Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG HN năm 2025 - Mã đề 04 — Toán học môn Toán học (Đánh giá Năng lực (HSA))

Câu 1

$lim (\frac{( - 1 ) ^{n} \cdot 2 n + 1}{3 ^{n} + 2})$

A

$0$

B

$1$

C

$- 1$

D

Không tồn tại giới hạn

Lời giải

Bước 1: Chặn tử số

Vì $(- 1)^{n} \in {- 1, 1}$ nên tử số được chặn bởi hai biểu thức bậc nhất.

- 2 n + 1 \leq (- 1)^{n} \cdot 2 n + 1 \leq 2 n + 1

Bước 2: Áp dụng định lý kẹp

Do $3^{n} + 2 > 0$ , chia cả ba vế cho mẫu số rồi xét giới hạn hai biên.

\frac{- 2 n + 1}{3 ^{n} + 2} \leq \frac{( - 1 ) ^{n} \cdot 2 n + 1}{3 ^{n} + 2} \leq \frac{2 n + 1}{3 ^{n} + 2}, n \to \infty lim \frac{- 2 n + 1}{3 ^{n} + 2} = n \to \infty lim \frac{2 n + 1}{3 ^{n} + 2} = 0

Bước 3: Đối chiếu phương án

Theo định lý kẹp, giới hạn bằng $0$ . Phương án $B$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt cho kết quả khác $0$ hoặc phủ nhận sự tồn tại của giới hạn.

n \to \infty lim \frac{( - 1 ) ^{n} \cdot 2 n + 1}{3 ^{n} + 2} = 0

Đáp án:

A

— Tử số tăng bậc nhất còn mẫu số chứa

3^{n}

, nên giới hạn bằng

0

.

Câu 2

Tìm $m$ để bất phương trình $x^{2} + 2 m x + m - 2 < 0$ nghiệm đúng với mọi $x \in (1; 2)$ .

A

$m < \frac{- 2}{5}$

B

$m > \frac{- 2}{5}$

C

$m \geq \frac{- 2}{5}$

D

$m \leq - \frac{2}{5}$

Lời giải

Bước 1: Kiểm tra dạng tam thức

Ta có $a = 1 > 0$ và $Δ^{'} = m^{2} - m + 2 = (m - \frac{1}{2})^{2} + \frac{7}{4} > 0$ với mọi $m$ .

Δ^{'} = m^{2} - m + 2 = (m - \frac{1}{2})^{2} + \frac{7}{4} > 0

Bước 2: Xét hai đầu mút

Để $f (x) < 0$ với mọi $x \in (1; 2)$ , cần có $f (1) \leq 0$ và $f (2) \leq 0$ .

f (1) = 3 m - 1 \leq 0 \Rightarrow m \leq \frac{1}{3}; f (2) = 5 m + 2 \leq 0 \Rightarrow m \leq - \frac{2}{5}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Kết hợp được $m \leq min {\frac{1}{3}, - \frac{2}{5}} = - \frac{2}{5}$ . Chọn D; A sai vì loại $m = - \frac{2}{5}$ , còn B và C lấy điều kiện ngược.

m \leq min {\frac{1}{3}, - \frac{2}{5}} = - \frac{2}{5}

Đáp án: D —

m \leq - \frac{2}{5}

bảo đảm

f (x) < 0

với mọi

x \in (1; 2)

.

Câu 3

Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để bất phương trình $x^{2} - (m + 2) x + 8 m + 1 \leq 0$ vô nghiệm

A

$m \in [0; 28]$

B

$m \in (0; 28)$

C

$m \in (- \infty; 0) \cup (28; + \infty)$

D

$m \in (- \infty; 0] \cup [28; + \infty)$

Lời giải

Bước 1: Tính biệt thức

Đặt $f (x) = x^{2} - (m + 2) x + 8 m + 1$ . Vì $a = 1 > 0$ , điều kiện cần là $Δ < 0$ .

Δ = (m + 2)^{2} - 4 (8 m + 1) = m^{2} - 28 m = m (m - 28)

Bước 2: Giải điều kiện tham số

Giải bất phương trình $m (m - 28) < 0$ bằng bảng xét dấu.

m (m - 28) < 0 ⟺ 0 < m < 28 ⟺ m \in (0; 28)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án B: $m \in (0; 28)$ . A và D sai vì lấy thêm hai đầu mút; C sai vì chọn miền ngoài khoảng.

Đáp án: B — Vì

Δ = m (m - 28) < 0

khi và chỉ khi

m \in (0; 28)

.

Câu 4

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $(P) : 2 x + 3 y + z = 11$ , mặt cầu $(S)$ có tâm $I (1; - 2; 1)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P)$ tại điểm $H (a; b; c)$ . Tính $T = a + b + c$ .

