Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG HN năm 2025 - Mã đề 03 — Toán học và xử lí số liệu môn Toán học (Đánh giá Năng lực (HSA))

Câu 1

Một quả đạn pháo được bắn ra khỏi nòng pháo với vận tốc ban đầu $v_{0} = 500 m/s$ hợp với phương ngang một góc $α$ . Trong Vật lí, ta biết rằng, nếu bỏ qua sức cản của không khí và coi quả đạn pháo được bắn ra từ mặt đất thì quỹ đạo của quả đạn tuân theo phương trình $y = \frac{- g}{2 v _{0}^{2} c o s ^{2} α} x^{2} + x tan α, trong đ \overset{o}{ˊ} g = 10 m/s^{2}$ là gia tốc trọng trường. Góc bắn $α$ để quả đạn bay xa nhất bằng:

A

$3 0^{\circ}$

B

$4 5^{\circ}$

C

$6 0^{\circ}$

D

$9 0^{\circ}$

Lời giải

Bước 1: Lập công thức tầm xa

Khi vật rơi về mặt đất, tầm xa được tính bởi công thức chuyển động ném xiên.

R = \frac{v _{0}^{2} sin ( 2 α )}{g}

Bước 2: Tìm góc cực đại

Vì $v_{0}$ và $g$ không đổi, $R$ lớn nhất khi $sin (2 α)$ lớn nhất.

sin (2 α) = 1 \Rightarrow 2 α = 9 0^{\circ} \Rightarrow α = 4 5^{\circ}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn B: $4 5^{\circ}$ ; A và C cho $sin (2 α) = \frac{3}{2} < 1$ , còn D cho $sin (18 0^{\circ}) = 0$ , nên đều không đạt tầm xa lớn nhất.

Đáp án: B — góc bắn tối ưu là

α = 4 5^{\circ}

vì khi đó

sin (2 α) = 1

.

Câu 2

Cho một chuyển động có phương trình $s (t) = t^{3} - 2 t^{2} + 4$ trong đó $s$ tính bằng mét, $t$ tính bằng giây. Gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm $t = 1, 5$ giây là:

A

$2 m/s^{2}$ .

B

$8 m/s^{2}$ .

C

$5 m/s^{2}$ .

D

$6 m/s^{2}$ .

Lời giải

Bước 1: Tính vận tốc

Lấy đạo hàm của $s (t)$ để được hàm vận tốc.

v (t) = s^{'} (t) = 3 t^{2} - 4 t

Bước 2: Tính gia tốc

Lấy đạo hàm hàm vận tốc.

a (t) = v^{'} (t) = 6 t - 4

Bước 3: Đối chiếu phương án

Thay $t = 1, 5$ : $a (1, 5) = 6 \cdot 1, 5 - 4 = 5 m/s^{2}$ . Chọn C; A, B, D sai vì lần lượt cho kết quả không đúng khi tính gia tốc.

Đáp án: C — Vì

a (1, 5) = 5 m/s^{2}

.

Câu 3

Gọi $S$ là tập hợp các giá trị nguyên của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = \frac{x + 2}{x ^{2} - 6 x + 2 m}$ có hai đường tiệm cận đứng. Số phần tử của $S$ là (nhập đáp án vào ô trống):

Đáp án đúng: 12

Lời giải

Bước 1: Xét mẫu số

Miền xác định thỏa mãn $x \geq - 2$ và $x^{2} - 6 x + 2 m > 0$ .

Để có hai ứng viên tiệm cận đứng, mẫu số phải có hai nghiệm phân biệt.

Δ = (- 6)^{2} - 8 m = 4 (9 - 2 m) > 0 ⟺ m \leq 4

Bước 2: Kiểm tra vị trí nghiệm

Gọi hai nghiệm là $x_{1} < x_{2}$ . Cả hai phải tiếp cận được từ miền $x \geq - 2$ , nên cần $x_{1} > - 2$ .

Điều kiện này đồng thời đảm bảo $x_{2} > - 2$ .

x_{1} = 3 - 9 - 2 m > - 2 ⟺ 9 - 2 m < 5 ⟺ m > - 8

Bước 3: Đếm giá trị nguyên

Kết hợp các điều kiện, $m$ là số nguyên thuộc khoảng $- 8 < m \leq 4$ .

m \in {- 7, - 6, \dots, 4}, ∣ S ∣ = 4 - (- 7) + 1 = 12

Đáp án:

12

— vì

m

nguyên thuộc khoảng

- 8 < m \leq 4

.

