Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG HN năm 2025 - Mã đề 07 — Toán học môn Toán học (Đánh giá Năng lực (HSA))

Câu 1

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(1; 2; -1), B(2; -1; 3), C(-4; 7; 5). Gọi D(x; y; z) là chân đường phân giác trong góc B của tam giác ABC. Giá trị của $x + y + 2 z$ bằng:

A

$5$

B

$4$

C

$14$

D

$15$

Lời giải

Bước 1: Tính tỉ lệ phân giác

Tính độ dài hai cạnh kề góc $B$ .

∣ B A ∣ = (- 1)^{2} + 3^{2} + (- 4)^{2} = 26, ∣ B C ∣ = (- 6)^{2} + 8^{2} + 2^{2} = 226

Bước 2: Tìm tọa độ điểm $D$

Theo định lý phân giác, $A D : D C = 1 : 2$ nên $D$ nằm trên $A C$ và cách $A$ một phần ba đoạn $A C$ .

A C = (- 5; 5; 6), D = A + \frac{1}{3} A C = (- \frac{2}{3}; \frac{11}{3}; 1)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Tính giá trị biểu thức và chọn phương án tương ứng.

Phương án $A$ đúng; $B$ , $C$ , $D$ sai vì đều khác kết quả $5$ .

x + y + 2 z = - \frac{2}{3} + \frac{11}{3} + 2 = 5

Đáp án:

A

— Vì

x + y + 2 z = 5

.

Câu 2

Cho hệ bất phương trình

${m^{2} x \geq 6 - x 3 x - 1 \leq x + 5$

Tất cả các giá trị của tham số $m$ để hệ bất phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là:

A

$m = 1$

B

$m = - 1$

C

$m = \pm 1$

D

$m \geq 1$

Lời giải

Bước 1: Giải bất phương trình thứ hai

Rút gọn bất phương trình thứ hai để tìm cận trên của $x$ .

3 x - 1 \leq x + 5 ⟺ 2 x \leq 6 ⟺ x \leq 3

Bước 2: Giải bất phương trình thứ nhất

Do $m^{2} + 1 > 0$ với mọi $m$ , suy ra cận dưới của $x$ .

m^{2} x \geq 6 - x ⟺ (m^{2} + 1) x \geq 6 ⟺ x \geq \frac{6}{m ^{2} + 1}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Hệ có nghiệm $\frac{6}{m ^{2} + 1} \leq x \leq 3$ . Nghiệm duy nhất khi hai cận bằng nhau.

Suy ra $m = \pm 1$ , nên chọn $C$ ; các phương án $A$ và $B$ chỉ nhận một giá trị, còn $D$ chứa nhiều giá trị không thỏa mãn.

\frac{6}{m ^{2} + 1} = 3 ⟺ m^{2} = 1 ⟺ m = \pm 1

Đáp án: C.

m = \pm 1

— vì khi đó khoảng nghiệm co lại thành đúng một điểm.

Câu 3

Anh Minh kí hợp đồng lao động có thời hạn với một công ty với phương án trả lương như sau: Quý thứ nhất, tiền lương là 27 triệu đồng. Kể từ quý thứ hai trở đi, mỗi quý tiền lương được tăng $2, 1$ triệu đồng. Tổng số tiền lương anh nhận được trong các năm đã đi làm là 684 triệu đồng. Hỏi anh Minh đã làm ở công ty đó bao nhiêu năm (nhập đáp án vào ô trống)?

Đáp án đúng: 4

Lời giải

Bước 1: Lập tổng tiền lương

Gọi $n$ là số quý anh Minh làm việc; tiền lương tạo thành cấp số cộng.

a_{1} = 27, d = 2, 1, S_{n} = 684

Bước 2: Tìm số quý

Áp dụng công thức tổng cấp số cộng, ta được phương trình sau.

\frac{n}{2} (2 \cdot 27 + (n - 1) \cdot 2, 1) = 684 \Leftrightarrow 21 n^{2} + 519 n - 13680 = 0 \Leftrightarrow (n - 16) (21 n + 855) = 0

Bước 3: Đổi sang số năm

Vì $n > 0$ nên $n = 16$ quý.

\frac{n}{4} = \frac{16}{4} = 4

Đáp án:

4

năm — vì

16

quý tương ứng với

4

năm.

