = y_{A} = 0, 2 \cdot 0 + 6 \cdot 0 + z_{A} - 3 = 0 \Rightarrow A (0, 0, 3)

Bước 2: Tìm điểm $B$

Đặt các tỉ số của đường thẳng bằng $t$ , rồi thay tọa độ vào $(P)$ .

x = 5 + t, y = 2 t, z = 6 - t; 2 (5 + t) + 6 (2 t) + (6 - t) - 3 = 0 \Rightarrow t = - 1 \Rightarrow B (4, - 2, 7)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Tính độ dài $A B$ và bán kính $R$ .

Chọn B; A, C, D sai vì lần lượt lấy $A B$ , tính sai độ dài và bình phương kết quả.

A B = (4 - 0)^{2} + (- 2 - 0)^{2} + (7 - 3)^{2} = 6, R = \frac{A B}{2} = 3

Đáp án: B —

R = 3

vì

A B = 6

và bán kính bằng một nửa đường kính.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG HN năm 2025 - Mã đề 08 — Toán học

Toán học

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Lấy hệ số của tham số

Bước 2: Xét vectơ đối

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Lấy đạo hàm từng phần

Bước 2: Rút gọn về góc đôi

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Chọn 1 lý thuyết, 2 bài tập

Bước 2: Chọn 2 lý thuyết, 1 bài tập

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Tìm tiệm cận ngang

Bước 2: Tìm tiệm cận đứng

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Nhận dạng đạo hàm

Bước 2: Tính hệ số của x

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Đổi biến tạo cận

Bước 2: Dùng giả thiết và tính

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Chia cho n

Bước 2: Tính giới hạn

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Lập bất phương trình dấu

Bước 2: Xét dấu

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Tìm giao điểm

Bước 2: Tính diện tích

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Tìm điểm A

Bước 2: Tìm điểm B

Bước 3: Đối chiếu phương án

Bước $1$ : Chọn $1$ lý thuyết, $2$ bài tập

Bước $2$ : Chọn $2$ lý thuyết, $1$ bài tập

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Bước 1: Chia cho $n$

Bước 1: Tìm điểm $A$

Bước 2: Tìm điểm $B$