Câu 4

Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1;0;0); B(1;0;6) và điểm C thỏa mãn $A C = (0; 4; 0)$ . Tính khoảng cách từ trung điểm I của BC đến đường thẳng OA.

A

$213$

B

$13$

C

$23$

D

$\frac{13}{2}$

Lời giải

Bước 1: Tìm $C$ và $I$

Từ $A C$ , suy ra $C$ ; sau đó dùng công thức trung điểm của $B C$ .

C = A + A C = (1; 4; 0), I = (\frac{1 + 1}{2}; \frac{0 + 4}{2}; \frac{6 + 0}{2}) = (1; 2; 3)

Bước 2: Tính khoảng cách

Vì $O A$ trùng với trục $O x$ , khoảng cách cần tìm là khoảng cách từ $I$ đến trục $O x$ .

d (I; O A) = 2^{2} + 3^{2} = 13

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án B: $13$ . Các phương án A, C, D sai vì lần lượt cho $213$ , $23$ và $\frac{13}{2}$ .

Đáp án: B.

13

— khoảng cách từ

I (1; 2; 3)

đến trục

O x

là

2^{2} + 3^{2}

.

Câu 5

Giả sử $C D = h$ là chiều cao của tháp trong đó $C$ là chân tháp.

Chọn hai điểm $A, B$ trên mặt đất sao cho ba điểm $A, B, C$ thẳng hàng.

Ta đo được $A B = 24 m, C A D = 5 8^{\circ}, C B D = 4 0^{\circ}$ .

Chiều cao của khối tháp gần với giá trị nào sau đây?

Hình minh họa

A

$42, 3 m$

B

$42, 5 m$

C

$42 m$

D

$41 m$

Lời giải

Bước 1: Tính các góc tam giác

Do $A, C, B$ thẳng hàng, $B A D = 18 0^{\circ} - 5 8^{\circ} = 12 2^{\circ}$ .

A D B = 18 0^{\circ} - 12 2^{\circ} - 4 0^{\circ} = 1 8^{\circ}

Bước 2: Tính chiều cao

Áp dụng định lý sin trong tam giác $A B D$ , rồi dùng tam giác vuông $B C D$ .

B D = \frac{24 sin 12 2 ^{\circ}}{sin 1 8 ^{\circ}}, C D = B D sin 4 0^{\circ} = \frac{24 sin 12 2 ^{\circ} sin 4 0 ^{\circ}}{sin 1 8 ^{\circ}} \approx 42, 3 m

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án A: $42, 3 m$ ; các phương án B, C, D sai vì không khớp giá trị tính được.

Đáp án: A.

42, 3 m

— giá trị tính được từ định lý sin và hệ thức trong tam giác vuông.

Câu 6

Trong phòng giáo viên, giờ ra chơi có bốn cô giáo: An, Bình, Giang và Nhân ngồi nói chuyện với nhau quanh 1 chiếc bàn hình tròn.

Cô mặc áo dài xanh (không phải là cô An và cô Bình) thì ngồi giữa cô mặc áo dài tím và cô Nhân.

Có mặc áo dài trắng thì ngồi giữa cô mặc áo dài hồng và cô Bình.

Vậy cô An mặc áo màu gì?

A

Hồng

B

Tím

C

Trắng

D

Xanh

Lời giải

Bước 1: Xác định cô mặc áo xanh

Cô áo xanh không thể là An, Bình hoặc Nhân; nếu là Nhân thì không thể đứng giữa Nhân và áo tím.

Vì vậy, cô Giang mặc áo xanh.

Xanh \in / {An, B \overset{ı}{ˋ} nh, Nh \overset{a}{ˆ} n} \Rightarrow Xanh = Giang

Bước 2: Xét màu áo tím

Giang đứng giữa Nhân và cô áo tím, nên cô áo tím chỉ có thể là An hoặc Bình.

Bỏ qua chiều quay của bàn, có hai thứ tự tương ứng:

T \overset{ı}{ˊ} m \in {An, B \overset{ı}{ˋ} nh} \Rightarrow {Nh \overset{a}{ˆ} n - Giang - An - B \overset{ı}{ˋ} nh, Nh \overset{a}{ˆ} n - Giang - B \overset{ı}{ˋ} nh - An, An t \overset{ı}{ˊ} m B \overset{ı}{ˋ} nh t \overset{ı}{ˊ} m

Bước 3: Loại trường hợp sai

Nếu An tím, áo trắng phải là Nhân; khi đó Nhân cần kề cô áo hồng, nhưng một bên là Giang mặc xanh, mâu thuẫn.