Câu 4

Tập nghiệm của bất phương trình $5^{x + 1} - \frac{1}{5} > 0$ là

A

$S = (1; + \infty)$

B

$S = (- \infty; - 2)$

C

$S = (- 1; + \infty)$

D

$S = (- 2; + \infty)$

Lời giải

Bước 1: Đưa về cùng cơ số

Đổi số hạng tự do về lũy thừa cơ số $5$ .

\frac{1}{5} = 5^{- 1}, 5^{x + 1} > 5^{- 1}

Bước 2: So sánh số mũ

Vì $5 > 1$ , bất phương trình tương đương với bất phương trình giữa các số mũ.

x + 1 > - 1 ⟺ x > - 2

Bước 3: Đối chiếu phương án

Suy ra $S = (- 2; + \infty)$ , chọn $D$ .

$A$ và $C$ sai vì sai cận; $B$ sai vì ngược chiều khoảng.

Đáp án:

D

— Vì nghiệm là

S = (- 2; + \infty)

.

Câu 5

Nghiên cứu về quá trình tăng trưởng của một quần thể sinh vật trong điều kiện môi trường sống hạn chế cho thấy: ban đầu số lượng cá thể tăng trưởng chậm, sau đó nhanh và cuối cùng khi thời gian đủ dài, số lượng cá thể của quần thể đạt đến trạng thái cân bằng, khi đó số lượng cá thể tham ra xấp xỉ bằng số lượng chết đi. Số lượng cá thể $N$ trong quần thể theo thời gian $t$ (ngày) được mô hình hóa và xấp xỉ theo hàm số: $N (t) = \frac{16398 e ^{0.5 (t - 9.19)}}{0.12 + e ^{0.5 (t - 9.19)}}$ . Khi quần thể sinh vật trên đạt trạng thái cân bằng, số cá thể của quần thể gần nhất với giá trị nào sau đây?

A

$9264$

B

$136650$

C

$16398$

D

$224630$

Lời giải

Bước 1: Lập giới hạn cân bằng

Trạng thái cân bằng ứng với giới hạn của $N (t)$ khi $t \to + \infty$ .

t \to + \infty lim N (t) = t \to + \infty lim \frac{16398 e ^{0.5 (t - 9.19)}}{0.12 + e ^{0.5 (t - 9.19)}}

Bước 2: Tính giới hạn

Chia cả tử và mẫu cho $e^{0.5 (t - 9.19)}$ .

t \to + \infty lim N (t) = t \to + \infty lim \frac{16398}{0.12 e ^{- 0.5 (t - 9.19)} + 1} = 16398

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $C$ ; các phương án $A$ , $B$ , $D$ sai vì đều khác giá trị giới hạn $16398$ .

Đáp án: C — Giá trị cân bằng là

lim_{t \to + \infty} N (t) = 16398

.

Câu 6

Đạo hàm của hàm số $y = cos 2 x$ là:

A

$sin 2 x$

B

$- sin 2 x$

C

$- 2 sin 2 x$

D

$2 cos 2 x$

Lời giải

Bước 1: Đặt biến phụ

Đặt $u = 2 x$ , suy ra $u^{'} = 2$ .

u = 2 x, u^{'} = 2

Bước 2: Tính đạo hàm

Áp dụng công thức đạo hàm hàm hợp.

y^{'} = (cos 2 x)^{'} = - 2 sin 2 x

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án C: $- 2 sin 2 x$ . A, B, D sai vì lần lượt thiếu dấu âm, thiếu hệ số $2$ , và dùng sai dạng đạo hàm.

Đáp án:

C

— Vì

y^{'} = - 2 sin 2 x

.

Câu 7

Cho hình hộp chữ nhật $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có $A B = A A^{'} = a, A C = 2 a$ . Khoảng cách từ điểm $D$ đến mặt phẳng $(A C D^{'})$ bằng:

A

$\frac{a 5}{2}$ .

B

$\frac{a 3}{2}$ .

C

$\frac{a 5}{3}$ .

D

$\frac{a 21}{7}$ .

Lời giải

Bước 1: Tính kích thước còn lại

Trong đáy $A B C D$ , áp dụng định lý Pythagore để tính $A D$ .

