Đáp án & Lời giải chi tiết: Đề khảo sát chất lượng THPT môn Toán Sở GD&ĐT Lào Cai năm 2026 - Lần 1 môn Toán học 2026 (Thi Tốt nghiệp THPT)

Câu 1

Cho hình lập phương $A B C D . E F G H$ . Góc giữa hai đường thẳng $A F$ và $E G$ là

A

$6 0^{\circ}$

B

$0^{\circ}$

C

$9 0^{\circ}$

D

$3 0^{\circ}$

Lời giải

Bước 1: Thay đường thẳng song song

Hai mặt $A B C D$ và $E F G H$ song song nên $A C ∥ E G$ .

Góc giữa $A F$ và $E G$ bằng góc giữa $A F$ và $A C$ , tức là $∠ F A C$ .

A C ∥ E G

Bước 2: Xét tam giác $A F C$

Gọi cạnh hình lập phương là $a$ . Các đoạn $A F$ , $A C$ , $F C$ đều là đường chéo mặt.

A F = A C = F C = a 2

Bước 3: Tính góc

Tam giác $A F C$ đều nên góc $∠ F A C$ bằng $6 0^{\circ}$ .

∠ F A C = 6 0^{\circ}

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn A: $6 0^{\circ}$ vì đó là góc giữa $A F$ và $A C$ , mà $A C ∥ E G$ .

B, C, D sai vì lần lượt nhầm góc song song, góc vuông và giá trị góc.

Đáp án: A.

6 0^{\circ}

— vì

A C ∥ E G

và tam giác

A F C

là tam giác đều.

Câu 2

Trong không gian $O x y z$ , cho hai điểm $A (1; 1; - 3)$ và $B (2; - 1; - 1)$ . Độ dài đoạn $A B$ bằng

A

$3$

B

$4$

C

$32$

D

$42$

Lời giải

Bước 1: Lập vectơ $A B$

Tính hiệu từng tọa độ của $B$ và $A$ .

A B = (2 - 1; - 1 - 1; - 1 - (- 3)) = (1; - 2; 2)

Bước 2: Tính độ dài

Độ dài vectơ $A B$ chính là độ dài đoạn $A B$ .

A B = 1^{2} + (- 2)^{2} + 2^{2} = 9 = 3

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $A$ vì $A B = 3$ ; các phương án $B$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt cho $4$ , $32$ , $42$ .

Đáp án:

A . 3

— Vì tính được

A B = 3

.

Câu 3

Khảo sát thời gian tự học ở nhà của học sinh khối $9$ ở trường $X$ , ta thu được bảng số liệu. Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là

Hình minh họa

A

$1601, 64$

B

$1603$

C

$1602$

D

$1601, 9$

Lời giải

Bước $1$ : Tìm trung điểm và cỡ mẫu

Trung điểm các lớp lần lượt là $15, 45, 75, 105, 135$ .

x_{i} \in {15, 45, 75, 105, 135}, n = 9 + 10 + 9 + 15 + 7 = 50

Bước $2$ : Tính trung bình và phương sai

Tính trung bình, sau đó thay vào công thức phương sai.

\overline{x} = \frac{9 \cdot 15 + 10 \cdot 45 + 9 \cdot 75 + 15 \cdot 105 + 7 \cdot 135}{50} = 75, 6; s^{2} = \frac{9 ( 15 - 75 , 6 ) ^{2} + 10 ( 45 - 75 , 6 ) ^{2} + 9 ( 75 - 75 , 6 ) ^{2} + 15 ( 105 - 75 , 6 ) ^{2} + 7 ( 135 - 75 , 6 ) ^{2}}{50} = 1601, 64

Bước $3$ : Đối chiếu phương án

Chọn A: $1601, 64$ . Các phương án B, C, D sai vì không trùng với kết quả tính được.

Đáp án: A.

1601, 64

— Vì phương sai tính được là

1601, 64

.

Câu 4

Tập nghiệm của bất phương trình $3^{x - 1} \geq 9$ là

A

$(- \infty; 3]$

B

$[2; + \infty)$

C

$[3; + \infty)$

D

$(- \infty; 2)$

Lời giải

Bước 1: Đưa về cùng cơ số

Viết vế phải dưới dạng lũy thừa của $3$ .