Do đó Bình tím. Áo trắng phải kề Bình; Giang đã mặc xanh nên An mặc áo trắng.

An t \overset{ı}{ˊ} m \Rightarrow m \overset{a}{ˆ} u thu \tilde{\overset{a}{ˆ}} n; B \overset{ı}{ˋ} nh t \overset{ı}{ˊ} m \Rightarrow An tr \overset{ˊ}{\overset{a}{˘}} ng

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn C. A, B, D sai vì lần lượt trái với kết luận An mặc áo trắng, An không mặc áo hồng, tím hoặc xanh.

Đáp án: C. Trắng — cô An là người duy nhất phù hợp vị trí áo trắng sau khi loại trường hợp An mặc áo tím.

Câu 7

Cho hình chóp tam giác đều $S . A B C$ có cạnh đáy bằng $2 a$ , cạnh bên tạo với đáy một góc $6 0^{\circ}$ .

Thể tích khối chóp $S . A B C$ là:

A

$\frac{2 a ^{3} 3}{3}$

B

$\frac{a ^{3} 3}{2}$

C

$\frac{a ^{3} 3}{4}$

D

$a^{3} 3$

Lời giải

Bước 1: Xác định chiều cao

Gọi $O$ là tâm tam giác đều $A B C$ ; khi đó $S O$ là chiều cao.

Hình chiếu của $S A$ lên đáy là $A O$ , nên $∠ S A O = 6 0^{\circ}$ .

A O = \frac{2 a}{3}

Bước 2: Tính chiều cao và diện tích đáy

Trong tam giác vuông $S A O$ , tính $S O$ theo tang góc $6 0^{\circ}$ .

Diện tích đáy là diện tích tam giác đều cạnh $2 a$ .

S O = A O tan 6 0^{\circ} = \frac{2 a}{3} \cdot 3 = 2 a, S_{A B C} = \frac{3}{4} (2 a)^{2} = a^{2} 3

Bước 3: Đối chiếu phương án

Áp dụng công thức thể tích hình chóp.

Phương án A đúng; B, C, D sai vì các hệ số lần lượt là $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, 1$ , khác $\frac{2}{3}$ .

V = \frac{1}{3} S_{A B C} \cdot S O = \frac{1}{3} \cdot a^{2} 3 \cdot 2 a = \frac{2 a ^{3} 3}{3}

Đáp án: Đáp án A:

\frac{2 a ^{3} 3}{3}

— do

S_{A B C} = a^{2} 3

và

S O = 2 a

.

Câu 8

Cho hàm số $y = x^{3} + 3 x^{2} - 9 x + 15$ . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A

Hàm số nghịch biến trên khoảng $(- 3; 1)$

B

Hàm số đồng biến trên $(- 9; - 5)$

C

Hàm số đồng biến trên $R$

D

Hàm số đồng biến trên $(5; + \infty)$

Lời giải

Bước 1: Tính đạo hàm

Đặt $f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 9 x + 15$ rồi tính $f^{'} (x)$ .

f^{'} (x) = 3 x^{2} + 6 x - 9 = 3 (x + 3) (x - 1)

Bước 2: Xét dấu đạo hàm

Các nghiệm của $f^{'} (x)$ là $x = - 3$ và $x = 1$ .

Suy ra hàm số đồng biến trên $(- \infty; - 3)$ , $(1; + \infty)$ và nghịch biến trên $(- 3; 1)$ .

f^{'} (x) > 0 khi x \in (- \infty; - 3) \cup (1; + \infty); f^{'} (x) < 0 khi x \in (- 3; 1)

Bước 3: Đối chiếu phương án

C là khẳng định sai vì hàm số không đồng biến trên toàn bộ $R$ ; A, B, D đúng vì lần lượt phù hợp với các khoảng nghịch biến hoặc đồng biến đã xét.

Đáp án: C —

f^{'} (x) < 0

trên

(- 3; 1)

nên hàm số không đồng biến trên toàn bộ

R

.

Câu 9

Cho hàm số $y = \frac{x + 4}{x - 3}$ . Điểm $M (x_{0}; y_{0}) (v ớ i y_{0} > 0)$ thuộc đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến tại $M$ cắt các trục $O x, O y$ lần lượt tại $A$ và $B$ thỏa mãn $A B = 5 \cdot O A \cdot 2$ . Tính giá trị của biểu thức $T = 2 x_{0} + y_{0}$ (nhập đáp án vào ô trống).