Đáp án đúng: 6

Lời giải

Bước 1: Lập véc-tơ pháp tuyến

Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng nên $I H ⊥ (P)$ .

n = (2; 3; 1), \frac{2 \cdot 1 + 3 \cdot ( - 2 ) + 1 \cdot 1 - 11}{2 ^{2} + 3 ^{2} + 1 ^{2}} = - 1

Bước 2: Tìm tiếp điểm và tính tổng

Suy ra $H$ là hình chiếu vuông góc của $I$ trên $(P)$ .

H = I - (- 1) n = (1; - 2; 1) + (2; 3; 1) = (3; 1; 2), T = 3 + 1 + 2 = 6

Đáp án:

6

— vì tiếp điểm là

H = (3; 1; 2)

.

Câu 5

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A (0; 1; 1), B (1; 0; 0)$ và mặt phẳng $(P) : x + y + z - 3 = 0$ . Gọi $(Q)$ là mặt phẳng song song với $(P)$ đồng thời đường thẳng $A B$ cắt $(Q)$ tại $C$ sao cho $C A = 2 C B$ . Mặt phẳng $(Q)$ có phương trình là:

A

$x + y + z = \frac{4}{3}$ hoặc $x + y + z = 0$

B

$x + y + z = 0$

C

$x + y + z = \frac{4}{3}$

D

$x + y + z = 2$ hoặc $x + y + z = 0$

Lời giải

Bước 1: Tham số hóa đường thẳng $A B$

Đặt $C \in A B$ theo tham số $t$ .

C (t) = A + t (B - A) = (t, 1 - t, 1 - t)

Bước 2: Tìm các vị trí của $C$

Điều kiện $C A = 2 C B$ tương đương với $∣ t ∣ = 2∣1 - t ∣$ .

∣ t ∣ = 2∣1 - t ∣ ⟹ t = \frac{2}{3} hoặc t = 2; C_{1} (\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}), C_{2} (2, - 1, - 1)

Bước 3: Lập các mặt phẳng $(Q)$

Vì $(Q) ∥ (P)$ nên thay từng điểm $C$ vào dạng $x + y + z = d$ .

\frac{2}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}; 2 - 1 - 1 = 0 ⟹ (Q) : x + y + z = \frac{4}{3} hoặc x + y + z = 0

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $A$ ; các phương án $B$ , $C$ , $D$ lần lượt thiếu một nghiệm, thiếu một nghiệm và chứa giá trị sai $2$ .

Đáp án:

A

— Hai mặt phẳng

(Q)

là

x + y + z = \frac{4}{3}

và

x + y + z = 0

.

Câu 6

Đạo hàm của hàm số $y = sin^{2} 2 x$ là:

A

$2 sin 2 x$

B

$2 sin 4 x$

C

$2 cos 2 x$

D

$sin 4 x$

Lời giải

Bước 1: Đặt hàm trung gian

Đặt $u = sin 2 x$ , suy ra $y = u^{2}$ .

u = sin 2 x, y = u^{2}

Bước 2: Tính đạo hàm

Áp dụng quy tắc hàm hợp và công thức lượng giác.

y^{'} = 2 u \cdot u^{'} = 2 sin 2 x \cdot 2 cos 2 x = 4 sin 2 x cos 2 x = 2 sin 4 x

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $B$ ; các phương án $A$ , $C$ , $D$ sai lần lượt do thiếu hệ số, sai hàm lượng giác và thiếu hệ số $2$ .

y^{'} = 2 sin 4 x

Đáp án: Đáp án

B

— vì

y^{'} = 2 sin 4 x

.

Câu 7

Một công ty xây dựng khảo sát khách hàng xem họ có nhu cầu mua nhà ở mức giá nào. Kết quả khảo sát được ghi lại ở bảng sau: Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên gần bằng giá trị nào sau đây?

A

20,4.

B

19,4.

C

21,4.

D

18,4.

Lời giải

Bước 1: Xác định lớp mốt

Lớp mốt là $[18; 22]$ vì có tần số lớn nhất.

f_{1} = 120, f_{0} = 78, f_{2} = 45, L = 18, h = 4

Bước 2: Tính mốt

Áp dụng công thức mốt:

M_{o} = 18 + \frac{120 - 78}{2 \cdot 120 - 78 - 45} \cdot 4 \approx 19, 4

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn B: $19, 4$ ; A, C, D sai vì không trùng giá trị mốt tính được.

Đáp án: B — Công thức mốt cho

M_{o} \approx 19, 4

.

