Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG HN năm 2025 - Mã đề 02 — Toán học môn Toán học (Đánh giá Năng lực (HSA))

Câu 1

Cho cấp số nhân $(u_{n})$ có $u_{1} = 3$ , công bội $q = 2$ . Khi đó $u_{5}$ bằng

A

$24$

B

$11$

C

$48$

D

$9$

Lời giải

Bước 1: Áp dụng công thức

Thay $n = 5$ , $u_{1} = 3$ , $q = 2$ vào công thức số hạng tổng quát.

u_{5} = u_{1} \cdot q^{5 - 1} = 3 \cdot 2^{4} = 48

Bước 2: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $C$ : $48$ ; các phương án $A$ , $B$ , $D$ sai vì không cho đúng giá trị tính được.

Đáp án:

C

— Vì

u_{5} = 48

theo công thức số hạng tổng quát.

Câu 2

Hệ bất phương trình ${m (m x - 1) < 2 m (m x - 2) \geq 2 m + 1$ có nghiệm khi và chỉ khi

A

$m < \frac{1}{3}$

B

$0 \neq = m < \frac{1}{3}$

C

$m \neq = 0$

D

$m < 0$

Lời giải

Bước 1: Biến đổi hệ

Khai triển hai bất phương trình; với $m = 0$ , bất phương trình thứ hai trở thành mệnh đề sai.

m (m x - 1) < 2 ⟺ m^{2} x < m + 2, m (m x - 2) \geq 2 m + 1 ⟺ m^{2} x \geq 4 m + 1

Bước 2: Đưa về dạng chứa $x$

Với $m \neq = 0$ , chia hai vế cho $m^{2} > 0$ .

⎩ ⎨ ⎧ x < \frac{m + 2}{m ^{2}} x \geq \frac{4 m + 1}{m ^{2}}

Bước 3: Xét điều kiện có nghiệm

Hai khoảng giao nhau khi cận dưới nhỏ hơn cận trên.

\frac{4 m + 1}{m ^{2}} < \frac{m + 2}{m ^{2}} ⟺ 4 m + 1 < m + 2 ⟺ m < \frac{1}{3}

Bước 4: Đối chiếu phương án

Kết hợp $m \neq = 0$ được $0 \neq = m < \frac{1}{3}$ . Chọn B; A sai vì nhận $m = 0$ , C sai vì thiếu điều kiện $m < \frac{1}{3}$ , còn D sai vì loại các giá trị dương phù hợp.

0 \neq = m < \frac{1}{3}

Đáp án: B — Điều kiện cần và đủ là

0 \neq = m < \frac{1}{3}

.

Câu 3

Chu kì của hàm số $y = sin (\frac{2}{5} x) \cdot cos (\frac{2}{5} x)$ là $k π$ . Giá trị của $k$ là

Đáp án đúng: \dfrac{5}{2}

Lời giải

Bước $1$ : Biến đổi tích

Dùng công thức $sin a cos a = \frac{1}{2} sin 2 a$ .

y = sin (\frac{2}{5} x) cos (\frac{2}{5} x) = \frac{1}{2} sin (\frac{4}{5} x)

Bước $2$ : Tính và đối chiếu chu kì

Chu kì của hàm số là $T = \frac{2 π}{\frac{4}{5}} = \frac{5 π}{2}$ .

T = \frac{5 π}{2} = \frac{5}{2} π \Rightarrow k = \frac{5}{2}

Đáp án:

k = \frac{5}{2}

— vì

T = \frac{5 π}{2} = \frac{5}{2} π

.

Câu 4

Có bao nhiêu cặp số cộng có các số hạng là số tự nhiên, số hạng đầu là số chẵn, tổng các số hạng có giá trị lẻ bằng $33$ và tổng các số hạng có giá trị chẵn bằng $44$ (nhập đáp án vào ô trống)?

Đáp án đúng: 2

Lời giải

Bước 1: Xác định dạng dãy

Vì tổng số hạng lẻ khác $0$ , $d$ phải lẻ; các số hạng luân phiên chẵn, lẻ.

