Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG HN năm 2025 - Mã đề 05 — Toán học và xử lí số liệu môn Toán học (Đánh giá Năng lực (HSA))

Câu 1

Trong một nông trường chăn nuôi bò sửa Ba Vì ta thu thập được tài liệu sau: Số bò cho sản lượng sữa hàng ngày cao nhất của nông trường là bao nhiêu?

A

$12$ con.

B

$15$ con.

C

$85$ con.

D

$25$ con.

Lời giải

Bước 1: Xác định khoảng cao nhất

Cận trên lớn nhất là $17$ , nên khoảng sản lượng cao nhất là $15$ đến $17$ lít.

17 = max {9, 11, 13, 15, 17}

Bước 2: Đối chiếu phương án

Khoảng $15$ đến $17$ lít có tần số $25$ con. Chọn phương án D; A, B, C sai vì lần lượt ứng với các khoảng khác hoặc không phải tần số của khoảng cao nhất.

n = 25

Đáp án: D.

25

con — đây là tần số của khoảng sản lượng cao nhất

15

đến

17

lít.

Câu 2

Bình có 5 cái áo khác nhau, 4 chiếc quần khác nhau, 3 đôi giày khác nhau và 2 chiếc mũ khác nhau.

Số cách chọn một bộ gồm quần, áo, giày và mũ của Bình là:

A

$120$

B

$60$

C

$14$

D

$12$

Lời giải

Bước 1: Áp dụng quy tắc nhân

Bộ trang phục gồm bốn lựa chọn độc lập: áo, quần, giày và mũ.

5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 120

Bước 2: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $A$ vì số cách là $120$ ; $B$ , $C$ , $D$ sai vì không áp dụng đầy đủ phép nhân.

Đáp án:

A

— Có

5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 120

cách chọn.

Câu 3

Biết phương trình $lo g_{2} (5 - 2^{x}) = 2 - x$ có hai nghiệm phân biệt là $x_{1}, x_{2}$ . Tính $P = x_{1} + x_{2} + x_{1} x_{2}$ .

A

$11$ .

B

$8$ .

C

$3$ .

D

$2$ .

Lời giải

Bước 1: Đặt ẩn phụ

Đặt $t = 2^{x} > 0$ , suy ra $x = lo g_{2} t$ .

Đưa hai vế về cùng cơ số rồi đồng nhất đối số.

t = 2^{x} > 0, x = lo g_{2} t, lo g_{2} (5 - t) = 2 - lo g_{2} t = lo g_{2} \frac{4}{t} ⟹ 5 - t = \frac{4}{t}

Bước 2: Tìm hai nghiệm

Giải phương trình theo $t$ ; cả hai giá trị nhận được đều thỏa $0 < t < 5$ .

t (5 - t) = 4 ⟺ t^{2} - 5 t + 4 = 0 ⟺ t \in {1, 4} ⟹ {x_{1}, x_{2}} = {0, 2}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Thay hai nghiệm vào biểu thức cần tính, chọn phương án D. Các phương án A, B, C sai vì lần lượt cho $11$ , $8$ , $3$ , không phải giá trị đúng.

P = 0 + 2 + 0 \cdot 2 = 2

Đáp án: D — Vì

P = 2

.

Câu 4

Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?

A

Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.

B

Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

C

Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một đường thẳng cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

D

Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

Lời giải

📃 Thông tin đề bài cho

Mệnh đề xét: $A$ , $B$ , $C$ , $D$ .
Đối tượng: điểm, đường thẳng, mặt phẳng cho trước.
Yêu cầu: xác định mệnh đề sai.

❓ Hiểu câu hỏi

Yêu cầu: tìm phát biểu không đúng về tính duy nhất.
Kiến thức cần dùng: các định lý về quan hệ vuông góc trong không gian.

📖 Kiến thức trọng tâm

Qua một điểm, có duy nhất mặt phẳng vuông góc với đường thẳng cho trước.
Qua một điểm, có vô số mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng cho trước.
Qua một điểm, có duy nhất đường thẳng vuông góc với mặt phẳng cho trước.

💡 Mẹo ghi nhớ

Đừng nhầm tính duy nhất của đường thẳng vuông góc mặt phẳng với mặt phẳng vuông góc mặt phẳng.

Bước 1: Nhớ các tính duy nhất

Đối chiếu từng dạng: điểm–đường thẳng, điểm–mặt phẳng, đường thẳng–mặt phẳng.

Bước 2: Kiểm tra mệnh đề B

Qua một điểm, có vô số mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng đã cho.

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $B$ vì tính duy nhất là sai; $A$ , $C$ , $D$ đúng vì lần lượt thỏa các định lý về mặt phẳng qua điểm, mặt phẳng qua đường thẳng và đường thẳng qua điểm.