Câu 8

Biết $x \to 2 lim \frac{x ^{2} + a x + b}{x - 2} = 6$ , với $a, b$ là các số nguyên. Tính $a + b$

Đáp án đúng: -6

Lời giải

Bước 1: Phân tích tử số

Đặt $x^{2} + a x + b = (x - 2) (x + m)$ với $m \in Z$ .

x^{2} + a x + b = (x - 2) (x + m)

Bước 2: Tìm tham số phụ

Rút gọn phân thức rồi tính giới hạn tại $x = 2$ .

x \to 2 lim \frac{( x - 2 ) ( x + m )}{x - 2} = 2 + m = 6 \Rightarrow m = 4

Bước 3: So sánh hệ số

Khai triển, ta xác định được $a, b$ và tính tổng cần tìm.

(x - 2) (x + 4) = x^{2} + 2 x - 8 \Rightarrow a = 2, b = - 8 \Rightarrow a + b = - 6

Đáp án:

a + b = - 6

— do

a = 2

và

b = - 8

.

Câu 9

Trên mặt phẳng tọa độ $O x y$ , tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = x^{3} + 3 x^{2} - 6 x + 1$ tại điểm có hoành độ bằng $1$ và cắt hai trục tọa độ tại $A, B$ . Tính diện tích tam giác $O A B$ (nhập đáp án vào ô trống).

Đáp án đúng: 8/3

Lời giải

Bước 1: Tính tiếp điểm và hệ số góc

Tính giá trị hàm số và đạo hàm tại $x_{0} = 1$ .

f (1) = - 1, f^{'} (1) = 3

Bước 2: Lập tiếp tuyến và tìm giao điểm

Dùng công thức tiếp tuyến, rồi lần lượt cho $y = 0$ và $x = 0$ .

y + 1 = 3 (x - 1) ⟺ y = 3 x - 4; A (\frac{4}{3}, 0), B (0, - 4)

Bước 3: Tính diện tích

Áp dụng công thức diện tích tam giác có hai đỉnh nằm trên hai trục tọa độ.

S_{O A B} = \frac{1}{2} \frac{4}{3} \cdot (- 4) = \frac{8}{3}

Đáp án:

\frac{8}{3}

— diện tích tính từ hai giao điểm

A (\frac{4}{3}, 0)

và

B (0, - 4)

.

Câu 10

Rút ngẫu nhiên một lá bài từ bộ bài tú lơ khơ $52$ lá. Tính xác suất để rút được lá bài có chất rô hoặc lá bài $10$ .

A

$\frac{1}{4}$

B

$\frac{4}{13}$

C

$\frac{9}{26}$

D

$\frac{17}{52}$

Lời giải

Bước 1: Xác định các biến cố

Gọi $A$ : rút được lá rô; $B$ : rút được lá $10$ .

Có $13$ lá thuộc $A$ , $4$ lá thuộc $B$ , và $1$ lá vừa rô vừa là $10$ .

Bước 2: Đếm số kết quả thuận lợi

Áp dụng quy tắc cộng có trừ phần giao.

n (A \cup B) = 13 + 4 - 1 = 16

Bước 3: Tính xác suất

Không gian mẫu có $52$ lá bài.

P (A \cup B) = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn B: $\frac{4}{13}$ . A, C, D sai vì lần lượt chỉ tính chất rô, đếm sai số lá thuận lợi và cộng thừa phần giao.

Đáp án: B.

\frac{4}{13}

— có

16

lá thỏa mãn trên tổng số

52

lá.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG HN năm 2025 - Mã đề 04 — Toán học

Toán học

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Chặn tử số

Bước 2: Áp dụng định lý kẹp

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Kiểm tra dạng tam thức

Bước 2: Xét hai đầu mút

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Tính biệt thức

Bước 2: Giải điều kiện tham số

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Lập véc-tơ pháp tuyến

Bước 2: Tìm tiếp điểm và tính tổng

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Tham số hóa đường thẳng AB

Bước 2: Tìm các vị trí của C

Bước 3: Lập các mặt phẳng (Q)

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Đặt hàm trung gian

Bước 2: Tính đạo hàm

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Xác định lớp mốt

Bước 2: Tính mốt

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Phân tích tử số

Bước 2: Tìm tham số phụ

Bước 3: So sánh hệ số

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Tính tiếp điểm và hệ số góc

Bước 2: Lập tiếp tuyến và tìm giao điểm

Bước 3: Tính diện tích

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Xác định các biến cố

Bước 2: Đếm số kết quả thuận lợi

Bước 3: Tính xác suất

Bước 4: Đối chiếu phương án

Bước 1: Tham số hóa đường thẳng $A B$

Bước 2: Tìm các vị trí của $C$

Bước 3: Lập các mặt phẳng $(Q)$