Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề khảo sát chất lượng THPT môn Toán Sở GD&ĐT Sơn La năm 2026 - Lần 2 môn Toán học 2026 (Thi Tốt nghiệp THPT)

Câu 1

Doanh thu bán hàng trong $20$ ngày được lựa chọn ngẫu nhiên của một cửa hàng được ghi lại ở bảng sau (đơn vị: triệu đồng). Số trung bình của mẫu số liệu trên thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

Hình minh họa

A

$[7; 9)$ .

B

$[9; 11)$ .

C

$[11; 13)$ .

D

$[13; 15)$ .

Lời giải

Bước $1$ : Tính trung điểm các lớp

Trung điểm các lớp lần lượt là $6, 8, 10, 12, 14$ .

x_{i} = 6, 8, 10, 12, 14

Bước $2$ : Tính số trung bình

Áp dụng công thức trung bình cộng có trọng số.

\overline{x} = \frac{2 \cdot 6 + 7 \cdot 8 + 7 \cdot 10 + 3 \cdot 12 + 1 \cdot 14}{20} = \frac{188}{20} = 9, 4

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

$9, 4 \in [9; 11)$ nên chọn B; $A, C, D$ sai vì $9, 4$ không thuộc các khoảng tương ứng.

9, 4 \in [9; 11)

Đáp án: B — Vì

\overline{x} = 9, 4 \in [9; 11)

.

Câu 2

Cho hình chóp đều $S . A B C D$ có cạnh đáy bằng $a 2$ , cạnh bên bằng $2 a$ . Thể tích khối chóp $S . A B C D$ là

A

$\frac{4 a ^{3}}{3}$ .

B

$\frac{a ^{3}}{3}$ .

C

$\frac{2 a ^{3} 3}{3}$ .

D

$\frac{2 a ^{3}}{3}$ .

Lời giải

Bước 1: Tính diện tích đáy

Đáy là hình vuông; gọi $O$ là tâm đáy.

S_{đ \overset{a}{ˊ} y} = (a 2)^{2} = 2 a^{2}, O A = \frac{a 2 \cdot 2}{2} = a

Bước 2: Tính chiều cao

Tam giác $S O A$ vuông tại $O$ , nên áp dụng định lý Pythagore.

S O = S A^{2} - O A^{2} = (2 a)^{2} - a^{2} = a 3

Bước 3: Tính thể tích

Thay diện tích đáy và chiều cao vào công thức thể tích.

V = \frac{1}{3} \cdot 2 a^{2} \cdot a 3 = \frac{2 a ^{3} 3}{3}

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn C: $\frac{2 a ^{3} 3}{3}$ . Các phương án A, B, D sai vì lần lượt sai hệ số, thiếu hệ số $23$ và thiếu $3$ .

Đáp án: Đáp án C — vì

V = \frac{2 a ^{3} 3}{3}

.

Câu 3

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy là hình bình hành tâm $O$ , $S A = S C$ , $S B = S D$ . Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng?

A

$S O ⊥ (A B C D)$ .

B

$S C ⊥ (A B C D)$ .

C

$S B ⊥ (A B C D)$ .

D

$S A ⊥ (A B C D)$ .

Lời giải

Bước 1: Xét mặt phẳng trung trực

Do $O$ là trung điểm của $A C$ và $B D$ , các điều kiện $S A = S C$ , $S B = S D$ cho $S$ thuộc hai mặt phẳng trung trực tương ứng.

S A = S C \Rightarrow S \in Π_{A C}, S B = S D \Rightarrow S \in Π_{B D}

Bước 2: Xác định đường vuông góc

Hai mặt phẳng trung trực cắt nhau theo đường thẳng $S O$ . Vì vậy, $S O$ vuông góc với cả $A C$ và $B D$ .

S O ⊥ A C, S O ⊥ B D

Bước 3: Suy ra vuông góc mặt phẳng

Hai đường $A C$ và $B D$ cắt nhau tại $O$ trong mặt phẳng $(A B C D)$ , nên $S O ⊥ (A B C D)$ .