Đáp án:

B

— Qua một điểm có vô số mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

Câu 5

Có bao nhiêu cặp số nguyên $(x, y)$ thỏa mãn điều kiện $0 \leq y \leq 100$ và

$x^{6} + 6 x^{4} y + 12 x^{2} y^{2} - 19 y^{3} + 3 x^{2} - 3 y = 0$

A

$10$

B

$100$

C

$20$

D

$21$

Lời giải

Bước 1: Nhận dạng lập phương

Nhóm các hạng tử bậc sáu: $x^{6} + 6 x^{4} y + 12 x^{2} y^{2} + 8 y^{3} = (x^{2} + 2 y)^{3}$ .

(x^{2} + 2 y)^{3} - (3 y)^{3} + 3 (x^{2} - y) = 0

Bước 2: Phân tích nhân tử

Dùng hiệu hai lập phương và $x^{2} + 2 y - 3 y = x^{2} - y$ .

(x^{2} - y) ((x^{2} + 2 y)^{2} + 3 y (x^{2} + 2 y) + 9 y^{2} + 3) = 0

Bước 3: Tìm và đếm nghiệm

Vì $y \geq 0$ , thừa số thứ hai dương; do đó $x^{2} - y = 0$ , suy ra $y = x^{2}$ .

Điều kiện cho $- 10 \leq x \leq 10$ , nên có $21$ giá trị nguyên của $x$ .

y = x^{2}, 0 \leq x^{2} \leq 100 \Rightarrow - 10 \leq x \leq 10 \Rightarrow 21

Bước 4: Đối chiếu phương án

Kết quả đúng theo đề đã ghi là $21$ , tương ứng phương án $D$ ; phương án $A$ không phù hợp vì đã bỏ qua các giá trị $x \leq 0$ và $x = 0$ .

Đáp án:

D . 21

— vì nghiệm có dạng

(x, x^{2})

với

x \in {- 10, - 9, \dots, 10}

.

Câu 6

Người ta trồng 3240 cây theo một hình tam giác như sau: hàng thứ nhất trồng 1 cây,

kể từ hàng thứ hai trở đi số cây trồng mỗi hàng nhiều hơn 1 cây so với hàng liền trước nó.

Hỏi có tất cả bao nhiêu hàng cây?

A

$81$

B

$82$

C

$80$

D

$79$

Lời giải

Bước $1$ : Lập phương trình

Gọi số hàng là $n$ ; khi đó tổng số cây là $1 + 2 + \dots + n$ .

S_{n} = \frac{n ( n + 1 )}{2} = 3240

Bước $2$ : Tìm $n$

Giải phương trình để chọn nghiệm nguyên dương.

n (n + 1) = 6480 \Rightarrow n^{2} + n - 6480 = 0 \Rightarrow (n - 80) (n + 81) = 0 \Rightarrow n = 80

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Chọn phương án C; A, B, D sai vì lần lượt nêu $81$ , $82$ , $79$ , không đúng $n = 80$ .

Đáp án: C — số hàng là

n = 80

.

Câu 7

Một xưởng sản xuất $X$ còn tồn kho hai lô hàng. Người kiểm hàng lấy ngẫu nhiên từ mỗi lô hàng một sản phẩm. Xác suất để được sản phẩm chất lượng tốt của từng lô hàng lần lượt là $0, 6$ và $0, 7$ . Hãy tính xác suất để trong hai sản phẩm lấy ra có ít nhất một sản phẩm có chất lượng tốt.

A

$P = 0, 88$

B

$P = 0, 12$

C

$P = 0, 84$

D

$P = 0, 82$

Lời giải

Bước 1: Tính xác suất không có sản phẩm tốt

Gọi $A$ là biến cố có ít nhất một sản phẩm tốt; khi đó $\overline{A}$ là cả hai sản phẩm đều hỏng.

P (\overline{A}) = (1 - 0, 6) (1 - 0, 7) = 0, 4 \cdot 0, 3 = 0, 12

Bước 2: Dùng biến cố đối

Áp dụng công thức biến cố đối để tính $P (A)$ .

P (A) = 1 - P (\overline{A}) = 1 - 0, 12 = 0, 88

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án A vì $P = 0, 88$ ; các phương án B, C, D sai vì không bằng kết quả tính được.

P (A) = 0, 88

Đáp án: A — Vì xác suất có ít nhất một sản phẩm tốt là

0, 88

.

Câu 8

Hàm số nào dưới đây đồng biến trên $R$ ?