Dãy phải có dạng $n = 2 k + 1$ , vì số số hạng chẵn nhiều hơn số số hạng lẻ một phần tử.

S_{ch \tilde{\overset{a}{˘}} n} = (k + 1) (a + k d) = 44, S_{lẻ} = k (a + k d) = 33

Bước 2: Tìm số số hạng lẻ

Chia hai phương trình để khử $a + k d$ .

\frac{k + 1}{k} = \frac{44}{33} = \frac{4}{3} \Rightarrow k = 3, a + 3 d = 11

Bước 3: Liệt kê các cặp

Vì $a$ là số tự nhiên chẵn và $d$ là số nguyên dương lẻ, từ $a = 11 - 3 d$ suy ra $d \in {1, 3}$ .

Tương ứng, $(a, d) = (8, 1)$ và $(a, d) = (2, 3)$ .

d = 1 \Rightarrow a = 8; d = 3 \Rightarrow a = 2

Đáp án: 2 — Có hai cặp

(a, d)

là

(8, 1)

và

(2, 3)

.

Câu 5

Gọi $x_{0}$ là nghiệm âm lớn nhất của $sin 9 x + 3 cos 7 x = sin 7 x + 3 cos 9 x$ . Khẳng định nào dưới đây đúng?

A

$x_{0} \in [- \frac{π}{2}, - \frac{π}{3})$ .

B

$x_{0} \in (- \frac{π}{12}, 0)$ .

C

$x_{0} \in [- \frac{π}{6}, \frac{π}{2})$ .

D

$x_{0} \in [- \frac{π}{3}, - \frac{π}{6})$ .

Lời giải

Bước 1: Phân tích phương trình

Chuyển vế rồi áp dụng công thức hiệu lượng giác.

sin 9 x - sin 7 x 2 sin x cos 8 x 2 sin x (cos 8 x + 3 sin 8 x) = 3 (cos 9 x - cos 7 x) = - 23 sin x sin 8 x = 0

Bước 2: Tìm các họ nghiệm

Xét lần lượt hai nhân tử trong phương trình vừa phân tích.

sin x = 0 cos 8 x + 3 sin 8 x = 0 ⟹ x = k π ⟹ tan 8 x = - \frac{1}{3} ⟹ 8 x = - \frac{π}{6} + k π ⟹ x = - \frac{π}{48} + \frac{k π}{8}, k \in Z

Bước 3: Xác định nghiệm âm lớn nhất

Họ $x = k π$ có nghiệm âm lớn nhất là $- π$ . Họ còn lại cho $k = 0$ nghiệm $- \frac{π}{48}$ và $k = 1$ nghiệm dương.

Vì $- \frac{π}{48} > - π$ , nên $x_{0} = - \frac{π}{48}$ .

- \frac{π}{12} < - \frac{π}{48} < 0

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn $B$ vì $x_{0} \in (- \frac{π}{12}, 0)$ ; $A$ và $D$ không chứa $x_{0}$ , còn $C$ không phải khoảng phù hợp theo đáp án chuẩn.

x_{0} = - \frac{π}{48} \in (- \frac{π}{12}, 0)

Đáp án:

B

— vì

x_{0} = - \frac{π}{48} \in (- \frac{π}{12}, 0)

.

Câu 6

Một vật chuyển động theo quy luật $s = - \frac{2}{3} t^{3} + 7 t^{2} + 3$ với $t$ giây $(0 \leq t \leq 7)$ là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động đến khi dừng lại và $s$ (mét) là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Hỏi khi vật đạt vận tốc là $12 m/s$ lần thứ 2 thì vật đã chuyển động được bao nhiêu mét?

Đáp án đúng: 111

Lời giải

Bước $1$ : Tính vận tốc

Lấy đạo hàm quãng đường để được vận tốc.

v (t) = s^{'} (t) = - 2 t^{2} + 14 t, - 2 t^{2} + 14 t = 12

Bước $2$ : Chọn thời điểm lần thứ $2$

Giải phương trình vận tốc và chọn nghiệm lớn hơn.

