Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề khảo sát chất lượng THPT môn Toán trường THPT Bãi Cháy Sở GD&ĐT Quảng Ninh năm 2026 - Lần 1 môn Toán học 2026 (Thi Tốt nghiệp THPT)

Câu 1

Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Đồ thị hàm số $y = f (x)$ có bao nhiêu đường tiệm cận?

Hình minh họa

A

$2$

B

$3$

C

$1$

D

$4$

Lời giải

Bước 1: Tìm tiệm cận đứng

Tại $x = 1$ , hàm số tiến đến vô cực khi $x \to 1^{-}$ hoặc $x \to 1^{+}$ .

x \to 1^{-} lim f (x) = - \infty, x \to 1^{+} lim f (x) = + \infty \Rightarrow x = 1

Bước 2: Tìm tiệm cận ngang

Hai giới hạn tại $x \to - \infty$ và $x \to + \infty$ cho hai đường tiệm cận ngang.

x \to - \infty lim f (x) = - 1, x \to + \infty lim f (x) = 2 \Rightarrow y = - 1, y = 2

Bước 3: Đối chiếu phương án

Có các đường $x = 1$ , $y = - 1$ , $y = 2$ , nên tổng cộng $3$ đường tiệm cận. Chọn B; A, C, D sai vì lần lượt đếm thiếu một, thiếu hai và thừa một đường.

x = 1, y = - 1, y = 2 \Rightarrow 3

Đáp án: B — Đồ thị có

3

đường tiệm cận:

x = 1

,

y = - 1

và

y = 2

.

Câu 2

Cho hình chóp $S . A B C$ có cạnh bên $S A ⊥ (A B C)$ . Góc tạo bởi $S B$ và mặt phẳng $(A B C)$ là góc

A

$S B C$

B

$S A B$

C

$S B A$

D

$S C A$

Lời giải

Bước 1: Xác định hình chiếu

Vì $S A ⊥ (A B C)$ nên hình chiếu của $S$ là $A$ ; điểm $B$ giữ nguyên.

proj_{(A B C)} S = A, proj_{(A B C)} B = B \Rightarrow proj_{(A B C)} S B = A B

Bước 2: Xác định góc cần tìm

Góc giữa $S B$ và $(A B C)$ bằng góc giữa $S B$ và hình chiếu $A B$ .

(S B, (A B C)) = (S B, A B) = S B A

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $C$ : $S B A$ ; các phương án $A$ , $B$ , $D$ sai vì lần lượt dùng $B C$ , $A B$ tại sai đỉnh và $C A$ làm tia đáy.

Đáp án: C.

S B A

— vì

A B

là hình chiếu của

S B

lên

(A B C)

.

Câu 3

Trong không gian $O x y z$ , cho hai điểm $A (2; 1; 3), B (1; - 1; 5)$ . Độ dài đoạn thẳng $A B$ là

A

$9$

B

$6$

C

$4$

D

$3$

Lời giải

Bước 1: Tính hiệu tọa độ

Lập các hiệu tọa độ tương ứng của hai điểm.

x_{B} - x_{A} = 1 - 2 = - 1, y_{B} - y_{A} = - 1 - 1 = - 2, z_{B} - z_{A} = 5 - 3 = 2

Bước 2: Đối chiếu phương án

Áp dụng công thức khoảng cách: $A B = (- 1)^{2} + (- 2)^{2} + 2^{2} = 9 = 3$ .

Chọn $D$ ; các phương án $A$ , $B$ , $C$ sai vì lần lượt cho kết quả $9$ , $6$ , $4$ , không bằng độ dài tính được.

A B = (- 1)^{2} + (- 2)^{2} + 2^{2} = 9 = 3

Đáp án:

D

— Vì

A B = 3

.

Câu 4

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ có $u_{1} = 5, u_{12} = 38$ thì công sai $d$ là

A

$d = 3$

B

$d = 4$

C

$d = 1$

D

$d = 2$

Lời giải

Bước 1: Lập công thức

Áp dụng công thức số hạng tổng quát cho $u_{12}$ .

u_{12} = u_{1} + (12 - 1) d = 5 + 11 d

Bước 2: Tính công sai

Thay $u_{12} = 38$ rồi giải phương trình theo $d$ .

