Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề khảo sát chất lượng THPT môn Toán Sở GD&ĐT Thanh Hóa năm 2026 - Lần 2 môn Toán học 2026 (Thi Tốt nghiệp THPT)

Câu 1

Khi thống kê chiều cao (đơn vị: cm) của 100 học sinh lớp 12 trường trung học phổ thông X, người ta thu được mẫu số liệu ghép nhóm như bảng dưới.

Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu đã cho là

Hình minh họa

A

$[180; 186)$ .

B

$40$ .

C

$[162; 168)$ .

D

$[168; 174)$ .

Lời giải

Bước 1: Tìm tần số lớn nhất

So sánh các tần số của sáu nhóm.

max {5, 18, 40, 26, 8, 3} = 40

Bước 2: Đối chiếu phương án

Tần số $40$ ứng với nhóm $[162; 168)$ .

Chọn $C$ ; $A$ và $D$ sai vì không ứng với tần số lớn nhất, còn $B$ là tần số chứ không phải nhóm.

Đáp án:

C

— Nhóm chứa mốt là

[162; 168)

vì có tần số lớn nhất

40

.

Câu 2

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = x^{3}$ là

A

$\frac{x ^{4}}{4} + C$ .

B

$3 x^{2} + C$ .

C

$x^{4} + C$ .

D

$4 x^{4} + C$ .

Lời giải

Bước 1: Áp dụng công thức

Với $a = 3$ , áp dụng công thức nguyên hàm lũy thừa.

\int x^{3} d x = \frac{x ^{3 + 1}}{3 + 1} + C = \frac{x ^{4}}{4} + C

Bước 2: Đối chiếu phương án

Chọn A: $\frac{x ^{4}}{4} + C$ . B, C, D sai vì lần lượt lấy đạo hàm thay vì nguyên hàm, thiếu hệ số $\frac{1}{4}$ và thừa hệ số $4$ .

Đáp án: A — vì

\int x^{3} d x = \frac{x ^{4}}{4} + C

.

Câu 3

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên $R ∖ {1; 3}$ và có bảng xét dấu của đạo hàm $f^{'} (x)$ như hình vẽ dưới đây.

Số điểm cực trị của hàm số $y = f (x)$ là

A

$1$ .

B

$2$ .

C

$4$ .

D

$3$ .

Lời giải

Bước 1: Xác định điểm hợp lệ

Hàm số không xác định tại $x = 1$ và $x = 3$ .

Vì vậy, chỉ xét các điểm đổi dấu thuộc $D_{f}$ .

D_{f} = R ∖ {1; 3}

Bước 2: Đếm điểm cực trị

Tại $x = - 2$ và $x = 2$ , $f^{'}$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ ; cả hai điểm đều thuộc $D_{f}$ .

Do đó, mỗi điểm cho một cực đại; tổng số điểm cực trị là $2$ .

{- 2, 2} \subset D_{f}, f^{'} : + \to -

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $B$ : $2$ ; các phương án $A$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt đếm thiếu hoặc tính cả các điểm không thuộc tập xác định.

Đáp án: B — Hàm số có

2

điểm cực trị tại

x = - 2

và

x = 2

.

Câu 4

Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x + 1}{x + 1}$ là

A

$y = 2$ .

B

$x = - 1$ .

C

$y = - 1$ .

D

$x = 2$ .

Lời giải

Bước 1: Xác định hệ số

So sánh với dạng $y = \frac{a x + b}{c x + d}$ , ta có hệ số của $x$ ở tử và mẫu.

a = 2, c = 1

Bước 2: Tính tiệm cận ngang

Áp dụng công thức tiệm cận ngang của hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất.

y = \frac{a}{c} = \frac{2}{1} = 2

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án A: $y = 2$ . Các phương án B, C, D sai vì lần lượt là tiệm cận đứng, sai giá trị và sai dạng đường thẳng.

Đáp án: A — Tiệm cận ngang là

y = \frac{2}{1} = 2

.

Câu 5

Nghiệm của phương trình $lo g_{5} (2 x - 1) = 1$ là

A

$x = \frac{1}{2}$ .

B

$x = 2$ .

C

$x = 3$ .

D

$x = 1$ .

Lời giải

Bước 1: Tìm điều kiện xác định

Điều kiện xác định là $2 x - 1 > 0$ .

2 x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{1}{2}

Bước 2: Giải phương trình

Áp dụng định nghĩa lôgarit:

2 x - 1 = 5^{1} = 5 \Leftrightarrow 2 x = 6 \Leftrightarrow x = 3

Bước 3: Đối chiếu phương án

Nghiệm $x = 3$ thỏa điều kiện nên chọn $C$ . Các phương án $A$ , $B$ , $D$ sai vì lần lượt làm đối số bằng $0$ , $3$ , và $1$ .

Đáp án:

C

— nghiệm là

x = 3

.

Câu 6

Cho hình lăng trụ đứng $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có đáy $A B C D$ là hình vuông cạnh $a$ , $A A^{'} = 2 a$ . Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng

Hình minh họa

A

$\frac{4 a ^{3}}{3}$ .

B

$4 a^{3}$ .

C

$2 a^{3}$ .

D

$\frac{2 a ^{3}}{3}$ .

Lời giải

Bước 1: Tính diện tích đáy

Đáy là hình vuông cạnh $a$ nên diện tích đáy là $a^{2}$ .

S_{đ \overset{a}{ˊ} y} = a^{2}

Bước 2: Tính thể tích

Dùng chiều cao $h = A A^{'} = 2 a$ .