- 2 t^{2} + 14 t - 12 = 0 \Leftrightarrow t^{2} - 7 t + 6 = 0 \Leftrightarrow (t - 1) (t - 6) = 0 \Rightarrow t = 1 hoặc t = 6

Bước $3$ : Tính quãng đường

Thay $t = 6$ vào hàm quãng đường.

s (6) = - \frac{2}{3} \cdot 6^{3} + 7 \cdot 6^{2} + 3 = - 144 + 252 + 3 = 111

Đáp án:

111

— tại lần thứ

2

, vật đạt vận tốc

12 m/s

khi

t = 6

.

Câu 7

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để bất phương trình $lo g_{2} x - 2 (m + 2) lo g_{2} x + m^{2} + 4 m \leq 0$ đúng với mọi $x$ thuộc $[2; 4]$ (nhập đáp án vào ô trống)?

Đáp án đúng: 4

Lời giải

Bước 1: Đổi biến và thu gọn

Đặt $t = lo g_{2} x$ , suy ra $t \in [1; 2]$ .

f (t) = m^{2} + 4 m - (2 m + 3) t

Bước 2: Xét hai đầu mút

Vì $m$ nguyên nên $2 m + 3 \neq = 0$ . Xét dấu của $2 m + 3$ để chọn đầu mút cho giá trị lớn nhất.

2 m + 3 > 0 2 m + 3 < 0 : f (1) = (m + 3) (m - 1) \leq 0 \Rightarrow m \in {- 1, 0, 1}; : f (2) = m^{2} - 6 \leq 0 \Rightarrow m = - 2.

Bước 3: Đếm giá trị

Các giá trị nguyên thỏa mãn là $m \in {- 2, - 1, 0, 1}$ .

∣ {- 2, - 1, 0, 1} ∣ = 4

Đáp án: 4 — Có

4

giá trị nguyên của

m

thỏa mãn.

Câu 8

Cho hàm số $y = \frac{2 x + 1}{- 3 x + 6}$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A

Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng $(- \infty; 2)$ và $(2; + \infty)$ .

B

Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng $(- \infty; - \frac{1}{2})$ và $(- \frac{1}{2}; + \infty)$ .

C

Hàm số đã cho đồng biến trên $R ∖ {2}$ .

D

Hàm số đã cho đồng biến trên $R ∖ {\frac{1}{2}}$ .

Lời giải

Bước 1: Tìm tập xác định

Mẫu số phải khác $0$ , nên loại điểm $x = 2$ .

D = R ∖ {2}

Bước 2: Xét dấu đạo hàm

Với mọi $x \neq = 2$ , ta có $y^{'} > 0$ vì tử dương và mẫu là bình phương dương.

Do đó, hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.

y^{'} = \frac{2 ( - 3 x + 6 ) - ( 2 x + 1 ) ( - 3 )}{( - 3 x + 6 ) ^{2}} = \frac{15}{( - 3 x + 6 ) ^{2}} > 0 (x \neq = 2)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn $A$ : hàm số đồng biến trên $(- \infty; 2)$ và $(2; + \infty)$ . $B$ sai vì tách tại $x = - \frac{1}{2}$ ; $C$ sai vì không nêu các khoảng; $D$ sai vì loại nhầm $x = \frac{1}{2}$ .

Đáp án:

A

— Vì

y^{'} > 0

trên hai khoảng

(- \infty; 2)

và

(2; + \infty)

.

Câu 9

Cho hàm số $f (x) = a x^{4} + b x^{2} + c (a, b, c \in R)$ có đồ thị là đường cong trong hình bên.

Hình minh họa

Số nghiệm thực phân biệt của phương trình $f^{'} (f (x)) = 0$ là:

Hình minh họa

A

$8$ .

B

$10$ .

C

$2$ .

D

$9$ .

Lời giải

Bước 1: Đặt ẩn phụ

Đặt $u = f (x)$ để đưa phương trình về việc tìm nghiệm của $f^{'} (u) = 0$ .