A C, B D \subset (A B C D), A C \cap B D = {O} \Rightarrow S O ⊥ (A B C D)

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn A: $S O ⊥ (A B C D)$ . B, C, D sai vì các đường $S C$ , $S B$ , $S A$ không được suy ra vuông góc với mặt phẳng đáy.

Đáp án: A —

S O ⊥ (A B C D)

vì

S O

vuông góc với hai đường chéo

A C

và

B D

cắt nhau trong đáy.

Câu 4

Trong không gian $O x y z$ , vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P) : 2 x - y + z + 3 = 0$ ?

A

$n_{1} = (2; - 1; 1)$ .

B

$n_{3} = (2; - 1; 3)$ .

C

$n_{2} = (2; 1; 1)$ .

D

$n_{4} = (- 1; 1; 3)$ .

Lời giải

Bước 1: Lấy các hệ số

So sánh với dạng $A x + B y + C z + D = 0$ , ta có các hệ số của $x, y, z$ lần lượt là $2, - 1, 1$ .

n = (A; B; C) = (2; - 1; 1)

Bước 2: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $A$ : $n_{1} = (2; - 1; 1)$ . Các phương án $B, C, D$ sai vì lần lượt có hệ số $z$ bằng $3$ , đổi dấu hệ số $y$ , hoặc không trùng bộ hệ số của $x, y, z$ .

Đáp án:

A

— Vì

n_{1} = (2; - 1; 1)

đúng bằng bộ hệ số của

x, y, z

.

Câu 5

Cho $\int_{0}^{1} f (x) d x = 1$ và $\int_{1}^{2} f (x) d x = - 4$ . Tích phân $\int_{0}^{2} f (x) d x$ bằng

A

$3$ .

B

$5$ .

C

$- 3$ .

D

$- 5$ .

Lời giải

Bước 1: Ghép các khoảng tích phân

Áp dụng tính chất cộng trên hai khoảng kề nhau.

\int_{0}^{2} f (x) d x = \int_{0}^{1} f (x) d x + \int_{1}^{2} f (x) d x

Bước 2: Đối chiếu phương án

Thay các giá trị đã cho, được $\int_{0}^{2} f (x) d x = 1 + (- 4) = - 3$ .

Phương án $C$ đúng; $A$ , $B$ , $D$ sai vì lần lượt cho các giá trị khác $- 3$ .

\int_{0}^{2} f (x) d x = 1 + (- 4) = - 3

Đáp án: Chọn

C

— giá trị tích phân bằng

- 3

.

Câu 6

Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị như hình vẽ. Điểm cực tiểu của hàm số đó là

Hình minh họa

A

$x = - 2$ .

B

$x = 2$ .

C

$x = 0$ .

D

$y = - 2$ .

Lời giải

Bước 1: Nhận dạng điểm cực tiểu

Xác định vị trí đồ thị đi xuống rồi đi lên; đó là điểm cực tiểu.

Bước 2: Đọc hoành độ

Trên đồ thị, điểm cực tiểu có tọa độ $(2; - 2)$ nên hoành độ là $x = 2$ .

x = 2

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn B. A và C sai vì cho các hoành độ $- 2$ và $0$ ; D sai vì nêu tung độ $y = - 2$ .

Đáp án: B — điểm cực tiểu có hoành độ

x = 2

.

Câu 7

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f (x) = sin x$ là

A

$- sin x + C$ .

B

$sin x + C$ .

C

$- cos x + C$ .

D

$cos x + C$ .

Lời giải

Bước 1: Nhận diện nguyên hàm

Tìm một hàm có đạo hàm bằng $sin x$ .

\frac{d}{d x} (- cos x) = sin x

Bước 2: Đối chiếu phương án

Họ nguyên hàm là $- cos x + C$ . Đối chiếu phương án: chọn $C$ ; $A$ , $B$ , $D$ sai vì lần lượt dùng $- sin x$ , $sin x$ , $cos x$ , có đạo hàm không bằng $sin x$ .

- cos x + C

Đáp án:

C

— vì

\frac{d}{d x} (- cos x) = sin x

.