A

$y = - x^{3} + 3 x + 1$

B

$y = \frac{- x - 1}{2 x - 1}$

C

$y = x - \frac{1}{2} cos 2 x$

D

$y = x^{4} + x^{2}$

Lời giải

Bước 1: Tính đạo hàm

Tính đạo hàm và kiểm tra điều kiện xác định của từng hàm số.

y_{A}^{'} = - 3 x^{2} + 3, y_{B}^{'} = \frac{3}{( 2 x - 1 ) ^{2}}, x \neq = \frac{1}{2} y_{C}^{'} = 1 + sin 2 x, y_{D}^{'} = 4 x^{3} + 2 x = 2 x (2 x^{2} + 1)

Bước 2: Xét dấu đạo hàm

Với phương án $C$ , ta có $0 \leq 1 + sin 2 x \leq 2$ với mọi $x \in R$ .

Các phương án còn lại không thỏa điều kiện đồng biến trên toàn bộ $R$ .

y_{C}^{'} \geq 0 \forall x \in R

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $C$ vì $y_{C}^{'} \geq 0$ trên $R$ . $A$ không đồng biến trên toàn miền, $B$ không xác định tại $x = \frac{1}{2}$ , còn $D$ đổi dấu đạo hàm theo dấu của $x$ .

Đáp án:

C

— Vì

y^{'} = 1 + sin 2 x \geq 0

với mọi

x \in R

.

Câu 9

Một vật rơi tự do theo phương trình $s = \frac{1}{2} g t^{2}$ (m), trong đó $g = 9, 8 m/s^{2}$ là gia tốc trọng trường. Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm $t = 6 s$ là:

A

$49 m/s$

B

$78, 4 m/s$

C

$58, 8 m/s$

D

$39, 2 m/s$

Lời giải

Bước $1$ : Lập công thức vận tốc

Lấy đạo hàm phương trình quãng đường theo thời gian.

v (t) = s^{'} (t) = g t

Bước $2$ : Thay số tính vận tốc

Thay $g = 9, 8 m/s^{2}$ và $t = 6 s$ vào công thức.

v = g t = 9, 8 \cdot 6 = 58, 8 m/s

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Chọn $C$ : $58, 8 m/s$ ; $A$ , $B$ , $D$ sai vì lần lượt cho kết quả tính vận tốc không đúng.

Đáp án:

C

— Vì vận tốc tức thời là

v = g t = 58, 8 m/s

.

Câu 10

Tập nghiệm của bất phương trình sau $\frac{x + 1}{3} - 3 \leq 2 x + 1$

A

$x > - 2, 2$

B

$x \geq - 3$

C

$x \geq - 2, 2$

D

$x < 2$

Lời giải

Bước 1: Khử mẫu

Cộng $3$ vào hai vế rồi nhân với $3 > 0$ .

\frac{x + 1}{3} \leq 2 x + 4 ⟹ x + 1 \leq 6 x + 12

Bước 2: Cô lập ẩn

Chuyển các hạng tử chứa $x$ về một vế và hằng số về vế còn lại.

x + 1 \leq 6 x + 12 ⟹ - 11 \leq 5 x ⟹ x \geq - \frac{11}{5} = - 2, 2

Bước 3: Đối chiếu phương án

Tập nghiệm là $[- \frac{11}{5}; + \infty) = [- 2, 2; + \infty)$ , trùng với phương án $C$ ; các phương án $A, B, D$ sai vì sai dấu, sai cận hoặc sai chiều bất phương trình.

Đáp án: Phương án

C

— nghiệm là

x \geq - \frac{11}{5} = - 2, 2

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG HN năm 2025 - Mã đề 05 — Toán học và xử lí số liệu

Toán học và xử lí số liệu

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Xác định khoảng cao nhất

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Áp dụng quy tắc nhân

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Đặt ẩn phụ

Bước 2: Tìm hai nghiệm

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Nhớ các tính duy nhất

Bước 2: Kiểm tra mệnh đề B

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Nhận dạng lập phương

Bước 2: Phân tích nhân tử

Bước 3: Tìm và đếm nghiệm

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Lập phương trình

Bước 2: Tìm n

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Tính xác suất không có sản phẩm tốt

Bước 2: Dùng biến cố đối

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Tính đạo hàm

Bước 2: Xét dấu đạo hàm

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Lập công thức vận tốc

Bước 2: Thay số tính vận tốc

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Khử mẫu

Bước 2: Cô lập ẩn

Bước 3: Đối chiếu phương án

Bước $1$ : Lập phương trình

Bước $2$ : Tìm $n$

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Bước $1$ : Lập công thức vận tốc

Bước $2$ : Thay số tính vận tốc

Bước $3$ : Đối chiếu phương án