5 + 11 d = 38 \Rightarrow 11 d = 33 \Rightarrow d = 3

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn A: $d = 3$ ; B, C, D sai vì lần lượt cho $d = 4$ , $d = 1$ , $d = 2$ .

Đáp án: A — Vì công sai tính được là

d = 3

.

Câu 5

Tích của giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số $y = x + \frac{4}{x}$ trên đoạn $[1; 3]$ bằng

A

$6$

B

$\frac{52}{3}$

C

$\frac{65}{3}$

D

$20$

Lời giải

Bước 1: Tìm điểm tới hạn

Xét $f (x)$ trên $[1; 3]$ và giải phương trình $f^{'} (x) = 0$ .

f^{'} (x) = 1 - \frac{4}{x ^{2}}; f^{'} (x) = 0 \Rightarrow x = 2

Bước 2: Tính và so sánh

Tính giá trị tại hai đầu mút và điểm tới hạn.

Suy ra giá trị nhỏ nhất và lớn nhất từ kết quả so sánh.

f (1) = 5, f (2) = 4, f (3) = \frac{13}{3}; y_{m i n} = 4, y_{m a x} = 5

Bước 3: Đối chiếu phương án

Tích cần tìm là $y_{m i n} y_{m a x} = 20$ .

Chọn $D$ ; các phương án $A$ , $B$ , $C$ sai vì lần lượt cho $6$ , $\frac{52}{3}$ , $\frac{65}{3}$ .

y_{m i n} y_{m a x} = 4 \cdot 5 = 20

Đáp án:

D

—

y_{m i n} y_{m a x} = 20

.

Câu 6

Trong không gian $O x y z$ , côsin của góc giữa hai vectơ $u = (10; 10; 20), v = (10; - 20; 10)$ là

A

$\frac{1}{6}$

B

$- \frac{1}{6}$

C

$\frac{1}{2}$

D

$- \frac{1}{2}$

Lời giải

Bước 1: Tính tích vô hướng

Tính theo từng tọa độ của hai vectơ.

u \cdot v = 10 \cdot 10 + 10 \cdot (- 20) + 20 \cdot 10 = 100

Bước 2: Tính độ dài hai vectơ

Hai vectơ có cùng độ dài.

∥ u ∥ = ∥ v ∥ = 1 0^{2} + 1 0^{2} + 2 0^{2} = 106

Bước 3: Tính côsin và đối chiếu

Thay các kết quả vào công thức côsin.

cos (u, v) = \frac{100}{( 10 6 ) ^{2}} = \frac{1}{6}

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn A: $\frac{1}{6}$ . B, C, D sai vì lần lượt sai dấu, sai hệ số và kết hợp cả hai sai sót.

Đáp án: A.

\frac{1}{6}

— kết quả tính theo công thức tích vô hướng.

Câu 7

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình bình hành tâm $O$ (tham khảo hình vẽ). Khẳng định nào dưới đây đúng?

Hình minh họa

A

$S A + S B = 2 S O$

B

$S B + S D = S O$

C

$S A + S C = 2 S O$

D

$S A + S B + S C + S D = 2 S O$

Lời giải

Bước 1: Dùng tính chất tâm hình bình hành

Vì $O$ là trung điểm của $A C$ nên hai vectơ đối nhau.

O A + O C = 0

Bước 2: Phân tích và cộng vectơ

Phân tích hai vectơ qua điểm $O$ , rồi sử dụng kết quả ở bước $1$ .

S A + S C = (S O + O A) + (S O + O C) = 2 S O + 0 = 2 S O .

Bước 3: Đối chiếu phương án

Phương án $C$ đúng. Các phương án $A$ , $B$ , $D$ sai vì không ghép hai đỉnh đối diện qua tâm $O$ , dùng sai hệ số hoặc thiếu vectơ.

Đáp án:

C

— Vì

S A + S C = 2 S O

.

Câu 8

Tập xác định của hàm số $y = \frac{2025}{2 sin ( x - \frac{π}{4} )}$ là

A

$D = R ∖ {\frac{k π}{4} ∣ k \in Z}$

B

$D = R ∖ {\frac{π}{4} + k π ∣ k \in Z}$

C

$D = R ∖ {\frac{π}{4} + k 2 π ∣ k \in Z}$

D

$D = R ∖ {\frac{π}{4} + \frac{k π}{2} ∣ k \in Z}$

Lời giải

Bước 1: Lập điều kiện xác định

Mẫu số phải khác $0$ .