9 = 3^{2}

Bước 2: So sánh số mũ

Vì $3 > 1$ , hàm số mũ đồng biến.

3^{x - 1} \geq 3^{2} ⟺ x - 1 \geq 2 ⟺ x \geq 3

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn C: $[3; + \infty)$ . A, B, D sai vì lần lượt lấy sai phía nghiệm, nhầm cận $2$ , và lấy sai phía nghiệm.

[3; + \infty)

Đáp án: C — Vì

3 > 1

nên

x - 1 \geq 2

, suy ra

x \geq 3

.

Câu 5

Khi cắt một vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục $O x$ tại điểm có hoành độ $x$ thì mặt cắt là hình vuông có độ dài cạnh là $3 - x^{2}$ $(- 3 \leq x \leq 3)$ . Thể tích của vật thể đã cho bằng

A

$4 π 3$

B

$43$

C

$π 3$

D

$3$

Lời giải

Bước 1: Lập diện tích mặt cắt

Bình phương độ dài cạnh để được diện tích mặt cắt.

S (x) = (3 - x^{2})^{2} = 3 - x^{2}

Bước 2: Tính thể tích

Tích phân diện tích trên miền $[- 3, 3]$ .

V = \int_{- 3}^{3} (3 - x^{2}) d x = [3 x - \frac{x ^{3}}{3}]_{- 3}^{3} = 43

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn B: $43$ . Các phương án A, C, D sai vì lần lượt xuất hiện thừa $π$ , sai hệ số và thiếu hệ số $4$ .

Đáp án: B — Vì

V = 43

.

Câu 6

Cho hàm số $y = f (x) = \frac{a x ^{2} + b x + c}{m x + n}$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho có phương trình là

Hình minh họa

A

$y = x - 1$

B

$y = x + 3$

C

$y = 3 x + 1$

D

$y = x - 2$

Lời giải

Bước 1: Xác định hai điểm

Từ hình vẽ, tiệm cận xiên đi qua $A (0; 3)$ và $B (1; 4)$ .

Bước 2: Tính hệ số góc

Tính hệ số góc của đường thẳng qua hai điểm đã chọn.

k = \frac{4 - 3}{1 - 0} = 1

Bước 3: Lập phương trình

Vì đường thẳng đi qua $A (0; 3)$ nên tung độ gốc là $d = 3$ .

y = x + 3

Bước 4: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $B$ : $y = x + 3$ ; các phương án $A$ , $C$ , $D$ sai vì khác hệ số góc hoặc tung độ gốc.

Đáp án:

B

— Tiệm cận xiên có phương trình

y = x + 3

.

Câu 7

Cho cấp số nhân $(u_{n})$ với $u_{1} = 3$ và công bội $q = 4$ . Giá trị của $u_{2}$ bằng

A

$\frac{4}{3}$

B

$\frac{3}{4}$

C

$12$

D

$5$

Lời giải

Bước 1: Áp dụng công thức

Với $n = 1$ , áp dụng công thức truy hồi.

u_{2} = u_{1} \cdot q = 3 \cdot 4 = 12

Bước 2: Đối chiếu phương án

Chọn phương án C: $12$ ; A và B sai vì dùng phép chia, D sai vì không nhân với công bội.

Đáp án: C.

12

— Vì

u_{2} = u_{1} \cdot q = 3 \cdot 4 = 12

.

Câu 8

Nguyên hàm của hàm số $y = 5^{x}$ là

A

$x 5^{x - 1} + C$

B

$5^{x} ln 5 + C$

C

$\frac{5 ^{x}}{ln 5} + C$

D

$\frac{5 ^{x + 1}}{x + 1} + C$

Lời giải

Bước 1: Áp dụng công thức

Vì $5 > 0$ và $5 \neq = 1$ , áp dụng trực tiếp công thức nguyên hàm hàm mũ.

\int 5^{x} d x = \frac{5 ^{x}}{ln 5} + C

Bước 2: Đối chiếu phương án

Chọn C: $\frac{5 ^{x}}{ln 5} + C$ . A, B, D sai vì lần lượt dùng sai công thức lũy thừa, nhân thêm $ln 5$ , và chia cho $x + 1$ .