A D^{2} = A C^{2} - A B^{2} = 4 a^{2} - a^{2} = 3 a^{2} \Rightarrow A D = a 3

Bước 2: Lập phương trình mặt phẳng

Chọn $A (0, 0, 0)$ , $B (a, 0, 0)$ , $D (0, a 3, 0)$ , $A^{'} (0, 0, a)$ . Khi đó $C (a, a 3, 0)$ và $D^{'} (0, a 3, a)$ .

Dùng hai vectơ $A C$ , $A D^{'}$ để xác định mặt phẳng $(A C D^{'})$ .

A C = (a, a 3, 0), A D^{'} = (0, a 3, a) n = a^{2} (3, - 1, 3) (A C D^{'}) : 3 x - y + 3 z = 0

Bước 3: Đối chiếu phương án

Áp dụng công thức khoảng cách cho $D (0, a 3, 0)$ .

A, B, C sai vì các giá trị lần lượt không bằng kết quả $\frac{a 21}{7}$ .

d (D, (A C D^{'})) = \frac{∣ 3 \cdot 0 - a 3 + 3 \cdot 0∣}{( 3 ) ^{2} + ( - 1 ) ^{2} + ( 3 ) ^{2}} = \frac{a 3}{7} = \frac{a 21}{7}

Đáp án: D — Vì

d (D, (A C D^{'})) = \frac{a 21}{7}

.

Câu 8

Cho tứ diện $O A B C$ có $O A, O B, O C$ đôi một vuông góc với nhau. Gọi $H$ là hình chiếu của $O$ trên $(A B C)$ . Mệnh đề nào sai trong các mệnh đề sau.

A

$H$ là trực tâm $△ A B C$ .

B

$\frac{1}{O C ^{2}} = \frac{1}{O A ^{2}} + \frac{1}{O B ^{2}}$ .

C

$\frac{1}{O H ^{2}} = \frac{1}{O A ^{2}} + \frac{1}{O B ^{2}} + \frac{1}{O C ^{2}}$ .

D

$C H$ là đường cao của $△ A B C$ .

Lời giải

Bước 1: Xác định trực tâm

Vì $O A ⊥ B C$ và $O H ⊥ B C$ , nên $B C ⊥ (A O H)$ , suy ra $B C ⊥ A H$ .

Tương tự, $C A ⊥ B H$ và $A B ⊥ C H$ ; vậy $H$ là trực tâm tam giác $A B C$ .

B C ⊥ O A, B C ⊥ O H \Rightarrow B C ⊥ (A O H) \Rightarrow B C ⊥ A H

Bước 2: Lập hệ thức khoảng cách

Đặt $O$ làm gốc tọa độ, với $A (a, 0, 0)$ , $B (0, b, 0)$ , $C (0, 0, c)$ và $a = O A$ , $b = O B$ , $c = O C$ .

A (a, 0, 0), B (0, b, 0), C (0, 0, c) \Rightarrow \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1 \Rightarrow \frac{1}{O H ^{2}} = \frac{1}{a ^{2}} + \frac{1}{b ^{2}} + \frac{1}{c ^{2}} = \frac{1}{O A ^{2}} + \frac{1}{O B ^{2}} + \frac{1}{O C ^{2}}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Mệnh đề $B$ sai vì hệ thức đúng phải chứa thêm $\frac{1}{O H ^{2}}$ ; các mệnh đề $A$ , $C$ , $D$ đúng lần lượt do $H$ là trực tâm, theo hệ thức trên và $C H$ là đường cao.

\frac{1}{O C ^{2}} \neq = \frac{1}{O A ^{2}} + \frac{1}{O B ^{2}}

Đáp án:

B

— sai vì hệ thức đúng là

\frac{1}{O H ^{2}} = \frac{1}{O A ^{2}} + \frac{1}{O B ^{2}} + \frac{1}{O C ^{2}}

.

Câu 9

Cho hàm số $y = x^{3} - 3 (m + 1) x^{2} + 3 m x + 2$ có đồ thị $(C)$ cắt trục $O x$ tại 3 điểm phân biệt $A (1; 0), B, C$ sao cho tiếp tuyến tại $B$ và $C$ của $(C)$ song song với nhau (nhập đáp án vào ô trống)?