Đáp án đúng: 16

Lời giải

Bước 1: Tìm hệ số góc tiếp tuyến

Đặt $d = x_{0} - 3$ ; khi đó hệ số góc tiếp tuyến tại $M$ là $k = - \frac{7}{d ^{2}}$ .

y_{0} = \frac{x _{0} + 4}{x _{0} - 3}, k = y^{'} (x_{0}) = - \frac{7}{( x _{0} - 3 ) ^{2}}, y - y_{0} = k (x - x_{0})

Bước 2: Tìm giao điểm với hai trục

Gọi $A = (a, 0)$ và $B = (0, b)$ . Từ phương trình tiếp tuyến, xác định được $a$ , $b$ .

a = x_{0} - \frac{y _{0}}{k} = \frac{x _{0}^{2} + 8 x _{0} - 12}{7}, b = y_{0} - k x_{0} = \frac{x _{0}^{2} + 8 x _{0} - 12}{( x _{0} - 3 ) ^{2}}, b = \frac{7 a}{( x _{0} - 3 ) ^{2}}

Bước 3: Dùng điều kiện độ dài

Bình phương điều kiện $A B = 52 O A$ , rồi thay biểu thức của $b$ theo $a$ .

a^{2} + b^{2} = 50 a^{2} \Rightarrow b^{2} = 49 a^{2} \Rightarrow (x_{0} - 3)^{2} = 1 \Rightarrow x_{0} \in {2, 4}

Bước 4: Chọn nghiệm và tính $T$

Vì $y_{0} > 0$ , chọn $x_{0} = 4$ ; khi đó $y_{0} = 8$ .

y_{0} = \frac{4 + 4}{4 - 3} = 8, T = 2 x_{0} + y_{0} = 2 \cdot 4 + 8 = 16

Đáp án:

16

— từ

x_{0} = 4

và

y_{0} = 8

.

Câu 10

Cho hình chóp $S . A B C$ có đáy $A B C$ là tam giác đều cạnh $2 a$ , $S A ⊥ (A B C)$ và $S A = a 6$ . Gọi $M$ là trung điểm của $B C$ , khi đó khoảng cách từ $A$ đến đường thẳng $S M$ bằng

A

$a 2$

B

$a 3$

C

$a 6$

D

$a 11$

Lời giải

Bước 1: Tính $A M$

Vì $A B C$ là tam giác đều và $M$ là trung điểm $B C$ , nên $A M$ là đường cao.

A M = \frac{2 a 3}{2} = a 3

Bước 2: Dựng khoảng cách

Dựng $A H ⊥ S M$ . Khi đó $A H = d (A, S M)$ .

Tam giác $S A M$ vuông tại $A$ , có $A H$ là đường cao đến cạnh huyền $S M$ .

\frac{1}{A H ^{2}} = \frac{1}{S A ^{2}} + \frac{1}{A M ^{2}} = \frac{1}{6 a ^{2}} + \frac{1}{3 a ^{2}} = \frac{1}{2 a ^{2}}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Suy ra $A H = a 2$ , nên chọn phương án A. Các phương án B, C, D sai vì lần lượt lấy $A M$ , lấy $S A$ , hoặc tính sai công thức đường cao.

A H = a 2

Đáp án: A.

a 2

— vì

d (A, S M) = A H = a 2

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG HN năm 2025 - Mã đề 03 — Toán học và xử lí số liệu

Toán học và xử lí số liệu

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Lập công thức tầm xa

Bước 2: Tìm góc cực đại

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Tính vận tốc

Bước 2: Tính gia tốc

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Xét mẫu số

Bước 2: Kiểm tra vị trí nghiệm

Bước 3: Đếm giá trị nguyên

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Tìm C và I

Bước 2: Tính khoảng cách

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Tính các góc tam giác

Bước 2: Tính chiều cao

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Xác định cô mặc áo xanh

Bước 2: Xét màu áo tím

Bước 3: Loại trường hợp sai

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Xác định chiều cao

Bước 2: Tính chiều cao và diện tích đáy

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Tính đạo hàm

Bước 2: Xét dấu đạo hàm

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Tìm hệ số góc tiếp tuyến

Bước 2: Tìm giao điểm với hai trục

Bước 3: Dùng điều kiện độ dài

Bước 4: Chọn nghiệm và tính T

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Tính AM

Bước 2: Dựng khoảng cách

Bước 3: Đối chiếu phương án

Bước 1: Tìm $C$ và $I$

Bước 4: Chọn nghiệm và tính $T$

Bước 1: Tính $A M$