2 sin (x - \frac{π}{4}) \neq = 0 ⟺ sin (x - \frac{π}{4}) \neq = 0

Bước 2: Tìm giá trị cần loại

Giải phương trình mẫu số bằng $0$ .

sin (x - \frac{π}{4}) = 0 ⟺ x - \frac{π}{4} = k π ⟺ x = \frac{π}{4} + k π, k \in Z

Bước 3: Viết tập xác định

Loại các giá trị làm mẫu số bằng $0$ khỏi $R$ .

D = R ∖ {\frac{π}{4} + k π ∣ k \in Z}

Bước 4: Đối chiếu phương án

Phương án $B$ đúng; các phương án $A$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt loại sai các giá trị $k π /4$ , chỉ loại nghiệm với $k$ chẵn và loại thêm các giá trị không phải nghiệm.

Đáp án: Đáp án

B

— mẫu số bằng

0

khi

x = \frac{π}{4} + k π

, với

k \in Z

.

Câu 9

Thời gian truy cập internet mỗi buổi tối của một số học sinh lớp 12 được cho trong bảng sau:. Số trung vị $M_{e}$ của mẫu số liệu ghép nhóm này là

Hình minh họa

A

$18$

B

$18, 1$

C

$18, 2$

D

$18, 3$

Lời giải

Bước 1: Tính cỡ mẫu

Cộng các tần số để được $N$ , rồi tính $\frac{N}{2}$ .

N = 3 + 12 + 15 + 24 + 2 = 56, \frac{N}{2} = 28

Bước 2: Xác định lớp trung vị

Tần số tích lũy là $3$ , $15$ , $30$ , $54$ , $56$ .

Vì $15 < 28 \leq 30$ , lớp chứa trung vị là $[15, 5; 18, 5)$ .

L = 15, 5, F = 15, f = 15, h = 3

Bước 3: Tính và đối chiếu phương án

Áp dụng công thức trung vị cho lớp vừa xác định.

M_{e} = 15, 5 + \frac{28 - 15}{15} \cdot 3 = 18, 1

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $B$ ; các phương án $A$ , $C$ , $D$ lần lượt lệch khỏi kết quả $18, 1$ .

Đáp án: B — Vì

M_{e} = 18, 1

.

Câu 10

Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là đường thẳng có phương trình

Hình minh họa

A

$x = - \frac{1}{2}$

B

$x = 1$

C

$y = - \frac{1}{2}$

D

$y = 1$

Lời giải

Bước 1: Nhận dạng dạng tiệm cận

Tiệm cận ngang là đường thẳng song song với trục $O x$ , có dạng $y = a$ .

y = a

Bước 2: Đọc đồ thị

Khi $x \to + \infty$ hoặc $x \to - \infty$ , đồ thị tiến gần đường thẳng $y = 1$ .

x \to \pm \infty lim f (x) = 1

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $D$ : $y = 1$ ; các phương án $A$ , $B$ sai vì có dạng $x = a$ , còn $C$ sai vì chọn mức $y = - \frac{1}{2}$ .

Đáp án:

D . y = 1

— Đồ thị tiến gần đường thẳng

y = 1

khi

x \to \pm \infty

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề khảo sát chất lượng THPT môn Toán trường THPT Bãi Cháy Sở GD&ĐT Quảng Ninh năm 2026 - Lần 1

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chọn một phương án .

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Tìm tiệm cận đứng

Bước 2: Tìm tiệm cận ngang

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Xác định hình chiếu

Bước 2: Xác định góc cần tìm

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Tính hiệu tọa độ

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Lập công thức

Bước 2: Tính công sai

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Tìm điểm tới hạn

Bước 2: Tính và so sánh

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Tính tích vô hướng

Bước 2: Tính độ dài hai vectơ

Bước 3: Tính côsin và đối chiếu

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Dùng tính chất tâm hình bình hành

Bước 2: Phân tích và cộng vectơ

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Lập điều kiện xác định

Bước 2: Tìm giá trị cần loại

Bước 3: Viết tập xác định

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Tính cỡ mẫu

Bước 2: Xác định lớp trung vị

Bước 3: Tính và đối chiếu phương án

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Nhận dạng dạng tiệm cận

Bước 2: Đọc đồ thị

Bước 3: Đối chiếu phương án