\frac{5 ^{x}}{ln 5} + C

Đáp án: C — nguyên hàm của

5^{x}

là

\frac{5 ^{x}}{ln 5} + C

.

Câu 9

Trong không gian $O x y z$ , cho hai vectơ $a = (1; 2; - 1)$ và $b = (2; - 1; 3)$ . Tọa độ của vectơ $4 a - b$ là

A

$(2; 9; - 7)$

B

$(2; 9; 7)$

C

$(- 2; 9; 7)$

D

$(- 2; - 9; 7)$

Lời giải

Bước 1: Nhân vectơ với hệ số

Nhân từng tọa độ của $a$ với $4$ .

4 a = 4 (1; 2; - 1) = (4; 8; - 4)

Bước 2: Thực hiện phép trừ

Trừ các tọa độ tương ứng của hai vectơ.

4 a - b = (4; 8; - 4) - (2; - 1; 3) = (2; 9; - 7)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn A: $(2; 9; - 7)$ . B, C, D sai do lần lượt sai dấu ở tọa độ thứ ba, tọa độ thứ nhất và nhiều tọa độ.

Đáp án: A — Vì

4 a - b = (2; 9; - 7)

.

Câu 10

Cho hình lập phương $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ . Khi đó $A D^{'}$ bằng vectơ nào sau đây?

A

$B^{'} C^{'}$

B

$B C^{'}$

C

$B B^{'}$

D

$B C$

Lời giải

Bước 1: Chọn hệ tọa độ

Đặt $A (0; 0; 0)$ , $B (a; 0; 0)$ , $D (0; a; 0)$ , $A^{'} (0; 0; a)$ .

D^{'} (0; a; a), C^{'} (a; a; a)

Bước 2: Tính các vectơ

Tính tọa độ vectơ cần tìm và vectơ ở phương án phù hợp.

A D^{'} = (0; a; a), B C^{'} = C^{'} - B = (a; a; a) - (a; 0; 0) = (0; a; a)

Bước 3: Đối chiếu phương án

Chọn phương án $B$ vì $A D^{'} = B C^{'}$ ; $A$ , $C$ , $D$ sai vì lần lượt là vectơ theo các hướng $B C$ , $B B^{'}$ , $B C$ .

A D^{'} = B C^{'}

Đáp án: Phương án

B

— vì

A D^{'} = B C^{'}

.

Đáp án & lời giải chi tiết: Đề khảo sát chất lượng THPT môn Toán Sở GD&ĐT Lào Cai năm 2026 - Lần 1

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chọn một phương án .

Câu 1

Lời giải

Bước 1: Thay đường thẳng song song

Bước 2: Xét tam giác AFC

Bước 3: Tính góc

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 2

Lời giải

Bước 1: Lập vectơ AB

Bước 2: Tính độ dài

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 3

Lời giải

Bước 1: Tìm trung điểm và cỡ mẫu

Bước 2: Tính trung bình và phương sai

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 4

Lời giải

Bước 1: Đưa về cùng cơ số

Bước 2: So sánh số mũ

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 5

Lời giải

Bước 1: Lập diện tích mặt cắt

Bước 2: Tính thể tích

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 6

Lời giải

Bước 1: Xác định hai điểm

Bước 2: Tính hệ số góc

Bước 3: Lập phương trình

Bước 4: Đối chiếu phương án

Câu 7

Lời giải

Bước 1: Áp dụng công thức

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 8

Lời giải

Bước 1: Áp dụng công thức

Bước 2: Đối chiếu phương án

Câu 9

Lời giải

Bước 1: Nhân vectơ với hệ số

Bước 2: Thực hiện phép trừ

Bước 3: Đối chiếu phương án

Câu 10

Lời giải

Bước 1: Chọn hệ tọa độ

Bước 2: Tính các vectơ

Bước 3: Đối chiếu phương án

Bước 2: Xét tam giác $A F C$

Bước 1: Lập vectơ $A B$

Bước $1$ : Tìm trung điểm và cỡ mẫu

Bước $2$ : Tính trung bình và phương sai

Bước $3$ : Đối chiếu phương án