Câu 8

Trong không gian $O x y z$ , cho mặt cầu $(S) : (x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 3)^{2} = 4$ . Tâm của $(S)$ có tọa độ là

A

$(- 2; 1; - 3)$ .

B

$(- 4; 2; - 6)$ .

C

$(4; - 2; 6)$ .

D

$(2; - 1; 3)$ .

Lời giải

Bước 1: Đối chiếu dạng chuẩn

So sánh với dạng chuẩn $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}$ .

(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 3)^{2} = (x - 2)^{2} + (y - (- 1))^{2} + (z - 3)^{2}

Bước 2: Đối chiếu phương án

Suy ra $a = 2$ , $b = - 1$ , $c = 3$ , nên tâm là $I (2; - 1; 3)$ .

Chọn $D$ ; $A$ , $B$ , $C$ sai vì lần lượt đổi dấu toàn bộ tọa độ, nhân với $- 2$ , và nhân với $2$ .

a = 2, b = - 1, c = 3

Đáp án:

D

— tâm mặt cầu là

I (2; - 1; 3)

.

Câu 9

Giá trị lớn nhất của hàm số $f (x) = x^{4} - 2 x^{2} + 5$ trên đoạn $[- 2; 2]$ là

A

$max_{[- 2; 2]} f (x) = 13$ .

B

$max_{[- 2; 2]} f (x) = 14$ .

C

$max_{[- 2; 2]} f (x) = - 4$ .

D

$max_{[- 2; 2]} f (x) = 23$ .

Lời giải

Bước 1: Tìm điểm cần xét

Tính đạo hàm, tìm các nghiệm thuộc đoạn $[- 2; 2]$ .

f^{'} (x) = 4 x^{3} - 4 x = 4 x (x^{2} - 1) = 0 \Rightarrow x \in {- 1, 0, 1}

Bước 2: Tính giá trị hàm số

Tính tại ba điểm tới hạn và hai đầu mút.

f (- 2) = f (2) = 13, f (- 1) = f (1) = 4, f (0) = 5

Bước 3: Đối chiếu phương án

Giá trị lớn nhất là $13$ . Chọn A; B, C, D sai vì lần lượt cho $14$ , $- 4$ , $23$ , không trùng giá trị lớn nhất.

[- 2; 2] max f (x) = 13

Đáp án: A — Giá trị lớn nhất của hàm số là

13

.

Câu 10

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{4 x + 1}{x - 1}$ là

A

$y = 2$ .

B

$x = 1$ .

C

$y = 4$ .

D

$x = 4$ .

Lời giải

Bước 1: Xác định hệ số dẫn đầu

Hệ số của $x$ ở tử là $4$ , ở mẫu là $1$ .

\frac{4}{1} = 4

Bước 2: Đối chiếu phương án

Tiệm cận ngang là $y = 4$ .

Chọn $C$ ; $A$ , $B$ , $D$ sai vì lần lượt cho sai giá trị hoặc nhầm tiệm cận ngang với tiệm cận đứng.

y = 4

Đáp án:

C

— tiệm cận ngang là

y = 4

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề khảo sát chất lượng THPT môn Toán Sở GD&ĐT Sơn La năm 2026 - Lần 2

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Tính trung điểm các lớp

Bước 2: Tính số trung bình

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Tính diện tích đáy

Bước 2: Tính chiều cao

Bước 3: Tính thể tích

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Xét mặt phẳng trung trực

Bước 2: Xác định đường vuông góc

Bước 3: Suy ra vuông góc mặt phẳng

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Lấy các hệ số

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Ghép các khoảng tích phân

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Nhận dạng điểm cực tiểu

Bước 2: Đọc hoành độ

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Nhận diện nguyên hàm

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Đối chiếu dạng chuẩn

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Tìm điểm cần xét

Bước 2: Tính giá trị hàm số

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Xác định hệ số dẫn đầu

Bước 2: Đối chiếu phương án

Bước $1$ : Tính trung điểm các lớp

Bước $2$ : Tính số trung bình

Bước $3$ : Đối chiếu phương án