Từ đồ thị, các nghiệm của $f^{'} (u) = 0$ là $u \in {- 1, 0, 1}$ .

u = f (x), f^{'} (u) = 0 ⟺ u \in {- 1, 0, 1}

Bước 2: Đếm nghiệm theo đồ thị

Đọc đồ thị: $f (x) = - 1$ có $2$ nghiệm phân biệt; $f (x) = 0$ có $4$ nghiệm phân biệt.

$f (x) = 1$ có $3$ nghiệm phân biệt, gồm một nghiệm kép và hai nghiệm đơn.

N_{- 1} = 2, N_{0} = 4, N_{1} = 3

Bước 3: Đối chiếu phương án

Tổng số nghiệm thực phân biệt là $2 + 4 + 3 = 9$ .

Chọn $D$ ; các phương án $A$ , $B$ , $C$ sai vì không đúng tổng số nghiệm phân biệt.

N = 2 + 4 + 3 = 9

Đáp án:

D

— phương trình có

9

nghiệm thực phân biệt.

Câu 10

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ trong đoạn $[- 10; 10]$ sao cho đồ thị hàm số $y = x^{3}$ cắt đường thẳng $y = 3 m x - m^{2}$ tại ba điểm phân biệt?

A

4

B

6

C

3

D

8

Lời giải

Bước 1: Lập phương trình giao điểm

Đặt $f (x) = x^{3} - 3 m x + m^{2}$ . Khi đó, giao điểm ứng với nghiệm của $f (x) = 0$ .

Ta có $f^{'} (x) = 3 (x^{2} - m)$ .

f (x) = x^{3} - 3 m x + m^{2}, f^{'} (x) = 3 (x^{2} - m)

Bước 2: Tìm điều kiện ba nghiệm

Nếu $m \leq 0$ , phương trình không có hai cực trị phân biệt nên không thể có ba nghiệm thực phân biệt. Với $m > 0$ , đặt $t = m$ .

Điều kiện cực đại dương, cực tiểu âm là $f (- t) > 0$ và $f (t) < 0$ .

f (- t) = m (m + 2 t) > 0, f (t) = m (m - 2 t) < 0 ⟺ 0 < m < 4

Bước 3: Đối chiếu phương án

Các giá trị nguyên thuộc $[- 10; 10]$ và thỏa $0 < m < 4$ là $m \in {1, 2, 3}$ , có $3$ giá trị.

Chọn C. Các phương án A, B, D sai vì lần lượt cho số lượng $4$ , $6$ , $8$ , trái với kết quả đếm.

m \in {1, 2, 3} \Rightarrow 3 gi \overset{a}{ˊ} trị

Đáp án: C — Có

3

giá trị nguyên

m

thỏa mãn điều kiện.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề ôn tập ĐGNL ĐHQG HN năm 2025 - Mã đề 02 — Toán học

Toán học

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Áp dụng công thức

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Biến đổi hệ

Bước 2: Đưa về dạng chứa x

Bước 3: Xét điều kiện có nghiệm

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Biến đổi tích

Bước 2: Tính và đối chiếu chu kì

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Xác định dạng dãy

Bước 2: Tìm số số hạng lẻ

Bước 3: Liệt kê các cặp

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Phân tích phương trình

Bước 2: Tìm các họ nghiệm

Bước 3: Xác định nghiệm âm lớn nhất

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Tính vận tốc

Bước 2: Chọn thời điểm lần thứ 2

Bước 3: Tính quãng đường

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Đổi biến và thu gọn

Bước 2: Xét hai đầu mút

Bước 3: Đếm giá trị

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Tìm tập xác định

Bước 2: Xét dấu đạo hàm

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Đặt ẩn phụ

Bước 2: Đếm nghiệm theo đồ thị

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Lập phương trình giao điểm

Bước 2: Tìm điều kiện ba nghiệm

Bước 3: Đối chiếu phương án

Bước 2: Đưa về dạng chứa $x$

Bước $1$ : Biến đổi tích

Bước $2$ : Tính và đối chiếu chu kì

Bước $1$ : Tính vận tốc

Bước $2$ : Chọn thời điểm lần thứ $2$

Bước $3$ : Tính quãng đường