Đáp án đúng: 1

Lời giải

Bước 1: Phân tích phương trình hoành độ

Vì $x = 1$ là nghiệm, phân tích được đa thức thành nhân tử bậc nhất và bậc hai.

Gọi $x_{1}, x_{2}$ là hoành độ của $B, C$ ; theo Viète, $x_{1} + x_{2} = 3 m + 2$ .

f (x) = (x - 1) (x^{2} - (3 m + 2) x - 2), x_{1} + x_{2} = 3 m + 2, x_{1} x_{2} = - 2

Bước 2: Thiết lập điều kiện song song

Ta có đạo hàm $y^{'} = 3 x^{2} - 6 (m + 1) x + 3 m$ .

Do $x_{1} \neq = x_{2}$ , điều kiện hai tiếp tuyến song song cho phương trình sau.

y^{'} (x_{1}) = y^{'} (x_{2}) ⟺ (x_{1} - x_{2}) (x_{1} + x_{2} - 2 m - 2) = 0 ⟺ x_{1} + x_{2} = 2 m + 2

Bước 3: Tìm giá trị tham số

Kết hợp hai biểu thức của $x_{1} + x_{2}$ để tìm $m$ .

3 m + 2 = 2 m + 2 ⟹ m = 0

Đáp án:

1

— ứng với giá trị tham số

m = 0

.

Câu 10

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm trên $R$ . Đồ thị hàm số $y = f^{'} (x)$ như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Hình minh họa

A

Hàm số $y = f (x)$ đồng biến trên khoảng $(1; 4)$ .

B

Hàm số $y = f (x)$ nghịch biến trên khoảng $(- 1; 4)$ .

C

Hàm số $y = f (x)$ đồng biến trên khoảng $(- 1; 1)$ .

D

Hàm số $y = f (x)$ nghịch biến trên khoảng $(- 1; 1)$ .

Lời giải

Bước 1: Xét dấu đạo hàm

Trên $(- 1; 1)$ , đồ thị nằm trên trục hoành; trên $(1; 4)$ , đồ thị nằm dưới trục hoành.

f^{'} (x) > 0 tr \overset{e}{ˆ} n (- 1; 1), f^{'} (x) < 0 tr \overset{e}{ˆ} n (1; 4)

Bước 2: Suy ra tính đơn điệu

Theo dấu đạo hàm, $f (x)$ đồng biến trên $(- 1; 1)$ và nghịch biến trên $(1; 4)$ .

f^{'} (x) > 0 \Rightarrow f đ \overset{ˋ}{\overset{o}{ˆ}} ng bi \overset{ˊ}{\overset{e}{ˆ}} n; f^{'} (x) < 0 \Rightarrow f nghịch bi \overset{ˊ}{\overset{e}{ˆ}} n

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $C$ vì $f (x)$ đồng biến trên $(- 1; 1)$ ; $A$ sai do $f^{'} (x) < 0$ trên $(1; 4)$ , còn $B, D$ sai vì $f^{'} (x) > 0$ trên $(- 1; 1)$ .

Đáp án:

C

— Vì

f^{'} (x) > 0

trên

(- 1; 1)

nên

f (x)

đồng biến trên khoảng đó.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG HN năm 2025 - Mã đề 07 — Toán học

Toán học

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Tính tỉ lệ phân giác

Bước 2: Tìm tọa độ điểm D

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Giải bất phương trình thứ hai

Bước 2: Giải bất phương trình thứ nhất

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Lập tổng tiền lương

Bước 2: Tìm số quý

Bước 3: Đổi sang số năm

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Đưa về cùng cơ số

Bước 2: So sánh số mũ

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Lập giới hạn cân bằng

Bước 2: Tính giới hạn

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Đặt biến phụ

Bước 2: Tính đạo hàm

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Tính kích thước còn lại

Bước 2: Lập phương trình mặt phẳng

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Xác định trực tâm

Bước 2: Lập hệ thức khoảng cách

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Phân tích phương trình hoành độ

Bước 2: Thiết lập điều kiện song song

Bước 3: Tìm giá trị tham số

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Xét dấu đạo hàm

Bước 2: Suy ra tính đơn điệu

Bước 3: Đối chiếu phương án

Bước 2: Tìm tọa độ điểm $D$