V = S_{đ \overset{a}{ˊ} y} h = a^{2} \cdot 2 a = 2 a^{3}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Phương án đúng là C: $2 a^{3}$ .

A, B, D sai vì các hệ số lần lượt là $\frac{4}{3}$ , $4$ , $\frac{2}{3}$ , không bằng hệ số $2$ .

Đáp án: C — Vì

V = S_{đ \overset{a}{ˊ} y} h = a^{2} \cdot 2 a = 2 a^{3}

.

Câu 7

Trong không gian với hệ trục tọa độ $O x y z$ , cho mặt phẳng $(P) : 3 x + 2 y - z + 2 = 0$ . Một vectơ pháp tuyến của $(P)$ là

A

$n = (2; - 1; 2)$ .

B

$n = (3; 2; 1)$ .

C

$n = (3; 2; 2)$ .

D

$n = (3; 2; - 1)$ .

Lời giải

Bước 1: Xác định hệ số

Đối chiếu phương trình với dạng $A x + B y + C z + D = 0$ .

A = 3, B = 2, C = - 1

Bước 2: Lập vectơ pháp tuyến

Dùng công thức $n = (A; B; C)$ .

n = (A; B; C) = (3; 2; - 1)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án D: $n = (3; 2; - 1)$ . Các phương án A, B, C sai vì lần lượt không đúng các hệ số và dấu của $x, y, z$ .

Đáp án: Đáp án D — vì

n = (3; 2; - 1)

lấy từ các hệ số của

x, y, z

.

Câu 8

Cho hình hộp $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

Hình minh họa

A

$B A + B C + B B^{'} = B D^{'}$ .

B

$C^{'} A = A B + A D + A A^{'}$ .

C

$B A + B C + B B^{'} = D^{'} B$ .

D

$A B + B C + C C^{'} = C^{'} A$ .

Lời giải

Bước 1: Gộp vectơ trên mặt đáy

Trên hình bình hành $A B C D$ , áp dụng quy tắc hình bình hành.

B A + B C = B D

Bước 2: Dùng cạnh song song

Vì $D D^{'} = B B^{'}$ , nối tiếp từ $B$ đến $D^{'}$ .

B A + B C + B B^{'} = B D + D D^{'} = B D^{'}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn A. B, C, D sai vì lần lượt $C^{'} A = - A C^{'}$ , $D^{'} B = - B D^{'}$ , và $A B + B C + C C^{'} = A C^{'} \neq = C^{'} A$ .

Đáp án: A —

B A + B C + B B^{'} = B D^{'}

theo quy tắc hình hộp.

Câu 9

Trong không gian với hệ trục tọa độ $O x y z$ , cho $a = - i + 3 j - 5 k$ . Tọa độ của vectơ $a$ là

A

$(- 1; 3; - 5)$ .

B

$(1; - 3; 5)$ .

C

$(- 5; 3; - 1)$ .

D

$(5; - 3; 1)$ .

Lời giải

Bước 1: Đọc các hệ số

Đối chiếu biểu thức với dạng $a = x i + y j + z k$ .

x = - 1, y = 3, z = - 5

Bước 2: Đối chiếu phương án

Suy ra tọa độ của vectơ là $(- 1; 3; - 5)$ .

Chọn A; B, C, D sai vì lần lượt đổi dấu cả ba hệ số, đổi chỗ hệ số thứ nhất và thứ ba, và vừa đổi chỗ vừa đổi dấu.

a = (- 1; 3; - 5)

Đáp án: A.

(- 1; 3; - 5)

— các tọa độ chính là hệ số của

i, j, k

.

Câu 10

Cho hình phẳng $(H)$ được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = 4 x - x^{2}$ và trục hoành. Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng $(H)$ xung quanh trục $O x$ .

A

$\frac{32}{3}$ .

B

$\frac{32 π}{3}$ .

C

$\frac{32 π ^{2}}{3}$ .

D

$\frac{31 π}{3}$ .

Lời giải

Bước 1: Xác định khoảng tích phân

Điều kiện xác định của hàm số là $4 x - x^{2} \geq 0$ .

4 x - x^{2} \geq 0 ⟺ x \in [0, 4]

Bước 2: Lập và tính thể tích

Áp dụng công thức thể tích khối tròn xoay quanh $O x$ .

V = π \int_{0}^{4} (4 x - x^{2})^{2} d x = π \int_{0}^{4} (4 x - x^{2}) d x = π [2 x^{2} - \frac{x ^{3}}{3}]_{0}^{4} = \frac{32 π}{3}

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn B, $\frac{32 π}{3}$ ; A, C, D sai vì lần lượt thiếu $π$ , thừa một hệ số $π$ , và tính sai giá trị tích phân.

Đáp án: B —

V = \frac{32 π}{3}

theo công thức thể tích khối tròn xoay quanh

O x

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề khảo sát chất lượng THPT môn Toán Sở GD&ĐT Thanh Hóa năm 2026 - Lần 2

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Tìm tần số lớn nhất

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Áp dụng công thức

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Xác định điểm hợp lệ

Bước 2: Đếm điểm cực trị

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Xác định hệ số

Bước 2: Tính tiệm cận ngang

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Tìm điều kiện xác định

Bước 2: Giải phương trình

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Tính diện tích đáy

Bước 2: Tính thể tích

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Xác định hệ số

Bước 2: Lập vectơ pháp tuyến

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Gộp vectơ trên mặt đáy

Bước 2: Dùng cạnh song song

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Đọc các hệ số

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Xác định khoảng tích phân

Bước 2: Lập và tính thể tích

Bước 3: Đối chiếu phương án